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1、 课 题 勾股定理综合复习讲义 学习目标1、 勾股定理的证明、三角形形状的判断2、 勾股定理的几何应用3、 最短距离与航海问题重点难点勾股定理的逆定理与其应用考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）与直角三角形有关的结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在RtABC中，C=90若a=15，c=25，则b=_；若a
2、b=34，c=10则RtABC的面积是=_。（2）在RtABC中，a,b,c为三边长，则以下关系中正确的是（ ）A. B.C. D.以上都有可能（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（4）一架5cm长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端1.4，若梯子顶端下滑了0.8m,则梯子底端将滑动例2：已知直角三角形的一边以与另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。（2）已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（）A、24B、36 C、48D、60（3）
3、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A12B7C12或7D以上都不对（4）已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25 C、7D、15 考点二：勾股定理的逆定理（1）逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n).（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。有
4、一个角是直角的三角形是直角三角形。 两角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用（1） 若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、234 B、346 C、51213 D、467例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个（2）已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（
5、）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（3）三角形的三边为a、b、c，由以下条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617B a2-b2=c2Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 （4）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A.等边三角形;B.钝角三角形; C.直角三角形;D.锐角三角形（5）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（6）若ABC的三边长a,b,c满足试判断ABC的形状。例3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个
6、三角形的最大角是度。（2）已知三角形三边的比为1：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例1：面积问题（1）以下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 （图1） （图2） （图3）（2）如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是（3）如下图，分别以直角三角形的三边向外作三
7、个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1例2：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例3：最短路程问题（1） 如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD
8、，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。 （图1） （图2）例4：航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里（2）（）如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域
9、有暗礁，若继续向正向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。 （图1） 例5：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D3（2）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （图1） （图2） （图3）例6：图形问题（1）如图1，求该四边形的面积（2）如图2，已知，在ABC中，A= 45，AC= ，AB=
10、+1，则边BC的长为 （图1） （图2）（3）将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，则h的取值围。4）已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为_.（5）如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_米.（6）如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_米.（7）“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了
11、秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？拓展提高：例1.如图中，求的长例2已知：如图，ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF2例3如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC1千米，BD3千米，CD3千米现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W提高练习：1、已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角
12、边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ./我的待修改内容文件夹/精品分类 拒绝共享2、如图，在RtABC中，C90，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，则折痕BD的长为_ABCDFD/3、如图，长方形ABCD中，AB8，BC4，将长方形沿AC折叠，点D落在D/ 处，则重叠部分AFC的面积是多少？4如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，Sn(n为正整数)，那么第8个
13、正方形的面积S8_，第n个正方形的面积Sn_6、如下图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，BPQ的面积为多少？7、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；（2）若x+y=12，x0，y0请仿照（1）中的规律，运用构图法求出代数式 的最小值8、梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC
14、为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB9、如图，梯形ABCD中，ABDC，ADC+BCD=90，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_10、如图：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论11、如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长
