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1、数列求和之错位相减法例1 数列an的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=I求数列an的通项公式;假设bn=nan,求数列bn的前n项和Tn。解析:,3分又,4分. 5分,.8分两式相减得:,11分.12分例2 等比数列an的前n项和为Sn.S1,S3,S2成等差数列(1)求an的公比q;(2)假设a1a3,求数列nan的前n项和Tn.解析:(1)由得2S3S1S2,2(a1a2a3)a1(a1a2),a22a30,an0,12q0,q.(2)a1a3a1(1q2)a1(1)a1,a12,an(2)()n1()n2,nann()n2.Tn1()12()03()1n()n2,Tn1()02()1
2、3()2n()n1,得Tn2()0()1()2()n2n()n1()n1(n),Tn()n1(n).例3 设数列an满足a12,an1an322n1.(1)求数列an的通项公式;(2)令bnnan,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由,得当n1时,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12,符合上式,所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1,即Sn(3n1)22n12例4 等差数列an满足a
3、20,a6a810.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和解析(1)设等差数列an的公差为d.由条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn,即Sna1,故S11,.所以,当n1时,a11()1(1).所以Sn.综上,数列的前n项和Sn.例5 (2008,) 数列的首项,证明:数列是等比数列;数列的前项和解析,又,数列是以为首项,为公比的等比数列由知,即,设,则,由得,又数列的前项和.例6 在等比数列an中,a2a332,a532.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,求S12S2nSn.解析:(1)设等比数列an的公比为q,依题
4、意得解得a12,q2,故an22n12n.(2)Sn表示数列an的前n项和,Sn2(2n1),S12S2nSn2(2222n2n)(12n)2(2222n2n)n(n1),设Tn2222n2n,则2Tn22223n2n1,得Tn2222nn2n1n2n1(1n)2n12,Tn(n1)2n12,S12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)例7 各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且等差数列.求数列的通项公式;假设,设,求数列的前n项和.解析:1由题意知1分当时,当时,两式相减得3分整理得:4分数列是以为首项,2为公比的等比数列.5分,6分-得9分.11分12分例8(1
5、4分)单调递增的等比数列an满足a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)假设bnanlogan,Snb1b2bn,求使Snn2n150成立的最小正整数n的值解析(1)设此等比数列为a1,a1q,a1q2,a1q3,其中a10,q0.由题意知:a1qa1q2a1q328,a1qa1q32(a1q22)7得6a1q315a1q26a1q0,即2q25q20,解得q2或q.等比数列an单调递增,a12,q2,an2n.(2)由(1)得bnn2n,Snb1b2bn(12222n2n)设Tn12222n2n,则2Tn122223n2n1.由,得Tn1212212
6、nn2n12n12n2n1(1n)2n12,Tn(n1)2n12.Sn(n1)2n12.要使Snn2n150成立,即(n1)2n12n2n150,即2n26.241626,且y2*是单调递增函数,满足条件的n的最小值为5.【跟踪训练】1数列an的前n项和为Sn3n,数列bn满足b11,bn1bn(2n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式an;(2)求数列bn的通项公式bn;(3)假设,求数列的前n项和Tn.解析:(1)Sn3n,Sn13n1(n2),anSnSn13n3n123n1(n2)当n1时,23112S1a13,an(2)bn1bn(2n1),b2b11,b3b23,b4b35,b
7、nbn12n3.以上各式相加得bnb1135(2n3)(n1)2.b11,bnn22n.(3)由题意得当n2时,Tn32031213222332(n2)3n1,3Tn92032213322342(n2)3n,相减得2Tn623223323n12(n2)3n.Tn(n2)3n(332333n1)(n2)3n.TnTn(nN*)2数列an为公差不为零的等差数列,a11,各项均为正数的等比数列bn的第1项,第3项,第5项分别是a1,a3,a21.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析:(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q,由题意得aa1a21,(
8、12d)21(120d),即4d216d0,d0,d4,an4n3.b11,b39,b581,bn的各项均为正数,q3,bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1,Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1,3Sn31532933(4n7)3n1(4n3)3n,两式相减得:2Sn14343243343n1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5,Sn.3、递增的等比数列an满足:a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)假设bnanlogan,Snb1b2bn,求Sn.解:(1)设等比数列
9、an的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a32)a2a4,代入a2a3a428,得a38.a2a420.解得或又an为递增数列,an2n.(2)bn2nlog2nn2n,Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Sn2n1n2n12.4、设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,求,的通项公式;求数列的前n项和解析设的公差为,的公比为,则依题意有且解得,所以,得,5、是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.求数列与的通项公式;记,证明.解析1设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由得,由条件得方程
10、组,解得,所以2证明:由1得-得而故6(2012)数列an的前n项和为Sn,且Sn2n2n,nN*,数列bn满足an4log2bn3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析:(1)由Sn2n2n,得当n1时,a1S13;当n2时,anSnSn14n1,所以an4n1,nN*.由4n1an4log2bn3,得bn2n1,nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1,nN*,所以Tn3721122(4n1)2n1,2 Tn 32722(4n5)2n1(4n1)2n,所以2 Tn Tn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5,nN*
11、.7. (2012)数列an的前n项和Snn2kn(其中kN),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.解析:(1)当nkN时,Snn2kn取最大值,即8Skk2k2k2,故k216,因此k4,从而anSnSn1n(n2)又a1S1,所以ann.(2)因为bn,Tnb1b2bn1,所以Tn2TnTn2144.3设an是等差数列,bn是各项都为正数的等比数列,且a1b11,a3b521,a5b313.(1)求an,bn的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解析:(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则依题意有q0且解得所以an1(n1)d2n1,bnqn1
12、2n1.(2),Sn1,2Sn23.,得Sn2222226.4(2012质检)数列an为公差不为零的等差数列,a11,各项均为正数的等比数列bn的第1项,第3项,第5项分别是a1,a3,a21.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析:(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q,由题意得aa1a21,(12d)21(120d),即4d216d0,d0,d4,an4n3.b11,b39,b581,bn的各项均为正数,q3,bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1,Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1,3Sn3153293
13、3(4n7)3n1(4n3)3n,两式相减得:2Sn14343243343n1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5,Sn.7(13分)数列an的前n项和Sn与通项an满足Snan.(1)求数列an的通项公式;(2)设f(*)log3*,bnf(a1)f(a2)f(an),Tn,求T2 012;(3)假设anf(an),求的前n项和Un.解析:(1)当n1时,a1,当n2时,anSnSn1,又Snan,所以anan1,即数列an是首项为,公比为的等比数列,故ann.(2)由可得f(an)log3nn,则bn123n,故2,又Tn22,所以T2 012.(3)由题意得(n)n,故Unc1c2,则Un,两式相减可得Unnn1nnn1,则Unnnn1.8.在数列中,.求数列的通项公式;求证:数列是等差数列;)设数列满足,求的前n项和.解析:数列是首项为,公比为的等比数列,公差d=3数列是首项,公差的等差数列.由知,n.,于是两式-相减得=.