全国初中数学联赛初二卷.doc

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1、全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题:此题总分为42分,每一小题7分1.实数a,b,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,如此的值为 .A.2 B.1 C.0 D.-1实数a,b,c满足a+b+c=1,如此(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为 .A.12520 C.100 D.81a,b,c满足abc且abc=2(a+b+c),如此称(a,b,c) .A.4 B.3 C.2 D.14.正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,如此a2+b2+c2的值为 .A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD中,ADBC,

2、AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,如此梯形的面积为 .A. B. C. D.6.如图,梯形ABCD中,ADBC,A=90,点E在AB上,假如AE=42,BE=28,BC=70,DCE=45,如此DE的值为 .A.56 B.58 C.60 D.62二、填空题:此题总分为28分,每一小题7分成立的实数a的值为_.ABC的三个内角满足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者,如此的最大值为_.9.设a,b是两个互质的正整数,且_.10.20个都不等于7的正整数排成一行,假如其中任意连续假如干个数之和都不等于7,如此这20个数之和的最小值为_.第二试一、此题总分为20分设A,B是

3、两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果A2-B2是完全平方数,求A的值.二、此题总分为25分如图,ABC中,D为BC的中点,DE平分ADB,DF平分ADC,BEDE,CFDF,P为AD与EF的交点.证明:EF=2PD.三、此题总分为25分a,b,c是不全相等的正整数,且为有理数,求的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、选择题:此题总分为42分,每一小题7分1.实数a,b,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,如此的值为 .A.2 B.1 C.0 D.-1答案:B对应讲次:所属知识点:方程思路:因为所求分式的特点可以想到把a+

4、2b,3b+c看成一个整体变量求解方程.解析:等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90,3(a+2b)+(3b+c)=72,解得a+2b=18,3b+c=18,所以.实数a,b,c满足a+b+c=1,如此(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为 .A.12520 C.100 D.81答案:C对应讲次:所属知识点:方程思路:可以想到换元法.解析:设x=a+1,y=b+3,z=c+5,如此x+y+z=10,xy+xz+yz=0,由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.如此(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 假如正整数a,b,c满足a

5、bc且abc=2(a+b+c),如此称(a,b,c) .A.4 B.3 C.2 D.1答案:B对应讲次:所属知识点:数论思路:先通过abc且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类,再通过枚举法一一验证.解析:假如(a,b,c)为好数组,如此abc=2(a+b+c)6c,即ab6,显然a=1或2.假如a=1,如此bc=2(1+b+c),即(b-2)(c-2)=6,可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5),共2个好数组.假如a=2,如此b=2或3,可得b=2,c=4;b=3,c=,不是整数舍去,共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,

6、4).4. 正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,如此a2+b2+c2的值为 .A.424 B.430 C.441 D.460答案:C对应讲次:所属知识点:方程思路:由等式消去c整理后,通过a,b是正整数的限制,枚举出所有可能,并一一代入原方程验证,最终确定结果.解析:联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75,如此3(b-1)275,即1b6.当b=1,2,3,4,5时,均无与之对应的正整数a;当b=6时,a=9,符合要求,此时c=18,代入验证满足原方程.因此,a=9,b=6,c=18,如此a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中,ADBC,AB=3

7、,BC=4,CD=2,AD=1,如此梯形的面积为 .A. B. C. D.答案:A对应讲次:所属知识点:平面几何思路:通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析:作AEDC,AHBC,如此ADCE是平行四边形,如此BE=BC-CE=BC-AD=3=AB,如此ABE是等腰三角形,BE=AB=3,AE=2,经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.6. 如图,梯形ABCD中,ADBC,A=90,点E在AB上,假如AE=42,BE=28,BC=70,DCE=45,如此DE的值为 .A.56 B.58 C.60 D.62答案:B对应讲次:所属知识点:平面几何思路:补形法,把直角梯形先补成正方形,

8、再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtEAD中去,利用勾股定理求解.解析:作CFAD,交AD的延长线于点F,将CDF绕点C逆时针旋转90至CGB,如此ABCF为正方形,可得ECGECD,EG=ED.设DE=x,如此DF=BG=x-28,AD=98-x.在RtEAD中,有422+(98-x)2=x2,解得x=58.二、填空题:此题总分为28分,每一小题7分成立的实数a的值为_.答案:8对应讲次:所属知识点:方程思路:通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式,再用换元法化简等式,最后要验证结果是否满足最初的等式.解析:易得.令,如此x0,代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0,解得x1=0,

9、x2=3, x3=-1,舍负,即a=-1或8,验证可得a=8.8. ABC的三个内角满足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者,如此的最大值为_.答案:20对应讲次:所属知识点:代数思路:一般来说,求几个中最小者的最大值时,就是考虑这几个都相等的情况.解析:100-C,C-B,B-A3100-C+2(C-B)+(B-A)=20又当A=40,B=60,C=80时,=20可以取到.如此的最大值为20.9. 设a,b是两个互质的正整数,且_.答案:7对应讲次:所属知识点:数论思路:因为p是质数,只能拆成1和p,另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类,最后分类讨论,要么与

10、条件矛盾,要么得出结果.解析:因为a,b互质,所以a+b、a、b两两互质,因为质数,所以可得a=b=1,p=4,不是质数舍;可得a=7,b=1,p=7,符合题意.如此p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行,假如其中任意连续假如干个数之和都不等于7,如此这20个数之和的最小值为_.答案:34对应讲次:所属知识点:数论思路:考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求,其和为34,接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析:设该正整数列为,考虑,依抽屉原理必然有两项模7的余数一样,如此该两项的差是7的倍数,于是任意连续7项之中必有连续子

11、列之和为7的倍数,又不能为7,如此最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28,剩下6个数之和不小于6,于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知,存在数列和为34的情况.第二试一、此题总分为20分设A,B是两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果A2-B2是完全平方数,求A的值.答案:65对应讲次:所属知识点:数论思路:对于需要考虑不同位数上数字的情况,可以把一个两位数设为10a+b,转为为代数问题,再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现,综合分析所有限定下可能性,最

12、终确定结果.解析:设A=10a+b(1a,b9,a,bN),如此B=10b+a,由A,B不同得ab,A2-B2=10a+b2-(10b+a)2=911a+b(a-b).5分由A2-B2是完全平方数,如此ab,可得a+b=11,10分a-b也是完全平方数,所以a-b=1或4.15分假如a-b=1,如此a=6,b=5;假如a-b=4,如此没有正整数解.因此a=6,b=5,A=65.20分二、此题总分为25分如图,ABC中,D为BC的中点,DE平分ADB,DF平分ADC,BEDE,CFDF,P为AD与EF的交点.证明:EF=2PD.对应讲次:所属知识点:平面几何思路:因为EF、PD都在DEF中,所以

13、想方法推出其性质,比拟容易得出EDF=90,此时假如能得出EF=PD,如此自然可以得到结论.解析:由DE平分ADB,DF平分ADC,可得EDF=90.5分由BEDE得BEDF,如此EBD=FDC. 10分又BD=DC,BED=DFC=90,如此BEDDFC,BE=DF. 15分得四边形BDFE是平行四边形,PED=EDB=EDP,EP=PD.20分又EDF是直角三角形,EF=2PD.25分三、此题总分为25分a,b,c是不全相等的正整数,且为有理数,求的最小值.答案:3对应讲次:所属知识点:数论,可以通过分母有理化来实现别离,再利用a,b,c互不相等,从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析:,由是有理数,可得b2=ac.10分.15分不妨设ac,假如a=1,c=b2,因为ab,如此a+c-b=1+b(b-1)3,取等号当且仅当b=2时.20分假如a2,因为cb1,如此a+c-b=a+b(b-1)a+243.所以的最小值为3,当a=1,b=2,c=4时.25分

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