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1、,现代数学与应用,数学的作用日趋广泛数学是解决各种现实问题的工具数学已成为自然科学、技术发展的重要思想方法,一种科学只有成功地运用数学时，才算达到完善的地步（马克思）,哥尼斯堡七桥问题伏尔泰拉原理(捕鱼问题)人口增长数学模型杨米尔斯方程与现代微分几何折叠与突变理论平衡点与对策论隶属函数与模糊数学黄金分割与斐波那契数列编码技术与密钥体制社会的数学化（格罗皮厄斯：平行街区造房的设计方案；红楼梦研究；长沙马王堆一号墓（1972年8月出土）建造的年代测定；抽样调查、统计推断在民意测验中的应用）,1 20世纪数学应用的发展概况,随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着无数的数学家投入到应用数学的研究
2、。“数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承担解决应用问题的道义责任。”（维纳语）。数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争 的需要中找到了自己生长发育的土壤,20世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹数学，忽视数学应用，成为数学研究的主要思想倾向,20世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期:突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生.数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展 数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科,2 数学模型方法,哥尼斯堡七桥问题,是将实际问题转化为数学问题，并借助数学理论来解释现实问题的方法,用数学模型方法解决实际问题，主要经历以下的几个步骤：,建构数学模型的过程是不断地实
3、践检验、重构的过程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论 区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型的解常常需要与计算机有关的算法设计,构建数学模型 求解数学问题 回到实际中解释结果,生态学中应用的范例:,意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模型，用微分方程 描 述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为：猎物（小鱼）和捕食者（大鱼）的平均数分别为(a2+c)/b1,(a1c)/b2.（其中a1，a2，b1，b2都是参数，c是捕鱼量）当捕鱼量c增加时，捕食者减少，猎物增加；当c减小时，捕食者增加 而猎物减小,20世纪20年代，意大利生物学家
4、迪安康纳在研究地中海各 种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化:在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长,数学模型给出的结果，可以给这一现象解释如下：,因战争捕鱼量下降，凶猛大鱼 的数量增加 战 后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐渐下降。,这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理,3 非线性数学,对现实世界中的各类问题的线性处理：譬如，牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象：当物体在外力作用下，如果已知 在初始时刻t0,，物体位于初始位置x0，就可以推知物体在未来时刻t的位置。在这里，一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的，即初值的微小
5、误差，不会影响物体未来的运动轨迹。,世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的非线性系统的原理和模型。非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如：“拟线性”的方法。,人口增长数学模型：从线性方程到非线性方程,马尔萨斯的线性方程数学模型：人口的增长率与现有的人口数成正比，即,按照这个模型考察短期人口的增长情况，基本是正确的。但是用它未预见更长一段时期的情况，就很难奏效。比如，1965年1月的世界人口是33.4亿，由于1
6、960年至1970年世界人口的平均增长率为2%。按马尔萨斯的模型计算，到2660年，世界人口将达到3.6107亿。这样，即使我们把占地球面积80%的水面也住上人，届时每个人的肩上也得站两个人。,逻辑斯蒂模型，一个非线性方程及其解:,其中c0是常数，它由t0时的人口数x0=/(+c)确定。当t趋于无穷大时，x 趋于/。这表示在资源有限的区域内，人口不能无限制地增长，它要趋于一个饱和值（/）。按照逻辑斯蒂模型计算，地球总人数的饱和值估计将是107.6亿，而按照这一模型曲线，在人口达到这个饱和值的一半之前，是人口加速增长时期；达到其一半之后，人口增长率就降低，进入减速增长时期，最终的增长率趋于零。,
7、量子场理论 _麦克斯韦方程 _杨米尔斯方程,整体微分几何 _陈示性类与纤维丛理论,数学与物理的内在和谐性,4 杨米尔斯方程与现代微分几何,现代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂亮的范例,1967年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。1975年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论解释物理现象，并于当年发表了论文,明确指出了 纤维丛理论和规范场理论的联系，将这两个领域的概念建立了一一对应的关系。杨米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学科。,5 折叠与突变理论,经典的系统稳定性的理论：稳定性系统是一种当影响系统的因素连续变化
8、时，其系统的行为也连续变化的系统，而且当因素发生微小变化，系统的行为也只发生微小的变化。,突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一类不具有稳定状态的客观现象，,1972年，法国拓扑学家托姆创立了突变理论的数学模型。突变理论就是运用一些典型函数在一些临界点（即能使系统状态在微小“扰动”下产生巨变的自变量值）的性态来刻划突变现象。,最简单的突变模型：f(x)=(1/3)x3，在x=0处，给出一个微扰，形成了一个函数族fa(x)=(1/3)x3+ax,系统V（x,1/3,a），对于参数a的某些值，使x=0这个点（或附近）有影响系统突变的两个临界点。即正是参数a的微扰而产生系统出现突变。,尖角型模型
9、的实例气液相变中的突变现象水的密度是温度 T 和压力 P 的函数,用、T、P三个变量组成三维行为空间如图，其中两个水平轴表示相变条件：温度与压力，称为控制平面；垂直于控制平面的第三轴表示水的状态：密度；水的密度变化可用一个特殊曲面表示，称为行为曲面。,整个行为曲面由液态的 高密度区向气态的低密度倾斜，说明随温度上升和压力下降，密度变小,设温度和压力沿AB方向变化，在行为曲面上水的密度处于渐变过程中。但到了折叠的边缘，只要温度和压力沿AB方向再离开F一点点，水的密度值就突然跌到行为曲面的下叶的气态区域。这时水由液态变为气态，形成一次突变。反之，如果温度和压力沿着BA的方向变化，起初水的气态密度在
10、行为曲面下叶沿连续地有所增加。但到了折叠的另一个边缘，密度值突然上升到曲面上叶的液态区域，水蒸气变为液态的水，这也是一次突变。,6 平衡点与对策论-有鞍点的零和对策实例,1943年初，驻守在新几内亚岛北、南两边的日本与同盟国军队处于对峙的状态。当时情报部门获悉，日本正调遣一支护卫舰队增援其岛上驻军，增援的路线可能有南、北两条航线，而且无论走哪条航线，估计都需要三天的时间。这时同盟国决定在三天中利用侦察机尽快搜寻到日军的增援舰队，然后能有更多的时间（极大化）轰炸这个舰队。双方指挥官在都不知道对方具体走哪条路线的情况下，要设计出对双方都是最佳的选择，,利用所谓的“支付矩阵”说明双方最佳的选择方案,
11、矩阵中表示天数的数字在对策论中称为“支付”,同盟国可以获得的轰炸天数，即“行局中人”的支付。如，在行局中人（同盟国）选择搜索南线，且“列局中人”（日方）也航行南线的情况下，同盟国有3天可以用于轰炸。由于双方的利益截然相反，所以列局中人（日方）的支付就是这些数字的负值。,现在的问题是，在已知支付结构的情况下，双方的局中人做怎样的选择才是最佳的？,对于同盟国一方：如果沿北线搜索，那么不管日方走哪条路增援，他取得的支付都是2（即获得2天的轰炸时间）；如果同盟军沿南线搜索，那么可以获得支付1或3。在事先不知日方确切的增援线路的情况下，同盟国的决策是从北线搜索，并获得支付2。如果将支付矩阵中每行的支付的
12、“极小值”列在图的右侧，可以看出，同盟国是选择了“行极小中的最大值”。出于相同的理由，日方会选择北线增援，即选择了列局中人的“列极大中的最小值”（见图的下方）。在局中人的这种选择下，不管对方采用什么行动，双方都获得了自己的一种极小的支付。,在双方的这种抉择下，双方的支付都是2，即列极小中的最大值等于列极大中的最小值，我们称它为对策的“平衡点”。由于对竞争双方而言支付的绝对值相等，且符号相反，因此又称此类对策的解为“零和对策”，平衡决策点又称为“鞍点”,从数学的观点上看，极大极小定理对于竞争双方的零和对策，已经提供了唯一的数值解。但在现实中，对策的局中人可能不只是两个，或者局中人赢得的支付又未必
13、等于另一局中人输掉的支付美国数学家纳什将极大极小定理推广到了有两个或更多个局中人的非零和对策所谓的“非合作对策”的情景。并得到了重要的结论纳什定理：在任意一个n个人参加的非合作对策（零和或非零和）中，如果每个局中人有有限个纯策略，那么，至少有一个策略平衡组。纳什的工作于1994年获得了经济学诺贝尔奖，这是在使诺贝尔奖建立93年之后，第一次授予了一个纯数学理论研究成果。,隶属函数与模糊数学（1965年美国的扎德）,特征函数与隶属函数,老年人模糊子集的隶属函数,模糊现象和模糊概念,式中的x表示50岁以上的人的年龄，由计算可知：老年人（55）=0.5 这表示55岁的人只能算“半老”，因为他属于老年人
14、集合的隶属度为0.5。60岁的人的隶属度为0.8。65岁的为0.9。70岁的为0.91。80岁的为0.97。90岁的为0.98，等等,8 黄金分割与斐波那契数列,黄金分割问题：给出任意一个线段AB，我们要在这上面找到一点，这一点把这条线段分成长短二部分。使得全线段的长和较长部分的比值是等于较长部分和较短部分的长的比值。用几何方法容易算出这个比值为亦就是说，较长的线段近似等于整个线段长的0.618倍,开普勒说：“几何学里有两个宝库：一个是毕德哥拉斯定理，另一个就是黄金分割。前面那个可以比作金矿，而后面那一个可以比作珍贵的钻石矿。”,兔子繁殖问题 与“斐波那契数列”Fn:1，1，2，3，5，8，1
15、3，（n=0，1，2）该数列的通项公式,斐波那契数列与黄金数,斐波那契数列和贾宪三角形（斐波那契数列的应用）,在贾宪三角形的第n行（图中取n=10），然后由1为起点画一条线和水平方向成45度的角，这条线上所经过的数的和就是斐波那契数列的第n项。例如，f10=1+8+21+20+5=55。,斐波那契数列与植物形态的联系,向日葵的花盘。从盘中心向外辐射出来的螺旋线：顺时针方向伸展的螺线数目，与逆时针方向伸展的螺线数目是斐波那契数列的两个邻项。事实上，任何菊科植物（如皱菊或翠菊）的花盘都有此特征。,植物主茎的侧面的叶子（或芽体、枝叉）。在主茎底部附近选定一片叶子，然后沿主茎向上计数叶子，一直数到恰好
16、在选定叶子正上方的一片为止，这个数通常是斐波那契数列中的一项；绕主茎旋转计数叶片数，并且数到刚才位于上端的那片叶子为止，所得到的数通常是刚才那项前面的邻项。,9 编码技术与密钥体制数论：古老的学科，“清白的”分枝，巨大的应用威力,条形码（也称UPC码）,由11位数字07507031400，和后面的一个5组成。这11位数字是条形码的本体。最后的一个5是检验码。一般来说，如果条形码的数字依次是a11，a10，a1，a0，那么a0要这样选取，使得,3a11+a10+3a9+a8+3a3+a2+3a1+a0 恰是10的倍数。,香农 信息论的创始人 一种可以发现错误并能改正错误的编码方案 奇偶校验码，是
17、一种可以发现错误并改正错误的编码方案，又称（7，4）码。,要传送的由0、1 组成的序列编组。利用4个信息符号（0或1）加上另外 3 个检验符，构成一个由 7 位二进制数码组成的信息块，记之为：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7其中x3,x5,x6,x7 四个二进数码是要传递的信息，x1，x2，x4则是检验符。检验符选择的方法是：X4 要选得使 a=x4+x5+x6+x7为偶数；X2 要使得使 b=x2+x3+x6+x7为偶数；X1 要选得使 c=x1+x3+x5+x7为偶数。当我们接收到一组由7个二进数码组成的字母串，就将它代入以上公式进行计算，如果a，b，c 都是偶数，则表示传送正确，
18、4 个信息数码准确无误。如果计算出的 a、b、c 有奇数，那就一定出错了。在“传送的 7 个数码中至多可能出现一个错误”的假定下，使用仙农的这个设计，可以发现哪一个码是错的，并且可能给以改正,公开密钥体制（1978年）酒吧间里萌生的构想公开密钥体制的原理,公开密钥体制能够有效的用于现代通信，其基本的原因是大数分解问题目前还没有找到有效的方法。这就为解码的一方造成了很大的技术困难.有时，即使已知n不是素数，但却找不到它的素因子。例如，我们已经知道最小素因子为p=5 21945+1（585位的素数），但至今还不知其它素因子是什么。到目前为止，一个200位数字的整数，如果没有较小的素因子，想找到它的
19、一个素因子是极其困难的（有人估计要花几亿年的时间）。,1903年，颇具声望的美国数学会的一次会议上，数学家科尔一言不发地在黑板上用193707721和761838257278相乘，得出的积是梅森素数M67。由此获得全场听众的热烈掌声。殊不知科尔的发现耗费了他自己20年所有周日的下午。,假设某公司的分公司是X1，X2，彼此间要进行保密通讯。整个公司选取公共的n=p q（其中 p 和 q 都是近 100 位数字的不同素数）。并把 n公开，而 n 的素因子 p 和 q 对外保密。每个公司 Xi 选取两个正整数 ei和 di，且满足 eidi l(mod(n).其中(n）=(p1)(q1)，称为欧拉函
20、数。第 Xi 个公司把 ei 公开而将 di 保密。所有的分公司都把自己的加秘密钥 ei 公开，这些加密密钥可以像公共电话本一样收集成册供每个分公司查阅,信息发送 把传输的信息表达成 0 到 n1 之间的整数 a 的二进制表示，当分公司 X1 要向分公司 X2 发信息，X1 在公开的密码本上查到 X2 的加密密钥为 e2，X1就把要发的信息明文a加密成：E2（a）=(关于模n的最小非负剩余）然后发至X2,接受信息 Xi 用它把收到的加密信息 b(0bn1)变成：Di（b）=（模n的最小非负剩余）由上述过程我们知道，对每个信息 a(0an1)，先用加密运算 Ei 再用解密运算 Di，则有：DiE
21、i（a）=Di(a ei n)a ei di a(mod n)，即Di Ei（a）=a,“签名”功能X1还可以通过“签名”让X2知道消息来自X1。它的基本思想非常简单，就是每个 Xi 的加密运算 Ei 和解密运算 Di 不仅满足 DiEi=I，而且还满足EiDi=I.因为对每个信息a(0an1),有EiDi(a)Ei(a di)a di eia(mod n)所以X1发信息 a 给X2时，在加密之前先用自己的解密运算签名：D1(a)=a di n 然后再用X2的公开加密密钥把签名的信息D1(a)加密成密文E2D1(a)发给X2，X2收到E2D1(a)之后先用自己的解密密钥作用：D2E2D1(a)
22、=I D1(a)=D1(a)。但这不是明文，所以X2要用公开在加密密钥手册中所有人的加密密钥去试。当试到X1的加密密钥E1时，E1D1(a)=a成了明文，于是X2不仅知道信息的内容a，而且知道是X1发来的,10 社会的数学化（实例）,（一）格罗皮厄斯：平行街区造房的设计方案（1931年）目的：得到充分的光、空气采集量和足够的生活空间,数学模型与证明：设三个独立的变量：P（给以住房的人数），A（地块面积），I（阳光入射角的正切值），以及因变量x（每一住房街区的楼层数）。则 P=a l x/b，A=l(a+s),I=3x/s,其中，a 是每个街区的宽度，b 是每个居住者的占地面积，l 是每个街区的
23、长度，s 是街区间的距离。常数3（米）表示每层楼的高度,设地块的人均面积比为SAR=A/P，显然它同人口密度成反比，,格罗皮厄斯假设：对于不变的人口密度（或SAR），人均开放空间随楼的层数而增加，其数学证明如下：,开放空间的量用每个街区长度乘以街区间的距离 sl 表示。则人均开放空间量OSR=sl/P。将P=alx/b代入到公式中，得到OSR 因为SAR=A/P，这导致关系式SAR=OSR.即，当保持人口密度（亦即SAR）不变。OSR将随着层数x的增加而非线性地增加。,另外，格罗皮厄斯还假设：人均开放空间在10到12层时可能达到其最大值。,美国华裔学者陈炳藻，使用数理统计学方法，探红楼梦前后用
24、字的规律。发现红楼梦前八十回与后四十回所用的词汇正相关程度达到78.57%，由此推断得出前八十回与后四十回的作者均为曹雪芹一人的结论。,南京工学院（现东南大学）、深圳大学相继开发了红楼梦作品研究的计算机数据库系统。通过对语言风格要素与风格手段，以及某些用字、用词及回尾处理的差异做了比较研究，得出了红楼梦前八十回与后四十回语言风格存在明显差异的结论，又为两者出于不同作者之手提供了有力的证据。,（二）运用数学语言研究红楼梦的作者和成书过程(80年代）,中国数学家李贤平在美国威斯康星大学，运用计算机技术的模式识别法和统计学家使用的探索性数据分析法，又提出了一个红楼梦成书过程的观点：红楼梦各回所写内容
25、具有不同的风格，各部分实际上是由不同作者在不同时期里完成的。,基本原理：半衰期20世纪的物理学家首先发现：放射性元素的原子是不稳定的，在给定的时间内，它的原子按照一定的比例蜕变成其它元素的原子，蜕变率与该物质现有的原子数成正比。科学家使用“半衰期”这一定义给定数量的放射性原子蜕变一半所需要的时间，测得一些物质的半衰期。如，碳14 的半衰期为5568年。碳14作为一种放射性元素，在动物体内依然产生衰变过程。有趣的是，活的动物体内，碳14的摄取率与它的衰变率是平衡的，只有当动物死亡之后，才由于碳14的摄取停止而发生碳14浓度的降低。,（三）碳 14 年代鉴定方法,设物品在时刻 t 时的碳14 的数
26、量为 N（t），物品形成时碳14的数量记为 N0，物品的碳14衰变常数=ln2/5586，则有 t=(5568ln2)ln(N/(0)/N/(t)其中N/(0)N 0，它相当于存活的树木中碳14的蜕变率。由于大气层受宇宙射线的轰击的速率保持不变，因而N/(0)现在存活树木中的碳14的蜕变率与古代存活树木的蜕变率是相同的。,数学模型,开墓时测得墓中古代木炭中的碳14的平均原子蜕变数为29.78次/分，而现存的新木炭的平均原子蜕变数是38.37次/分，即N(t)=29.78，N(0)=38.37，于是 t=(5568ln2)ln（38.3729.78）2036（年）由此推算，马王堆一号墓生成的大致
27、年代为2000多年前的西汉末年,长沙马王堆一号墓（1972年8月出土）建造的年代测定：,盖洛普的调查机构的发展盖洛普分层多阶抽样的方案 它有以下六个步骤：第1步，将美国分为四个地理区域 第2步，将每一个地理区域分成一个个城镇。在每一个地理区域内随机抽取若干个城镇。第3步，将城镇划分成选区。在每一个选出的城镇内随机抽取若干个选区。第4步，将选区划分成选分区。在每一个选出的选区内随机抽取若干个选分区。第5步，在每一个选出的选分区内随机抽取若干个家庭。第6步，最后访问选出的家庭中的某些成员。要求访问与家庭中18岁以上的最年轻的男子交谈，若没有男子在家则与18岁以上的最年长的女子交谈等。,（四）抽样调
28、查、统计推断在民意测验中的应用,1948年后盖洛普民意测验在总统选举中的预测情况年份 样本容量 获胜总统 盖洛普预测得票率 选举结果 误差 5 385 艾森豪威尔 51%55.4%4.4%8 144 艾森豪威尔 59.5%57.8%1.7%1960 8 015 肯尼迪 51%50.1%0.9%1964 6 625 约翰逊 64%61.3%2.7%1968 3 414 尼克松 43%43.5%0.5%1972 3 689 尼克松 62%61.8%0.2%1976 3 439 卡特 49.5%51.1%1.6%1980 3 500 里根 55.3%51.6%3.7%1984 3 456 里根 59.0%59.2%0.2%1988 4 089 布什 56.0%53.9%2.1%,
