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1、传染病模型,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,1346至1351年黑死病的蔓延,黑死病患者,全世界大约7500万人死亡。,瘟疫爆发期间的中世纪欧洲约有占人口总数30%的人死于黑死病。,SARS，禽流感,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人)i(t)
2、,每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3
3、,接触数=1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日
4、接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0-1/=,Page131-132,模型V-VII,思考题1,设某城市共有N+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣传情况的微分方程模型。,思考题2,本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约每两年发生次麻疹传染病。生物数学家HE索珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立数学模型。,
