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1、定义法沿如下曲线的积分.2为从点到点再到点的折线.解：从点到点的直线段参数方程为，在它上有，如此，从点再到点的直线段参数方程为在它上有，如此，于是由复积分对积分路径的可加性可得沿如下曲线的积分.1为从到的直线段；2为从到的上半圆周；3为从到的下半圆周.解：1直线段的参数方程为在它上有，如此2上半圆周的参数方程为在它上有，如此3下半圆周的参数方程为在它上有，如此为从到的直线段，计算函数沿的积分.解:直线段参数方程为，在它上有 如此用Cauchy积分定理计算积分的值，且证明等式1解：被积函数的奇点在积分路径的外部，所以被积函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分定理得 2证明：圆周的参数方程为，
2、在它上有于是由1得所以比拟等式两边的虚部得注：此题常见错误：因为在处处解析，所以非常数实函数在整个复平面上处处不解析！沿正向圆周的积分值，其中且.解：函数的奇点为.1当时，的奇点在圆周的外部，所以在闭区域上解析，于是由Cauchy积分定理得 2当时，在圆周的内部，如此由解析函数积分的闭路变形原理可得其中为任意实数.5计算如下积分值，其中积分路径都取正向.2解：令，如此有上面第一式令得；上面第二式令得.所以，于是1计算如下积分，其中积分闭路取正向.1解：4解：6解：8解：被积函数有6个奇点，只有在圆的内部，于是函数在闭圆域上解析，如此由Cauchy积分公式得Cauchy积分公式计算函数沿正向圆周
3、的积分值，然后利用圆周的参数方程证明下面积分1解：函数的奇点在积分路径的内部，而函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分公式得 2证明：圆周的参数方程为，在它上有于是比拟等式两边的虚部得又所以和在简单闭路C上与其内部解析，试证：1假如在C上与其内部处处不为零，如此有2假如在C上有如此在C的内部有证明：1因为在简单闭路C上与其内部解析并且处处不为零，如此在简单闭路C上与其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得（2） 假如对于C上的任意一点有由于和在简单闭路C上与其内部解析，如此对于C的内部的任意一点，由Cauchy积分公式得所以在C的内部有一、将如下函数在指定环域内展开成Laurent级数
4、，且计算其沿正向圆周的积分值I.1解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取1，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周为环域内围绕环心的正向简单闭路，所以3解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-1，于是在环域内的Laurent级数展开式为在环域内的Laurent级数展开式不含有负一次幂，如此负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以5解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-i，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周在环
5、域内部且正向围绕环心，所以2.利用留数计算如下沿正向圆周的积分.2解：被积函数的奇点和都在圆的内部，它们都是一级极点，且满足留数的计算规如此3的条件，如此由规如此3得于是由留数定理得4解：被积函数的奇点在圆的内部，它是二级极点，如此利用留数的计算规如此2得于是由留数定理得6其中m为整数解：当时，被积函数在圆内部没有奇点，此时当时，被积函数的奇点在圆的内部，其中：当时，是可去奇点，此时于是由留数定理得当时，是级极点，如此利用留数的计算规如此2得于是由留数定理得综合可得：当且为奇数时，当为其他整数时，4.计算如下各积分，C为正向圆周.1解：被积函数在环域内解析，它的五个奇点都在圆周的内部，用留数定
6、理计算比拟困难.该积分满足5.2节定理2的条件，如此由定理2得2解：被积函数在环域内解析，它的奇点都在圆周的内部，其中为一级极点，为本性奇点，由于在本性奇点的留数不容易计算，故用留数定理计算比拟困难.该积分满足5.2节定理2的条件，如此由定理2得利用留数计算如下定积分.1解：令，如此，从而有 .函数在内只有一个简单极点，在上无奇点，且,由留数定理得3解：满足5.3节定理2推论的条件，在上半平面内只有一个二级极点，且，因此得注：此类型题常见的错误：计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点：错解：5解：函数在上半平面内只有一个简单极点，且，因此取其实部得注：此类型题常见的错误： 计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点； 计算出留数后取实部或虚部再乘以得出结果，而不是计算出留数乘以后再取实部或虚部才得出结果。错解：注意：此类定积分题最后的结果一定是实数！
