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1、巧构单位圆 妙解三角题 单位圆就是以原点为圆心,1为半径的圆,其方程为.在解三角函数问题时,如果能够抓住题目的结构特征,充分挖掘隐含条件,寻找条件和结论与单位圆的关系,进行合理的构造,创设单位圆的解题意境,常常能为某些三角函数问题的解决,开辟许多巧解妙证.下面就用单位圆求解若干三角函数问题做些探讨.ABOxy图11. 求值例1、求的值.解:原式=,考虑点A与点B,则所求的值即是直线AB的斜率,又因点A、B在圆上,如图1,可得原式=.例2、已知求的值.解:设则.直线与单位圆的交点是,.点评:2 求角例3、已知且求.解:由展开得,设,则点在直线上,又在圆上,即直线和圆有公共点,所以圆心到直线的距离
2、不大于1,即化简得,同理得.3 求围例4、设为任意实数,且满足条件:求的取值围.MNQOxy图2解:如图2所示,点都在单位圆上,令弦MN的中点为Q,则Q点的坐标为即,OQMN,OQ为弦MN的弦心距,|OQ|1,即解得的取值围是.4 证明等式例5、已知:求证:.此题是一道三角名题,其证法颇多,且各具特色。但如果认真分析题设和和结论的结构特征,联想构造单位圆,则有能得到下面别具一格的证法.证明:设A则A、B两点均在单位圆上.过B作圆的切线将点A代入切线方程,知A点坐标满足方程,A、B两点重合, 即 .5 证明不等式例6、设为任意实数,且满足MNQOxyP图3求证:.证明:设点, 则M、N、P都在单位圆上,如图3,设弦MN的中点为Q,则Q即,OQMN,OQ为弦MN的弦心距,由|OQ|1,得即 同理可得 把相加,得,即,.3 / 3