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1、普通物理,第三章 动量守恒定律（2课时）,问题：如图所示，细绳的一端固定于 O 点，另一端系一小球，在 O 点的正下方 A 处钉一个钉子，小球从高处摆下，当钉子与细绳相碰时，实践证明钉子的位置越靠近小球细绳越容易断开，请说明原因。小球摆到最低端时具有一定的线速度，钉子的位置是新的圆心，钉子越靠下，圆周运动的半径越小，小球的向心加速度就越大，克服重力提供向心力的绳子受力就越大，细绳越容易断开。,课前问题讨论,河流上结了一层薄冰，你一定要过去，怎么办呢？你知道要安全走过去，冰层厚度至少是多少？要在湖面上溜冰，冰层厚度又该是多少才安全？将一张长条形纸的中间剪两个缺口，然后用力拉两端，这张纸会断开成几
2、块？实际做几次试试，缺口可以有多个并且分布在两侧。,讨论：我走出教室的时候，被从外面正好跑进门的同学撞倒了，看来我阻挡他的力，要比他撞我的力小得多，是这样吗？首先，相互作用力相等。其次，我被撞倒是因为对方动量大。动量是什么？它有什么意义？能够用来解决什么问题？这就是本单元要讨论的内容。,本讲教学要求,掌握动量、冲量、平均冲力等概念及其物理意义。掌握质点、质点系动量定量及其应用。掌握质点、质点系动量守恒定律及其应用。掌握质心运动定律，了解质心坐标系。了解变质量系统的研究方法。,本讲主要问题,质点的动量定理质点系的动量定理质点系动量守恒定律质心运动定理与质心坐标系变质量体系的研究,引入动量及其守恒
3、定律的意义,牛顿运动定律解决了力和运动的关系这一动力学的根本问题。在此基础上引进动量、能量和角动量等新的物理量，可得到关于这些量的运动定理以及守恒定律，用这些规律去分析质点的运动问题往往比从牛顿运动定律出发更为方便。在牛顿定律不适用的许多场合，包括微观领域，作为牛顿运动定律推论的运动定理和守恒定律仍然有效。成为比牛顿运动定律更为基本的规律。,一、质点的动量定理,质点的动量概念：定量描述物体运动状态的物理量，或者说是运动的量度；它与运动的某一时刻相关，是状态量。定义：质量大、速度大的物体具有较大的动量，故动量定义为质点质量与速度的乘积，方向与速度同向。即：单位：动量与力的关系（牛顿第二定律）,问
4、题：力 的方向与动量 的方向相同吗？,力的冲量概念：力对物体作用时间的累积效果，或者说是力在作用时间内对物体的作用效果的量度；它与一段作用时间相关，是过程量。定义：力对作用时间的累积 称平均冲力，注意，它不能用首尾二力相加再除 2 来计算。单位：牛秒（Ns）与,问题：冲量 的方向与力 的方向相同吗？与平均冲力的方向一致吗？,质点的动量定理元冲量（冲量的微分）：力在微小时间内的累积效果。动量定理的微分形式 即动量的微分，其方向指向 时间内速度变化的方向。,问题：的方向如何？它与 时刻力的方向有何关系？,动量定理的积分形式设 时刻物体的运动速度为，动量为，时刻物体的运动速度为，动量为，物体所受的合
5、外力为，对动量定理微分形式两侧同时积分,物理意义：作用于物体上的合外力在一段时间内的冲量等于该作用时间内物体动量的增量。,动量定理在直角坐标系中的的分量式注意：上述各式中的分力均是指物体所受到的合外力在各个坐标轴上的分量。,说明质点的动量定理建立了冲量与动量之间的因果关系，在使用动量定理解决问题时，要注意：动量是状态量。某时刻物体动量的方向为该时刻物体速度的方向，且在运动过程中随速度方向的变化而改变；冲量是过程量，某段时间力的冲量的方向为物体速度变化的方向，只有明确时间间隔才能确定冲量的方向。,例1：以速度 水平抛出一质量为 m 的小球，小球与地面作用后反弹为原高度 h 时速度仍为，作用时间
6、t，求地面对小球的平均冲力。解：小球从 h 处落下到升高到 h 处，作用时间为：故重力的冲量为故地面的平均冲力为,可见在冲击问题中，冲力远大于物体重力，所以类似问题中忽略重力。,二、质点系的动量定理,质点系由多质点构成的体系称为质点系。其处理方法是先研究每一个质点，然后再对它们取和。牛顿运动定律理论上可以解决质点系的动力学问题，但实际上由于方程的个数太多而心有余而力不足。但是由牛顿运动定律推导出的动量、能量和角动量以及这些量的运动定理、守恒定律在解决质点系的动力学问题时却作用非凡。,三质点体系对于由 三质点组成的体系，设某时刻每个质点所受合外力分别为，运动速度分别为，依牛顿第二定律得：,依牛顿
7、第三定律，有,将所有方程相加，注意到所有内力的矢量和为零，得令：即质点系的总动量，等于各质点动量之和。令：即质点系所受的合外力，等于各质点所受外力之和。于是有,此式表明，质点系总动量的变化只与质点系所受合外力有关，质点系内力对质点系的总动量没有影响。,任意质点系上述结论推广到任意质点系，质点系的总动量表示为质点系所受到的合外力表示为则质点系动量定理的微分形式为,物理意义：质点系所受到的合外力等于质点系的总动量对时间的变化率。,将质点系动量定理的微分形式改写为设考察的物理过程由 时刻开始，时刻结束，质点系总动量由 改变为，上式两侧同时取定积分即此式即为质点系动量定理的积分形式，它表明：在一定时间
8、内质点系所受到的合外力的冲量等于该段时间内质点系总动量的增量。,若在所考察的整个物理过程中，质点系所受到的合外力始终为 0，则根据质点系动量定理得此即质点系的动量守恒定律，它表明：不受外力或所受外力矢量和为零的质点系的总动量保持不变。但每个质点的动量可能时刻发生变化。动量守恒是矢量式，在直角坐标系中可分解为三个分量式：,三、质点系的动量守恒定律,说明推导过程并没有规定作用力的具体形式和性质，因此动量守恒律是普遍适用的，与作用力的具体性质、形式无关，对于任何力都适用。自然界任何物体均受外力作用，但如果系统内力远远大于外力，则可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往忽
9、略外力。若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，则在该方向上的动量分量守恒。,动量守恒定律的适用范围与牛顿定律一样，动量定理、动量守恒定律只适用于惯性系。若在非惯性系中应用，必须考虑惯性力。动量守恒定律虽然由牛顿第二定律导出，但它比牛顿第二定律适用范围更广。在牛顿第二定律不成立时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。,例3：质量为、长为 的平板车以速度 沿直线运动。车上的人质量为，逆车运动方向从车头经 时间到达车尾。求：1）人相对车匀速运动到达车尾时车的速度；（不计摩擦）2）人从车头匀速运动到车尾的时间内车运动的路程；3）若人变速率运动，结论如何？解：人和车视为质点系，地面为参照
10、系。人开始运动时为计时起点，此时车尾所在位置为坐标原点，沿车运动方向为正方向建立 x 轴。因质点系所受合外力为零故质点系总动量守恒：,上式在 x 轴方向投影得1）人相对于车匀速运动则可见，人开始匀速运动时平板车以新的速率 做匀速运动，人运动到车尾时车运动的距离 s 为：,2)若人做变速运动，即，因人与车之间的作用力是内力，系统的水平动量依然守恒，由(1)式知：可见，此时平板车做变速运动，人到车尾时车运动的距离 s 为：,可见，两种情况下结果相同。,课间小游戏,如下图那样坐在椅子上，双脚自然着地，双腿和上身保持竖直，双手不借助任何物体，你能站起来吗？要想双手不借助任何物体站起来，双脚应该在什么位
11、置？这个位置的特点是什么？蹲马步，什么情况才能保持住，这时，身体姿态有什么特征？以上情况，你能用学过的物理知识解释吗？,四、质心运动定理,质心手榴弹（可以看成质点系）被投出后，其上各点的运动较复杂，手榴弹在做上抛运动的同时还在旋转，但物体上有一点（以红色表示）较特殊，该点的运动简单的就象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹运动。任意质点系都存在这样一个特殊点 质心，它的运动代表了质点系的整体平动状态。,质心的位置对于由两个质点组成的质点系，设两质点质量分别为，位置坐标分别为，质心坐标为，则：,两式合并得：,注意：质心并不对应一个实体，即不一定在物体上。,对 n 个质点组成的质点系，可以表示为式
12、中 表示质点系总质量，且集中于质心处。注意：质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是它们的带权平均值。质点系质心的坐标（或位矢）与坐标系原点的选取相关。实际计算常分解到三个坐标轴的方向进行。,对质量连续分布的物体，可将其分割为多个质量微元，每个质量微元体积为，可视为一个质点，则质心为注意：对于质量连续分布的体系，质心的位置与坐标系原点的选择有关，但质心与体系各质元的相对位置则与坐标原点的选取无关。,例2：如图，等腰三角形薄板腰长为，顶角为，质量面密度为，求其质心位置。解：如图建立直角坐标系，显然有如图选择微元，近似为四边形，其高度为，面积为：根据质心的定义有：,对于分子的积分式，其结果为：
13、,对于分母的积分式，其结果为：,(2)、(3)代入(1)得 y 方向的质心坐标为故此三角形薄板的质心坐标为：,质点系总动量的质心表示对于含有 n 个质点的质点系上式表明：质点系的总动量等于质点系的总质量乘以质心运动速度。即考虑质点系作为一个整体的运动特征时，可以将质点系看做所有质量集中于质心处形成的一个质点，该质点以质心速度运动。,质心运动定理对于受合外力 作用的质点系，若只关心质点系质心的运动状态，则即：质点系所受合外力等于质点系的总质量乘以质心加速度。说明质心运动定理是矢量方程。可分解为三个分量方程。把一个复杂的物体在不考虑转动和内部运动时看成是一个“质点”，其根据正是质心运动定理。,质心
14、坐标系简介 质心是非常有用的物理概念，质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。在讨论某质点系的力学问题时，将坐标系的坐标原点建立在该质点系质心上的坐标系叫质心坐标系(或质心参考系)，简称质心系。质心系在讨论质点系的力学问题中十分有用。若质点系所受外力的矢量和为零，则其质心坐标系是惯性系。否则，质心系是非惯性系。在质心坐标系中，质点系的总动量恒为零。,*六、变质量体系的研究,所谓的变质量体系，并非指体系质量随体系运动速度而变化的相对论情况，而是指体系在运动过程中不断与外界交换质量的运动。例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断
15、凝聚于水滴上的雨滴等。变质量体系有两个特征 它的质量随时间变化：即外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有质量输送到外界；变质量的质点：体系中所有质点运动情况相同，因而可将体系视作质量随时间变化的质点。,变质量体系研究方法牛顿运动定律或动量定理，都只能用于确定组成的质点或体系，这是因为只有当体系的组成是确定的，内力和外力才有确定的意义。变质量体系不断与外界交换质量，体系的组成不确定，对于这样的体系，牛顿定律和体系动量定理不适用。可以将变质量体系变化的全过程看成一系列不同组成的确定体系的元过程的总和。在每一个元过程中，体系的质量保持不变，从而可以应用动量定理。,元过程过程开始时，整个体系由
16、原体系（主体）和即将进入主体的物体（附体）两个部分组成。它们经过时间 t，附体并入主体构成一个新体系(质量未变化)，过程结束。显然，在元过程中，体系动量定理成立。,变质量体系的密舍尔斯基方程设元过程由 t 时刻开始：此时整个体系有两部分：主体质量 m，速度，受外力 附体质量 m，速度，受外力元过程在 t+t 时刻结束：此时体系的两个部分结合:体系质量 m+m，速度，外力 依体系的动量定理,忽略二阶无穷小量，则：令，则，上式取极限得：此式称为密舍尔斯基方程，是描述变质量系统中主体部分运动的动力学方程。式中,讨论系统组合时附体对主体的作用力为：当 时，上述方程即牛顿第二定律，系统转化为恒定质量的系
17、统。当 时，上述与牛顿第二定律形式相同，但描述的是封闭系统质量随时间变化的运动。,例7：火箭的运动根据密舍尔斯基方程：火箭运动是抛弃质量，故以 dm 代替 dm，得：,忽略火箭所受外力（重力）得因 为抛出质量相对火箭的速度，以 表示得：设火箭开始发射时总质量为 m0，所有燃料喷射完毕后的质量为 m。火箭燃料以恒定速度发射，则火箭发射后所有燃料喷射完毕可使火箭达到的速度为：,讨论：增加火箭速度的方法增大喷射燃料相对火箭的速度，理论上可达 5000 m/s，实际上只达到 2500 m/s；增加 m0/m 即质量比，要达到第一宇宙速度至少需要 49，很困难。结论：必须采用多级火箭才能真正提高速度！,
18、例8：雨滴开始自由下落时质量为 m0，下落的过程中，单位时间凝聚的水汽质量为 k，设水汽附着于水滴前的速度为 0，忽略空气阻力，求雨滴 t 时刻下落的距离。解：以地球为参照系，设开始下落处为坐标原点且 o-x 轴竖直向下，水滴刚开始下落时为计时起点，设 t 时刻元过程开始，此时雨滴的质量为 m0+kt，所受外力为重力，大小为(m0+kt)g,由密舍尔斯基方程得：,沿 x 轴投影并整理得：分离变量利用初始条件 t=0 时，v=0，可解得,上式不易积分，右侧做变形：积分并利用初始条件：t=0 时，x=0，得,课后讨论,对于质点系，下面两个式子表达的含义相同吗？是否都可以作为质点系动量守恒定律的条件
19、？（课后思考题 3-3）在无风的水面上行驶的帆船，如果有人使用船上的鼓风机对着篷帆鼓风，船将如何运动？为什么？（课后思考题 3-6）内力可否改变系统整体的运动状态而产生加速度？内力可否改变系统整体的动量？,作业：P79 页,3-5.质量为 m 的刚性小球在水平光滑桌面上以速度 运动，运动方向与 x 轴负方向夹 角，小球运动到 O 点时，受到沿 y 方向的冲力作用使运动方向变为与 x 轴正向夹 角，设小球受冲力作用的时间为，求：1）小球在O 点所受平均冲力的大小；2）小球受冲力作用后的速度大小。3-7.求半径为 R 的均质半圆形薄板的质心。,3-9.一个水银球竖直落在水平桌面上，分成三个质量相等的小水银球，其中两个以 30 cm/s 的速率沿相互垂直的方向运动，求第三个水银球的速率及与第一个小水银球运动方向的夹角。3-10.质量为 1.24 kg 的木块与一处于平衡状态的轻弹簧相连接，它们静止在无摩擦的平面上，质量为 10 g 的子弹沿水平方向射向并嵌进木块，子弹嵌入木块后，弹簧被压缩了 2.0 cm，设弹簧的刚度系数为 2000 N/m,求子弹撞击木块的速度。,补充：最初，70 kg 重的人和 210 kg 重的小船处于静止，后来人从船后向船头匀速走了 3.2 m 停下来，若不计船所受的阻力，问船向哪个方向运动，移动了几米？,
