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1、1 数学模型与生物数学,1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例：药物中毒施救1.4 数学建模的基本方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 生物数学模型的内涵与分支,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速为20km/h.,甲乙两地
2、相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20y=5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）,用符号表示有关量（x,y分别表示船速和水速）,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）,求解得到数学解答（x=20,y=5）,回答原问题（船速为20km/h）,数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的
3、全过程（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展.,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视.,在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地.,在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具.,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”.,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析
4、与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,场景,如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.,按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100200mg，儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100g/ml浓度会出现严重中毒,200g/ml浓度可致命.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.,1.3 数学建模示例,调查与分析,转移率正比于x,排除率
5、正比于y,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”.,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移率)和排除率可以由半衰期确定.,半衰期可以从药品说明书上查到.,通常，血液总量约为人体体重的7%8%，体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分析,血药浓度=药量/血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保
6、证.,模型假设,1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数(0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物.,3.氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.,4.孩子的血液总量为2000 ml.,胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.,模型建立,x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数),总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.,y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数),t=0时血液中无
7、药物.,模型求解,药物吸收的半衰期为5 h,药物排除的半衰期为6 h,只考虑血液对药物的排除,血液总量2000ml,血药浓度200g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度100g/ml,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将致命！,y(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.,孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t),=0.1386(不变)，=0.11552=0.2310,施救方案,施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).,z(t)最大值低于致命水平.,要使z(t)在施救后立即下降，可算出至少应为0.4885.,若采用体外
8、血液透析，可增至0.11556=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.,1.4 数学建模的基本方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型准备
9、,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的“问题”,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建
10、模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.,选择适当的数学方法求得数学模型的解答.,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.,用现实对象的信息检验得到的解答.,实践,现实世界,数学世界,1.5 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6 生物数学模型的内
11、涵与分支,生物数学是生物与数学之间的边缘学科。它是用数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科。如果把生物学的分支领域看作一个集合，数学的分支领域看作另一个集合，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。从研究使用的数学方法划分，生物数学可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。生命 现象极为复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需 要进行大量计算工作，建立模型是成了必需。数学模型能定量地 描述生物现象，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一 个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，通过获 得的理论知识对生命或非生命现象进行研究。,内涵,伴随着生物数学的快速发展，生物数学研究的内容已经形成一个巨大的体系，总共包含了14个分支学科.这些学科是按下列两种分类方法来划分的.第一种是按所涉及的数学方法来分类，分为生物统计、生物动力系统和生物控制论、统计医药学、人口统计学等；生物动力系统又分为种群动力学，细胞动力学、人口动力学等.第二种是按研究生命科学中的分支学科的不同分类，有数学生态、数量生理、数量分类、数量遗传、传染病动力学、数量生物经济学、数理医药学、神经科学的数学模型、分子动力学、细胞动力学、人口动力学等分支学科.其中数学生态学又可分为种群生态学、统计生态学、系统生态学等分支学科.,分支,
