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1、第一章绪论(12)1、设x0,X的相对误差为求InX的误差。解设/0为X的近似值，则有相对误差为；(外=6,绝对误差为/(幻=从而InX的误差为*(InX)=-a*=相对误差为；(InX)=处喧=2、设X的相对误差为2%,求X的相对误差。解设/为X的近似值,则有相对误差为；(%)=2%,绝对误差为*(x)=2%,从而xn的误差为(Inx)=()-(x)=()m,2%=2nw,相对误差为：(In x)=/(Inx)U*r3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x；=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,=56.430,%；=
2、7x1.0。解K=1.1021有5位有效数字;芯=0.0031有2位有效数字；x；=385.6有4位有效数字；君=56.430有5位有效数字；K=7x1.0有2位有效数字。4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中a；,x；,x；,x；均为第3题所给的数。(1) x；+冗；+x；x+Xj+-4)=XF(匕)=(匕)+*；)+(%；)(2) x：x；x；e*(x：x；x；)= ZJl=I（%；）=（x；x；）（%；）+（x：x；）（X；）+（小;）（X；）解=(0.031385.6)-1O-4(1.1O21385.6)-IO3(1.10210.031)-10-3;222=0.597681
3、03+212.48488IO3+0.01708255W3=213.09964255x10-3=o.21309964255(3) x；/x；,*(x；/X；)=S(焉)(匕)=g(芯)+-y)m=_L_xlxlQ-3+_xlxl0-3=61ll0,356.4302(56.430)22(56.430)2256.461xlxl0-3gg88654l0(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R允许的相对误差是多少？41RRy）解由1%=e；（-RRy）=T可知，3$（”/(3%(R*)3)=l%x4(R*)3=-(Rv)3/(R)=4r(R)2(R*),333从而/（R*）=
4、1%x!r,故；（/?）=（?）=1%=J-。3R33006、设为=28,按递推公式工=工T5（=1,2,）计算到YK）,若取78327.982（五位有效数字，）试问计算匕OO将有多大误差？解令了表示匕的近似值,e(Yn)=Yn-Yn,则e*(%)=0,并且由匕=匕.x27.982,工=匕_X腐可知，匕一工=忆心看x(27.982-厮)，即e*(工)=/(工一)一上X(27.982-783)=e(Ytl_2(27.982-783)=，从1Ov100而e*(X00)=e*(%)-(27.982-783)=783-27.982,ffU783-27.982103,所以/(XoO)=gx1Or。7、求
5、方程x2-56x+l=0的两个根，使它至少具有四位有效数字(78327.982)解由x=28好无可与师27.982(五位有效数字)可知，X1=28+783=28+27.982=55.982(五位有效数字)。FfUX2=28-783=28-27.982=0.018,只有两位有效数字，不符合题意。但是%=28-783=!=1.7863X102。28+78355.9828、当N充分大时，怎样求解因为。=arctan(N+l)-arctanN,当N充分大时为两个相近数相减，设=arctan(N+l),=arctan,则N+1=tana,N=tan/7,从而tan(-)=皿=四H=一,l+tanatan
6、1+N(N+1)2V2+7V+1,*+11ll此rdx=a-=arctan；。JN1+X2N2+N+9、正方形的边长大约为IOOCnb应怎样测量才能使其面积误差不超过ICW2?解由*(/*)2)=(/)2|*(广)=2/*(r)可知，若要求*(/*)2)=1,则10、设S=gg产，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。即边长应满足/= 100!。200证明因为*(S)=令)=gs=om,；（S）=2学=誓=迫2=与，所以得证。S95t11、序列S满足递推关系=10%-l（=1,2,），若为=收141（三位有效数字），计算到必。时误差有多
7、大？这个计算过程稳定吗？解设需为y“的近似值，/(笫)=歹-+，则由卜=&与.=l-ly=1.411in-1可知*(尢)=JX1-2,yw-=10(yrt.1-yn.1),即y=oy,-2*(%)=10/(Yi)=10/(打)，从而*(Mo)=IoHV(No)=IOK)XgXlo2=白1。8,因此计算过程不稳定。12、计算=(-1)6,21.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？-7,(3-22)=-,99-7020(2+l)6(3+22)3解因为/(/)=LIO,所以对于兀=12(2+n6，()=7e*(L4) =l10-=6.54X104-10-2,有一位有效数字;(1.4+I)72
8、2对于A=(3-2五)3,Z(2)=AZ(L4)=6(3-2xl.4)2XgXloI=O.12x1010l,没有有效数字；对于八二J，(3+22)3/()=Ke*(L4)=r,l=2.65x103JK)-2,有一位有效数(3+21.4)422字；对于=99-702,ef4)=fZ(l.4)=7010,=35101101,没有有效数字。13、/(x)=ln(x-7l),求/(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式In(X-77=，)=-In(X+7=，)计算，求对数时误差有多大？?B3O2-1=899=29.9833(六位有效数字)，f(x)=-104,所以2
9、)=-(30一析)-W42!-W4 =0.2994 IO-2 30-29.9833 2/(A)= I(月)e*(x) =1x - x2104=!-104=0.8336x10-630+29.9833214、试用消元法解方程组a2,假定只有三位数计算，问结果是否x1+x2=2可靠？*_7解精确解为M=提一,&=%二。当使用三位数运算时，得到101101x1=l,x2=1,结果可靠。15、已知三角形面积S=Ja泳inc,其中C为弧度，0c工，且测量a,b,c22的误差分别为,瓦证明面积的误差&满足l-1+-osIabc6rsincZ?1+ coscc ,解因为IA(S)I=Z%(/)I=SSincf
10、l2bb-bsinc2H+1一asmc2幽+6Zjcoscc-absinc2O竺所以5第二章插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令证明匕（X）是n次多项式，它的根是项,工2，Zt且匕(XO巧，,X.,x)=匕-I(Xo,x,Z)(xXO),一!,一,一!VJx0,x1,xm.1,x)=(x.-X7)(x-.)证明由ZxX可得求证。=H,，X_1)TI(X7j)7=02、当X=I,-1,2时，/(x)=0-3,4，求/(x)的二次插值多项式。(X-X1)(X-X9)(X-X0)(X-X2)(X-X0)(X-X1)L,(x)=y0!J+yl-+y2!(-x)(-x2)(xi-
11、)-/)(x2-x0)U2-再)X如里330+4XaT)(X+D(1+1)(1-2)(-1-1)(-1-2)(2-1)(2+1)=(x2-3x+2)+(2-1)=X2+X-236233、给出了（幻=InX的数值表用线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。X0.40.50.60.70.8Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解若取=05,X=O.6,则j0=/(0)=/(0.5)=-0.693147,M=/(x1)=/(0.6)=-0.510826,则Ll(X)= %)X-X1Xof=-0.693147 X-0.60.5-0.6-0.
12、510826X-0.50.6 0.5 ,=6.93147(%-0.6)-5.10826(X-0.5)=1.8232Lr-1.604752从而Z0.54)=1.823210.54-1.604752=0.9845334-1.6M752=-0.6202186。若取0=0.4,x1=0.5,X2=0.6,则%=/(x0)=/(0.4)=-0.916291,%=/(1)=/(0.5)=-0.693147,必=f(2)=/(6)=-0.510826,贝IJl二y(X-XI)。一口2)+y(XTo)(X-Z)+%*7o)(Xf)20(-i)(X0-X2),Ui-)U-2)2U2-X0)(x2-i)=-0.9
13、1629105)(x-。6)+(693147)(“一04)。-06)(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)+(-0.510826)(x-4)-0.5)(0.6-0.4)(0.6-0.5)=-45.81455(x2-1.1x+0.3)+69.3147(x2-x+0.24)-25.541Xx2-0.9x+0.2)=-2.04115x2+4.068475x-2.217097从而4。54)=2.041150.542+4.0684750.54-2.217097=-0.59519934+2.1969765-2.217097=-0.615319844、给出CoSX(Tx90
14、的函数表，步长力=l=(l60),若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求CoSX近似值时的总误差界。解设插值节点为XoX)=。-劝人的n阶拉格朗日多项式,令y = x, 即得求证。7、设/(x) 。论,以且/() =/S)=。, 求证 ma/(x) s-4尸 ma%(X)I。+(3x8x0A+3z2)x-(x+4x+3h2x0)尸(X)=3x2-2(3x0+4)x+(3x+8x0+32),从而极值点可能为2(3x0+4)+J4(3x04)2-12(3x+8x0z+3/12)X=6,又因为_(3x0+4)7_47=3=%+”，4-7八4-7,l-7.-5-7,1zl国3/(+-力)=-hXAX
15、-=-(147-20)/?,JJDJ乙/44+74+l+7.7-5.1小八lzlx,3/(xn+)=hX?h(20+147),333327显然/(+,h)f(x0+八,h),所以,2(X)I=/(+h)MSW=，。+于。6、设Xj(j=0,1,M为互异节点,求证：Dxkjljx)xk(Z=0,l,);J=O解见补充题3,其中取/()=fS)=O即得。8、在-4x4上给出.幻=靖的等距节点函数表，若用二次插值求偿的近似值，要使截断误差不超过IO,问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设X使用节点XO=M-，x1,=再+进行二次插值，则R2(x)=(x-Xo)(九一M)(X-X2)插值余项为
16、/3*,令/(x) = x-(x1 -)(x -X1 )x -C 贝IJ f() = 32-6xx + (3x2-z2) = 2yA-d+)A-(l- 艮0心6黑m，“心6 9 h o 即簿27/9、若% =2,求A8“及5先。4yrt =(E-Z)4 =(-l)J=O解 = (T)+(7”=2m+4 -42w+3 +62m+2 一4Xcl + h) = X3 -3xi2 + (3xi2 -h1)x-x1 (12 -2),从而f(x)的极值点为X = Xi 故孰苧,而= 霎%3,要使其不超过O,则有27O 2 3,4863 10-2 =0.472 10-2 o 7.389+ (-1)22 +2
17、 +(一 D(3 卜+(Tlj 2向 +2=16X 2” - 32 X 2 + 24 X 2” - 8 X 2 + 2 = 2=-k-U-)(x-x1)x-(x+A),(x0,x2)1,14/4L(4r)-I/4yt,=(E-E2)4y“=Z(TyE2e2yj=0J=为(T)件2.3X(Td4、yf,+2-jj=0JJj=QJJ=(T)O2+(/(：卜+(T)(；卜+(T)1;卜T+(7)(：卜.2。=2n+2-42w+,62,-42m,+2m2=162n2-32X2T+24X2n2-82n2+2rt2=2rt210、如果/(x)是m次多项式，记V(X)=/(x+0-(x),证明/(x)的k阶
18、差分7(x)(0km)是“一人次多项式，并且M*)=0(1为正整数)。证明对k使用数学归纳法可证。11、证明A(gQ=Ag+证明(fkgk1fk+gk+1fkgkfk+gk+fk8X,+l+fkgk+1fk8k=(-+fk(gm-gk)=Nkgk7+fM,一1“一!12、证明ZfQgR=/X-ZOgO-ZgzM。A=OJl=O证明因为,一|,一|P-IfAg+g=(a+*A)A=Oh人=,故得证。Pr一!=IU+I-8J+gkl(+l-)1=X(g人+/+1-ZlgA)=fl,8n-TogoJt=O=013、证明：2y.=y-y0oJ=Q证明2y=(yy+-y7)=y-o。；=0；=014、若
19、/(x)=4o+M+%_/T+”有n个不同实根玉,工2，怎，证明Sxk.0,0kn-2f,(Xj)%,k=n-证明由题意可设f(x)=%(x-Xl)(X-9)(X-/)=。!1(%-毛)，故八勺)=4”口(Xj-Xi),再由差商的性质1和3可知:i=l引,从而得证。S芍Ski1r11，)SfRTZ-L=T和，再J=一；K尸/卬力-茗)凡%ST)!i=li*j15、证明n阶均差有下列性质：D若F(X)=f(x),则尸为户口,/=，石，怎】；2)若尸(X)=/(x)+g(x)，则FLx0,x1,x=Lx0,x1,xJ+x0,x1,xJoLI1=0(xy-xf.)f=oI=OijijfXXXXXXX
20、XXX.19、求一个次数不高于4次的多项式P(X),使它满足P(O)=P(0)=0,P=P=1,P(2)=10P(x)=Ci4X4+ci3x3-Va2X2+a1+0,贝IJP,(x)=4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,再由P(O)=P(O)=O,P(I)=P(I)=I,P(2)=l可得：O=P(O)=旬0=为O=P(O)=q0=tz11=P(I)=6f4+3+26f1a0解得，9-=a2o从而41=P(x)=4%+3/+2%+a31=P(2)=164+8%+4/+2。1+一1-=ClA44、143392/Nx2(x-3)2P(X)=XX+=(x-6x+9)=4244420、设/(x)q,
21、Z,把,以分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数fi(x)，并证明当8时，n(%)在aJj上一致收敛到f(x)oSUP/(x)+inf/(x)解令/(X)=上三产三一，i=123,21、设/(x)=l(l+2),在-5x5上取=10,按等距节点求分段线性插值函数4(幻，计算各节点中点处的，*)与/(X)的值，并估计误差。解由题意可知,h=l,从而当x民,/+时，,/、c/rj1x-xk+l1x-xk(X)=fklk+fk+Jk+=7-+7-1+ZZ-X“1l+l)4+1-4=(-k+,)+(x-xj(l+2)*,硝+(k+1)2a22、求/(X)=/在上的分段线性插值函数4(),并估计
22、误差。解设将卜,同划分为长度为h的小区间=xx%=b,则当Xxa,Z+J，k=0,1,2,2-1时,U)=Nk+1=湿=di)-ZLZ-_X(Xi+1一居)+S+B；-琉+14(,X一VA+1a/A+1AZ+I-%从而误差为&(加华(XF(Xf)=(X-，故艮()=I(X-Xjt)(X-XHl)-23、求/*)=/在,以上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解设将L划分为长度为h的小区间。=XOz=7,则当Xxa,xk+i,k=0,1,2,-l时，4(%)=fkak + + fkk + A+()从而误差为R2()=4!z、，/、2(x-xky(x-xk+y=(x-xJ2(x-xjk+1)2,.74
23、故展(X)IT(X7厅。-4/|记。24、给定数据表如下：0.250.300.390.450.53力0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数S(X),并满足条件:1) 5,(0.25)=LoOOos(0.53)=0.6868；2) S”(0.25)=S(0.53)=0。解由=030-0.25=0.05,hx=0.39-0.30=0.09,h2=0.45-0.39=0.06,hh1h.=0.53-0.45=0.08,及(8.10)式儿=L,出=,(j=1,一1)%+%k+%可知，21=hl_0.099h2_0.06_2%+%0.05+0.0914hiz20.0
24、9+0.06523=-0.084=，n2+n30.06+0.087o0.055h,0.093M-=一,=%)+仄0.05+0.0914%+力20.09+0.065h2_0.06_3-h2+hy0.06+0.087由(8.11)式gj=3(。力j,x+4j力j,Xj+J)(j=l,-1)可知,g=3(M+)=3号以止3+13二314x1-X014x2-X1Cz90.5477-0.500050.6245-0.5477x=3(X+)140.30-0.25140.39-0.30r/94775768、19279=3X(X+X)=2.754114500149007000g2=3(2px2+2fx2,xy)
25、=3针七)TG)+廿(与)-(戈2)5X2-xl5x3-X2C20.6245-0.547730.6708-0.6245x=3(+-X)50.39-0.3050.45-0.393x(M%+，妈=5 900 5 6004x256+ 3x463IOOO2.413心=3(4几5+ 4&3，匕)=宅3二9 + ；3 7 x3 -x27 x4 -X3CA 0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708=3 X (-X+ )70.45-0.3970.53-0.454 463 3 472、 4463 + 9118 1457 3=3 (- + -X)=2.08147 600 7 800O从而2255
26、14035W12.7541-91.0000142fn2=2.4130472.W3.2.0814- 0.6868L714007001)矩阵形式为:2.11122.413,解得1.7871他m2心0.90780.82780.6570从而S(X) = yjctj(x) mjj(%) oJ=O2)此为自然边界条件，故g。=3i3al= 3x吟幽0 ,x1 -X00.30-0.25477=3-= 2.862500=3-p= 3g- /(-)_. 0.7280 - 0.6708 _572 _ J X J X - N 1H,J ,0.53-0.45800-210 0 095 2 00X1414叫矩阵形式为：
27、230-2-0tn2八八 4 八3加300 - 2 -77n4400 0 -2L7 JZ-12.862X2.7541叫2.413,可以解得 2,从而2.0814m32.145m4S(X)=ZUj%(x)+mjj(x)oJ=o25、若/*)C24勿，S(X)是三次样条函数，证明1)f(必2办-5(切2公=f(x)-sx)2dx+2jsx)fx)-Sx)dx；2)若/(Xj)=S(Xj)(Z=0,l?),式中Xj为插值节点，fiA=x0x1,= 1X/ 一Mx1 -X0x-lT X - 0+ e X0-11-0，=-(x-l)+,x=l+(1-l)x余项为RlW=WP(X-x0)(x-x1)=-x
28、(x-l),J(0,1),故国(X)IWgXm/eXmaxx(x-1)=i1=02、设/*)=/,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有舄*)=-(X-X0)(X-Xl)(X-X2)Cx-X3)=(x+I)X(X-l)(x-2)=(x2-2x)(x2-1)=x4-2x3-x2+2x4!从而L3(x)=/(x)-R3(x)=X4-(x4-2x3-X2+2x)=2x3+x2-2xo3、设F(X)在LU内有二阶连续导数，求证：maxf(%)-()+/SV)(x-)(b-a)2max*(x)oabD-a8axbl证因为f(a)+fS1一/3)(
29、X-)是以a,b为插值节点的/(x)的线性插值多项b-a式，利用插值多项式的余项定理，得到：f(x)-/()+/S)f(a)(x-)=4fX)(x-a)(x-b),从而b-a2max/(x)-f(a)+丫1(x-)jlmaw()max(x-a)(x-b)(丁)K(),其中6(X)=7尸。M22即f)=榜出=。)M+阍;)J.9=SinoXe-X)+sin=0(一+x=x3Tlic*,x)=(三)“)M6=/(0)(A)3+/(D(A)2H.7tCTC2、兀2/4、.冗3+sm-3x(x)+sm-3x(x)+sin-Xjr623223i、23Vi1.33.223、3百，423、3=-x(x)+%
30、(x)+x=-(-x-7a+x)+(X-)+x-22222422=x-(2-3)x2-(33-5)x38422、求证：(a)当加/(为)时,mBfl(f,x)M；(b)当/(x)=X时，Bll(f,x)=o证明(a)由纥(f,%)=td)6(x)及根(x)M可知,A=OW 研。) 七 MPk(X) Pk(x),*=0Jt=O=0Jt=O而U) = xk(l-),-k= + (l-) = |,从而得证。Jt=Ok=0(b)当f(x)=X时,n-kLk(n纥CM)=Xf(X)=X/(一)卜(IT)k=QnA=On-)/(0)=0 kArlX k(n-k)nXa(I-X)=X*=1(一1)!X?Td)STiT)xJt=O(一1)!(1-X)56* =MX + (1 - X)n, = X解由4 = S)_()= f,(x2)
