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1、行知所向浅谈数形结合思想在解题中的应用摘臬：所谓数形结合思想，是指通过研究数形之间的相对关系，利用数量关系与褂单图形的交织变化来处理数字问题。数与形的结合也是教学问题中我们经常见到的思维方式.华罗戾先生的话大意是：教与形的结合好，形与数的分离垂。当数字抉少形状时，它就不那么立观，而当形状很少时，就很难变的微妙。因此，通过数与形的结合,S.杂问邈可以浅显化，抽象问超可以系统化。从而实现科学解决问题的目的。介绍了数形结合在数学中的实际应用，阐述了陶行知的教克思想在当今数学教学中的实践，并用具体实例加以说明。关健朝：数形抹合思想.；运用；抽象：直现一、在“数”中思“形”1、用书息图法求解集合之网的关
2、系.陶行知先生学识渊博，他用他自己的才华和精力为中华民族的教育事业奋斗一生，尽管他与我们生活在一个不同的时期，但他所创造的教育理论和思想仍然值得我们学习.陶行知的教育思想其中有一条是教与做的结合”，它的核心是“做”字。爱迪生发明电灯的时候，人们以前没有告诉过他,但他是通过玩游戏无意中发现的,因此，他提倡“行动教育”和“用双手和大脑”。教学内容必须尽可能的体现“实用性”，并贯穿于学习知识和实际操作的整个教学过程。通常我们用圆来表示集合，两个圆的相交意味着这两个集合有共同的元素,两个圆的分离意味着这两个集合没有共同的元素。利用韦恩图方法可以直接解决集合之间的关系问翘。我们在生活中也有类似的情况，比
3、如：例1、一所学校举办了三次数学、物理和化学竞费，要求所有学生至少选修一门学科：807名学生参加了数学竞赛，739名学生参加了物理竞赛，437名学生参加化学竞赛;至少593名学生参加。对门课程：数学和物理，371名学生参加数学和化学，267名学生参加了物理和化学：个科目共有213名参与者：试卷计算参加比赛的总人数。解我们用WiA、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数.那么三个IMI的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素,则有：(4)n)4nS)(4nC)-BO?739417-S3-37I-2672I396S即I参加竞赛总人数为965人.2、用图册解决代敷问题例2、设OVX
4、V1,0y1.,Oz1.验证：x(1.-y)+y(1.z)+z(1-x)1分析：显然,用代数方法解决这个问题很难找到突破,但只要你想到数形结合的思想，这个问题就很容易解决，正如针灸师给病人针灸一样，在疾病治愈之前，必须根据病人的情况找出有效的穴位位巴。于是我们就可以借助等边三角形来求解。证明：构造边长为1的等边三角形ABC,分别在边AB,BC.AC上取点D,点E和点F,使得BD=X,CE=y,AF=z。则有SAABC=*x1.1Xsin60i=24SBDE=；XX(1.-y)sin60o=WX(I-y)ASACEFWXyX(I-Z)XSin60=9(1-Z)SAADE=；XZX(I-X)XSi
5、n60=与Z(I-x)而了X(1-y)+-y(1z)+z(1-x)VN所以SABDE+SCEI+SADFSBC又因为OVXV1,0y1.,0z1.所以x(1.y)+y(1.-z)+z(1-x)1在数学教学中，教师耍有意识地引导学生注意用“形”来表示数字，或用”数”来描述或描绘形状。为了让学生学习真正的技能，教学内容必须尽可能的体现“实用性”，要坚持手脑结合，把学习知识和动手操作贯穿于教学的全过程。嵬无疑问，这将有助于学生形成数形结合的意识，从而提高他们分析问题和解决数学问题的能力。3、敷彩年合在不等式中的应用5的解集是解：从数轴上看，-2到3的距悬是5,所以X不能在-2和3之间(包括-2和3)
6、,X只能在-2的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是X3或XV-2。-4-3-2-1012342)用数形结合的思想证明不等式例4、己知：OVaVI,0b%OD-1+(1.-h)21.z飞f1.C=BD=2BHC由干OA+OCAC.OB-ODHD.所以：yJ(+b+y(-d)+b+yja+(I-Z)+yj(a):+(Ib)*22.当I1.仅当a=b=I时，上式中的等号成立。因此,逐渐掌握数与形结合思想的一个重要的方面就是要求我们在日常的数学学习过程中注意对“数或公式”的几何解释.自觉引导学生用“形”来表示数，公式和方程的教学无疑行利于学生数形结合思维的形成与发展，从而提而学生的能力
7、。这就要求我们的老师树立起自信和学习热情，我们应该把这一成功的教育变成“春风熨雨”，每个人都有机会淋湿。二注意形式的代数表示数字思维和形状思维相结合的最大优点之就是用数字来帮助鳖造,它的解决问题的思想与用图形来帮助代数的思想相反，而是用代数方法来解决些涉及图形的问题。例5、如图所示，点E是正方形ABCD外接厕D上任意点，验证：EA+EC=EBfEAEC=EB-AB分析：这是“形式的问题，但形式意味着数字，如果把它转化为”数“的问翘，显然要简单得多。证明：在AABE中和AABC中如上图所示，由余弦定理得出：AB=EA+EB-2EAEBXcos45oBC=EC+EB-2ECEBXcos450而由四
8、边形ABCD为正方形得：.AB=BC所以EA-EBxEA+EB-AB=0EC-EBEC+EB-AB=0因此，EA,EC是方程2.EBx+EB-AB=0的两个根然后我们就可以从韦达定理得到：EA+EC=EBEAEC=EB-AB当我们解决一类我们无法直接看到或在图表上得到所需结论的问题时，通常会使用数字来梢助塑造形象。只有经过一定的变换、推理和计算，才能得到准确的结果。例6、平面上给出了n个点，证明：可以做n+1个同心圆，使得这1个圆所成的n个圆环中，每个圆环都包含一个已知点。分析：“每个圆环包含一个已知点“，用数量来描述，即”这n个点到同一点（圆心）的距离不相等“。因此，需要一个点，以便从该点到
9、n个已知点的距离各不相等。然后使用对比度关联，在这n个点中，两点之间距惑相同的点在哪里呢？它是两点连接线段的垂直平分线，因此，只要该点不在n个点的任意两点连接线段的垂直平分线上，该点到这n个点的距离就必须不同，这样问题就可以得到证明。在回归双基注重思维方法一文中，汤炳兴教授对2005年高考江苏省数学试卷第19题的答案进行了抽样调查。这是解析几何中的轨迹问题，34.2%的学生没有建立或愤机建立坐标系,虽然仃相当部分学生建立了坐标系，但他们不能用代数公式有效的表达它们的相关性。虽然这是第一个要回答的问题，但这个题的平均分不到55分。深层次的原因是我们不能用数量关系或代数形式来描述“形”的问题.因此
10、，学生掌握数形结合思维的另一个重要因素是注意“形”的代数发示,从而养成利用代数之间的域与形式关系研究图形本质的良好习惯。在解决问题的过程中，我们也可以知道解决问题过程非常严格，这是代数方法的一个优点，它也非常标准化，概念也更清晰。几何方法具有直接、筒她的优点。因此，数形结合的思想的应用可以促进代数几何两种方法的优势，这不仅有利于我们找到解决问题的突破口，更重要的是，我们可以避免不必要的究杂过程。总之，我们应该注意培养数形结合思想O在培养学生数形结合思想的过程中，要发掘教材的相关内容和主要内容。将数形结合思想渗透到问题中，让孩子们在解决问题时正确理解“数”与“形”的相对性。当然，我们也应该灵活运
11、用数形结合的思想，提前熟悉问题的背景。陶行知说，与其像天津鸭一样给学生增加零零散敢的学习内容，不如给他们几个锁匙，让他们能够自动开创学习天地。因此，我们应该理解它们相关的几何意义，创造一种结合图形思考问强的方法,在学习中不断探索，积索程序经验，加强对数形结合思想方法的理解和应用。用数学思想指导知识，灵活运用方法,可以培养思维的深刻性。“授人以鱼，不如授人以渔”，掌握数学方法，形成数学思想，是提而数学应用能力的关梃.参考文献:1张亮,数彩财合的几个应用J,井冈山师范学院学报,2003(05).2杨明，海诙数学是圾方法在解题中的应用，河北：河北理科技学研究.2008.03.39-40.3巧学初中数学80法程炉上埸，农村漆物出版社.4J涉场兴.回归“双息,空视数学思想方法J,教学遇报，2006(6).
