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1、一元二次方程讲义考点一、概念定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程. 一般表达式：注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理如果能整理为的形式,则这个方程就为一元二次方程 4将方程化为一般形式：时,应满足a0难点：如何理解 未知数的最高次数是2：该项系数不为0；未知数指数为2；若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论.典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是 A B C
2、D 变式：当k时,关于x的方程是一元二次方程.例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为.考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解.应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2,则的值为.例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为.说明：任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为.说明：本题的关键点在于对 代数式形式的观察,再利用特殊根-1巧解代数式的值.例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为.例5、已知,求变式：若,则的值为.6、方程的一个根为 A B 1 C
3、 D 7、若.考点三、方程解法1基本思想方法：解一元二次方程就是通过降次将它化为两个一元一次方程.2方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如对于,等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：245例2、解关于x的方程：3. 下列方程无解的是 A. B. C. D.类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式： 在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题.典型例题：例1、试用配
4、方法说明的值恒大于0,的值恒小于0.例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值.变式：若,则t的最大值为,最小值为.例3、已知为实数,求的值.变式1：已知,则.变式2：如果,那么的值为.例4、分解因式：类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为0,方程形式：如, ,分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、的根为 A B C D 例
5、2. 1 3平方差 4 5 6十字相乘法 7十字相乘法 8例3、若,则4x+y的值为.例4、方程的解为 A. B. C. D.例5、解方程：例6、已知,则的值为.变式：已知,且,则的值为.例7、解下列方程(1) 2 = 2 -= x+2 5m2 17m + 14=0 =42类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根. 条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：说明：解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法.类型五、 降次思想的应用主
6、要内容：求代数式的值；解二元二次方程组.典型例题：例1、已知,求代数式的值.例2、如果,那么代数式的值.例3、已知是一元二次方程的一根,求的值.说明：在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解.例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元,再降次；先降次,再消元.但都体现了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系前提：对于而言,当满足、时,才能用韦达定理.主要内容：应用：整体代入求值.典型例题：例1、已知一
7、个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是 A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,1求k的取值范围；2是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.例4、当取何值时,方程的根与均为有理数？例5、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程二次项系数为1时
8、,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1.你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、已知,求变式：若,则的值为.例7、已知是方程的两个根,那么.测试题目：一、选择题1解方程：3x2+27=0得 .x=3 x=-3 无实数根 方程的根有无数个2.方程2=4的根是.3,-3 3,-1 2,-3 3,-2二、填空3方程9x2=25的根是_.4.已知二次方程x2+x-t=0有一个根是2,则t=_,另一个根是_.5.关于x的方程6x2-5x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为_.6.关于x的方程x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.7.方
9、程=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=_.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程=1.2=23x2-4x-4=0.x2+x-1=0.x2+2x-1=0.2+3+2=0.8用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.A 因式分解法 B配方法 C公式法9解关于x的方程：x2-2x+1-kx2-1=010已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mxx+1-5x+1x-1=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答：1当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润.2商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少？12、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形.1要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？2两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.3两个正方形的面积之和最小为多少?
