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1、第三章 空间向量与立体几何 单元测试(时间：90分钟总分为：120分)第1卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分1以下四组向量中，互相平行的组数为()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)A1组 B2组C3组 D4组解析：中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行答案：B2在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；假如ab，如此存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，假如22，如此P，A，B，C四
2、点共面；假如a，b，c为空间的一组基底，如此ab，bc，ca构成空间的另一组基底；|(ab)c|a|b|c|.A2个 B3个C4个 D5个解析：|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：C3如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，如此如下各组向量中，数量积不一定为零的是()A.与 B.与C.与 D.与解析：建立如下列图的空间直角坐标系设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，如此A(0,0,
3、0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)如此(b，a，c)，(b，a,0)，(0，a，0)，(b,0，c)，(0，a，c)，(b,0,0)，(0,0，c)，(b,0,0)b2a2不一定为0.0，0，0.答案：A4向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a3e12e2e3，be12e3，如此(6a)等于()A15 B3C3 D5解析：(6a)3ab3(3e12e2e3)(e12e3)9|e1|26|e3|23.答案：B5如图，ABACBD1，AB面，AC面，BDAB，BD与面成30角，如此C、D间的距离为()A1 B2C.D.解析：|2|2|2|2|222
4、211100211cos1202.|.答案：C6空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BHOA，如此点H的坐标为()A(2,2,0) B(2，2,0)C.D.解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，如此(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.答案：C7a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，如此向量ab与ab的夹角是()A90 B60C30 D0解析：(ab)(ab)a2b2(cos2sin21)(sin21cos2)0，(ab)(ab)答案：A8E、F分别是棱长为1的正方体AB
5、CDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，如此截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图如此A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，l所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，如此x2yz.取y1，如此n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：C9在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，如此二面角APBC的平面角的正切值为()A.B.C.D.解析：设PAAB2，建立如
6、下列图的空间直角坐标系如此B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，(0，2,2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面PBC的一个法向量如此即令y1，如此x ，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一个法向量如此cosm，n.正切值tanm，n.答案：A10(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，如此当取得最小值时，点Q的坐标为()A.B.C.D.解析：Q在OP上，可设Q(x，x,2x)，如此(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时Q.答案：C第2卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每一小
7、题5分，共20分11a(3，2，3)，b(1，x1,1)，且a与b的夹角为钝角，如此x的取值X围是_解析：因为a与b的夹角为钝角，于是1cosa，b0，因此ab0，且a与b的夹角不为，即cosa，b1.解得x.答案：12如下列图，正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，如此直线DE和BF所成的角的余弦值为_解析：，cos，.答案：13a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，如此(x，y，z)_.解析：由题意知解得x64，y26，z17.答案：(64，26，17)14空间四边形OABC，如下列图，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段M
8、N上，且3，现用基向量、表示向量，并设xyz，如此x、y、z的和为_解析：，x，y，z.xyz.答案：三、解答题：本大题共4小题，总分为50分15(12分)a(1,2，2)(1)求与a共线的单位向量b；(2)假如a与单位向量c(0，m，n)垂直，求m、n的值解：(1)设b(，2，2)，而b为单位向量，|b|1，即24242921.(4分)b或b.(6分)(2)由题意，知解得或(12分)16(12分)如下(左)图，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别为AC、AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如下(右)图(1)求证：A1C平面BCDE；
9、(2)假如M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小解：(1)ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面A1DC.DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(4分)(2)如下列图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如此A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，如此n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，如此x2，z，n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.(0,1，)，sin|cosn，|.CM与平面A1BE所成角的大小为.(12分)17(12分)
10、如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，如此N，E(0,0,1)，.又A(，0)，M，.，且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(6分)(2)设P(t，t,0)(0t)，如此(t，t,1)，(，0,0)又与所成的角为60.，解之得t，或t(舍去)故点P为AC的中点(12分)18(14分)如图，在圆锥PO中，PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1
11、)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值解： (1)证明：如下列图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如此O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，如此由n10，n10，得(4分)z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，如此由n20，n20，得x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)n1n2(1,1,0)(，1)0，n1n2.从而平面POD平面PAC.(8分)(2)y轴平面PAB.平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，如此cos.由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，二面角BPAC的余弦值为.(14分)
