相遇问题整理.docx

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1、应用题行程问题相遇、流水行船知识点:1.相遇问题是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是:两个运动的物体,同时从两地相对而行,越行越近,到一定的时候二者可以相遇。2.相遇问题的数量关系:速度和相遇时间=两地路程两地路程速度和=相遇时间两地路程相遇时间=速度和3.解题时,除掌握数量关系外,还要根据题意想象实际情景,画线段图来帮助理解和分析题意,突破题目的难点。4.流水行船问题船速:船在静水中的速度; 水速:水流速度; 顺水速度:船顺水航行的实际速度; 逆水速度:船逆水航行的实际速度; 行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。 顺水路程=顺水速度时间 逆水路程=逆水速度时间 行船问题

2、中的两个根本关系式: 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 由以上两个根本关系式还可以得到以下两个关系式: 船速=顺水速度+逆水速度2 水速=顺水速度-逆水速度2例1一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25,那么可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?解:设原速度是1.后,所用时间缩短到原时间的这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比.用原速行驶需要同样道理,车速提高25,所用时间缩短到原来的如果一开场就加速25,可少时间现在只少了40分钟, 72-4032分钟.说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟,

3、它应是这段路程所用时间真巧,320-160160分钟,原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长答:甲、乙两地相距270千米.练习:1. 一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20,可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高30,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?解:设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2速度比值:这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比. 时间比值 :6:5 这样可以把原来时间看成6份,后来就是5份,这样就节省1份,节省1个小时。 原来时间就是=16=6小时。同样道理,车速提高30,速度比值:1:1+30%=1:1.3 时间比

4、值:1.3:1这样也节省了0.3份,节省1小时,可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.30.3=13/3所以前后的时间比值为6-13/3:13/3=5:13。所以总共行驶了全程的5/5+13=5/18 2. 兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远?答案:180290-60=12分钟1260+180=900米答:他们家离学校900米。例2甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回

5、,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.答案:第二次相遇两人总共走了3个全程,所以甲一个全程里走了4千米,三个全程里应该走4*3=12千米, 通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距B地的3千米,所以全程是12-3=9千米, 所以两次相遇点相距9-3+4=2千米。练习:1. 甲乙两地的公路长195千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时30千米,途中乙车出现故障,修车用了1小时,两车从出发到相遇经过了几小时?答案3小时乙车出故障修车1小时看成是甲车先走1小时 解:甲车1小时行的路程=451=45千米路程和=195-45=150千米速

6、度和=45+30=75千米每小时相遇时间=150 75 =2小时2+1=3小时答:两车从出发到相遇经过了3小时。2. 从A城到B城,甲汽车用6小时,从B城到A城,乙汽车用4 小时。现在甲、乙两车分别从A、B两城同时出发相对而行,相遇时甲汽车行驶了96千米, A、B两城相距多远?答案:240千米速度比:4:6=2:3. 路程比:2:3. 千米例3甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?答案:解:那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是60+752=270米

7、,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差 所以乙丙相遇时间=27067.5-60=36分钟,所以路程=3660+75=4860米。练习:1.甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同事相向出发,丙遇到乙后两分钟又遇到甲,AB两地相距多少米?答案:丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲,分钟甲、丙两人的相遇路程=甲乙两人的追与路程=(50+70)2=240(米), 甲乙的追与时间=甲丙的相遇时间=24060-50=24(分) 两地距离=甲丙相遇路程=(60+70)24=3120(米). 甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟80米,60米,50米.甲,乙两人从A地,丙一人从

8、B地相向出发,如果在两地同时而行,乙丙比甲丙迟2分钟相遇.AB两地的距离是多少米?答案:设AB两地的距离是x米x/(60+50)-x/(80+50)=2x/110-x/130=2130x-110x=2860020x=28600x=1430AB两地的距离是1430米例如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端与C同时出发,绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离点8厘米处的B点,第二次相遇在离c点处6厘米的点,问,这个圆周的长是多少?解: 如上图所示,第一次相遇,两只小虫共爬行了半个圆周,其中从点出发的小虫爬了8厘米,第二次相遇,两只小虫从出发共爬行了1个半圆周,其中从点出发的应爬行83=24(厘米),

9、比半个圆周多6厘米,半个圆周长为836=18(厘米),一个圆周长就是: (836)2=36(厘米) 答:这个圆周的长是36厘米。练习:.某体育场的环形跑道长400m,甲、乙二人在跑道上练习跑步,甲的速度为 250m/min,乙的速度为290m/min,在两人同时从同一地点同向出发,经过多长时间两人才能再次相遇?答案:乙的速度比甲快,所以再次相遇的时候情况是乙正好比甲多跑一圈,也就是400m,设Xmin后两人再次相遇,列式:乙跑的路程-甲跑的路程=400米290X-250X=400X=10min答:10分钟后两人再次相遇.甲乙两人骑自行车从一环形公路的同一地点同时出发,背向行驶,甲行一圈要分钟,

10、在出发分钟后两人相遇,甲立即调转车头,与乙再次相遇需要多少分?例甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行,甲每分钟行120米,乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲车同时同向而行,每分钟行500米,遇到乙后,立即回头向甲跑去,遇到甲后又立即回头向乙跑去,这样不断来回,直到两人相遇为止,这时狗共跑了多少米?【答案】2500米。【解析】狗行驶的时间就是甲乙两人的相遇时间,抓住相遇时间=路程和速度和。 解:路程和=1000米速度和=120+80=200米每分相遇时间=1000200 =5分钟这5分钟狗一直在跑所以狗行驶的路程=5005=2500米。答:狗共跑了2500米。练习:.甲乙两辆汽车同时从东站

11、开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后,没有停留,立即从原路返回,在距西站31.5千米的地方和乙车相遇,甲车每小时行多少千米?答案31.5212=5.25小时5.25-4.5=0.75小时31.50.75=42千米答:甲车每小时行42千米。 从图上可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了两个31.5千米,即63千米,由题意可知,甲车每小时比乙车多行12千米,就可求出两车的相遇时间,即63125.25(小时),甲车行驶4.5小时到达西站,可求出甲车从西站返回到与乙车相遇共用了5.25-4.5=0.75小时,共行了31.5千米,进而运用公式“路程时间=速度求出甲车每小时

12、行31.50.75=42千米。.甲乙两人相向而行,甲以每小时8千米的速度由A地出发到B地走了15千米后,乙以每小时10千米的速度由B地出发,结果在两地中点相遇,A、B两地相距多少千米?答案:甲每小时8千米,乙每小时10千米,说明乙比甲每小时多行2千米,甲乙两人在两地中点相遇,说明甲乙两人所行路程一样,甲先出发,走了15千米,乙比甲每小时多行2千米,所以乙要用时间15/2=7.5小时才能将所行路程补上,从而A、B两地相距:10*7.5*2=150千米.例一只轮船的速度是每小时3600米,船在水的流速为30米分钟的河里航行,从下游的一个港口到上游的某地,再返回到原港口,共用了3小时20分,那么这条

13、船从下游港口到上游某地共航行了多少米?【答案】3600米小时=60米分钟静水速度;60+30=90米分钟顺水速度;60-30=30米分钟逆水速度;顺水速度:逆水速 度=9030=31 说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为:13 往返总共用时3小时20分=200分钟 那么顺水航行所用的时间为 分钟 全程:60+3050=4500米 答:这条船从下游港口到上游某地共航行4500米。练习:.一艘小船在河中航行,第一次顺流航行33千米,逆流航行11千米,共用11小时;第二次用同样的时间,顺流航行了24千米,逆流航行了14千米。求这艘小船的静水速度和水流速度。【答案】两次航行顺流的路程差:33-24=

14、9千米;逆流的路程差:14-11=3千米;顺流速度:逆流速度=9:3=3:1;顺流航行33千米与逆流航行333=11千米时间一样那么逆流速度:11+1111=2千米小时;顺流速度:23=6千米小时;静水速度:6+22=4千米小时;水流速度:6-22=2千米小时 答:小船在静水中的速度为4千米小时,水流速度为2千米/小时。 . 游船顺流而下,每小时前进7公里,逆流而上,每小时前进5公里两条游船同时从同一个地方出发,一条顺水而下,然后返回;一条逆流而上,然后返回结果,1小时以后它们同时回到出发点,忽略船头掉头时间在这1小时有多少分钟这两条船的前进方向一样?【答案】解:设1小时顺流时间为x分钟,那么

15、逆流时间为60-x分钟,故x:60-x=5:7解得x=25,所以60-x=3535-25=10分钟答:有10分钟这两条船的前进方向一样课后作业:1、甲、乙两人同时从相距39千米的两地相向而行,甲步行每小时行3千米,乙骑自行车每小时行10千米。多少小时后他们在途中相遇?答案:393+10=3小时2、小和小在周长为400米的环形跑道上跑步,小每秒钟跑5米,小每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?答案:行程问题中的环形相遇问题,抓住相遇时间=路程和速度和 解: 路程和4002 速度和5+3米每秒 相遇时间=40025+3=100秒3、小明从甲地向乙地

16、走,小强同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又迅速返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地40米处,第二次相遇在距乙地15米处。问甲、乙两地之间相距多少米?【答案】 403=120米120-15=105米答:甲、乙两地之间相距105米。4、甲、乙两车的速度比是3:5,两车同时从东、西两站相向而行,在离中点20千米处相遇。相遇后分别按原速继续行驶,当乙车到达东站时,甲车距西站还有多少千米?【答案】64千米 速度比3:5,那么时间一定时,路程比是3:5. 全长为、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32千米处相遇。求东西两

17、地的距离是多少千米?答案56+4832256-48 =104648=1048=832千米答:东西两地间的距离是832千米。、甲车与乙车同时从A、B两地相对开出,经过12小时相遇。相遇后甲车又行了8小时到达B地。乙车还要行多少小时到达A地?【答案】1281.5121.518小时18810小时答:乙车还要行10小时到达A地。、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处,乙、丙同时在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。甲、乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。【答案】6650米、一列快车从甲站到乙站要5小时,一列慢车从乙站到甲站要8小时,两车

18、同时出发,相遇时离两站中点84千米。求甲乙两站的路程。【答案】728千米速度比:8:5. 路程比:8:5. 千米、一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶,两船的静水速度一样且始终保持不变,客船出发时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物品距客船5千米,客船在行驶20千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇,求水流的速度。【答案】0.1千米船在静水中的速度为每分钟510=0.5千米。客船、货船与物品从出发到共同相遇所需的时间为500.5=100分钟。客船掉头时,它与货船相距50千米。随后两船作相向运动,速度之和为船速的2倍,因此从调头到相遇所用的时间为500.5+0.5=50分钟。于是客船逆水行驶20千米所用的时间为100-50=50分钟,从而船的逆水速度是每分钟2050=0.4千米,水流速度为每分钟0.5-0.4=0.1千米、一只木船第一次顺流航行56千米,逆流航行20千米,共用去12小时,第二次用同样的时间顺水航行40千米,逆流航行28千米,求船在静水中的速度。【答案】6千米56-4028-20=2 逆流航行20千米的时间,顺水可航行40千米, 所以12小时顺水可航行56+202千米, 顺水速度:56+20212=8千米/时 逆水速度:82=4千米/时 船在静水中的速度:8+42=6千米/时

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