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1、24.2.1圆的基本性质一、单元整体思想下的教材分析：（-）整体内容体系：本章是在学习了直线形有关性质的基础上,进一步学习最简单的曲线图形一圆.圆的有关性质不仅在生产、生活中有着极其广泛的应用，圆还是进一步学习数学,物理和其他课程的基础.圆是初中平面几何的最后一章，学习这章应联系以前学习的几何知识与方法，因此本章教学在初中最后阶段占有重要的地位.本章综合运用了直线形的相关知识,特别展示了一些重要的基本数学思想方法，如利用运动的观点讨论圆的知识,分类讨论进行证明、反证法的运用等,这些作为教学内容,显然可以提高学生的逻辑思维能力,树立辩证唯物主义观点.（）整体内容定位：圆是初中数学课程内容四大板块
2、：“图形与几何”中“图形的性质”领域的基本内容之一，是继线段型封闭图形：三角形、四边形等多边形之后，对曲线形封闭图形：圆的深入性研究，同时圆的教学也为后续圆的标准方程、椭圆等高中曲线图形研究奠定学习基础。所以圆在初中阶段“图形与几何”与高中阶段的曲线与方程在知识上是“上位”与“下位”的关系。本章内容主要包括24.1旋转,24.2圆的基本性质，24.3圆周角，24.4直线与圆的位置关系24.5三角形的内切圆，24.6正多边形与圆，24.7弧长与扇形公式，24.8综合与实践，部分内容是中考的重要考点。（三）整体教学定位：关于图形性质的教学,新课标要求：引导学生理解欧式平面几何的基本思想，感悟几何体
3、系的一般框架；定义确定论证对象；基本事实确定论证起点；证明确定论证逻辑；命题确定论证结果。教师要强调图形几何研究的基本套路：实验探究、直观发现、推理论证。本章利用了直线形的相关知识，特别展示了一些重要的基本数学思想方法：如用运动的观点讨论圆的知识，分类讨论进行证明等，这些思想可以提高学生的思维能力，发展应用与创新意识。二、本节课教学内容及解析：（-）课标背景与要求本课在义务教育数学课程标准（2022年版）中的具体要求为：圆理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系。【背景解析】：圆的氨本性质的学习要注意与前面知识的衔接，圆的概念探寻其本质属性果从定性
4、与定量上探究点与圆的位关系利用数形结合思想思考圆，体现学生有逻辑性思考与解决问题的理性表现。三、本节内容在单元知识整体结构与地位-纵向“承上启下”与Ia有关的概念：林a HB心角等本节课24.2圆的基本性质中首要圆的概念形成于24.1旋转，然后再圆的基本性质属性上由研究圆的相关概念、点与圆的位置关系继续研究24.3圆周角（角与圆）、24.4直线与圆的位置关系（直线与圆）、24.5三角形形的内切圆（三角形与圆）24.6正多边形与圆等，既要以前面学习的平面图形点、线、面如三角形等知识为基础，又要研究圆本身独有的特点，因此本节课圆的基本性质的学习可以称之为知识上的继承与发展，因此在知识的纵向结构有着
5、承上启下的教学地位。四、单元知识整体研究路线-一横向“承前启后”I点I开放性：线段时线、直线几何图形rKl封闭型：多边形、曲线Ia的定义国的相关概念：弦.弧等|Bl的基本性质1UMW ft j点与目的位置关系直线与Ia的位置关系半封闭型：抛物线.双曲线正多边形与图I|弧长与面积公史一|在本节课的知识间的整体研究顺序上我们是按照几何概念教学模式出发，先研究图形的定义，在研究图形的性质，最后是性质的应用。同时圆概念定义的引入方式是在前面类比七年级研究角的定义时形成的描述性定义和八年级学习垂直平分线的判定定理时形成的集合性定义；而点与圆的位置关系是在类比点与直线的位置关系、点与平面直角坐标系的位置关
6、系的基础上探究而成的，同时也为后续角与圆、直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆奠定了基础。因此本节内容在研究的横向上具有承前启后的教学地位。五、本节课教学目标：（一）理解圆的定义，认识弦、弧、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（二）经历点与圆的位置关系的探究过程，掌握利用点与圆的距离d和圆半径r数量关系定性、定量的角度体现点与圆的位置关系。（）通过探索点与圆的位置关系的过程中，进一步体会理解分类讨论和数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力五、学生学情分析：（-）学生认知发展分析：九年级的学生具备以下两个特点：1 .九年级的学生已经具备一定的图形与几何的知识储备
7、，具有直观和抽象能力，发现、提出、分析思考和解决问题具有目的性、持久性、精确性。2 .九年级学生的逻辑思维正由经验型向理论型转变，能够初步运用归纳假设推理来思考，解决问题，这就为学生完整地经历本节课教学全过程准备了思维基础。会用数学的眼光观察，会用数学思维思考，会用数学语言表达观点。（-）学生学习问题诊断分析：由于学生的年龄和心理特征客观性条件，学习主观能动性的影响，所以在课本学习中学生可能遇到的挑战和问题主要有：1 .缺乏系统研究圆的基本性质的过程、方法和经验。2 .缺乏类比直线形相关知识研学经验发现探索特殊曲线形一-圆的数学思想。3 .在综合运用中缺乏思维的发散性和灵活性六、教学重难点：教
8、学重点：圆的概念的形成过程与定义的本质属性的理解教学难点：点与圆的位置关系的探究七、教法学法：教法：问题启发、数学活动、类比迁移学法：自主探究、合作交流、归纳总结八：教学过程：（一）创设情境，引入新课：-“识图”一些学生正在做套圈游戏，他们的投圈目标都是图中的水壶.如果他们呈”字排开，这样的队形对每个人都公平吗？如果排成三角形、正方形公平么？你认为他们应当排成什么样的图形才公平？你会画这个图形呢？【教学说明】：圆是一种常见的图形,在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用.教师在内容的呈现中,立足学生已有的生活经览、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关知识,从观察和分析生活中大存在的事实入手,在已
9、有经验的基础上,通过操作与推理来探索最简单而最有实用价值的特殊的曲线形一圆充分体现在客观上从生活图形到数学图形的转换从意识上从图形直观发现到形成几何图形的抽象。用生活实际问题引入，情境创设自然流畅，以问就率的形式连续追问意在让学生能从现实生活中发现数学问题,让学生感受到要用数学的眼光观察现实世界。此时学生对于圆的理解还处于“感性认识”的生活经验当中，是数学空间想象的结果,此时的“四”是意识形态得产物。第四步的追问意在让学生把圆由“虚”化“实体现一为何学？（二）主动探究，亲历过程-“画圆”探究圆的概念活动1:画图工具选择：圆规一端固定铅笔的绳子请同学们尝试着用身边的数学工具画一个圆（学生黑板展示
10、）回答以下问题：1 .画图中圆规的针尖和绳子的一端位置发生变化吗？用一个字形容不动？定2 .针尖和绳子一端都可以抽象成哪个几何图形？_点3 .圆规的两支点和绳子的长度可以抽象哪个几何图形？线段长度变化吗？定长3.另一端点在做什么运动？绕着定点旋转360,最终形成封闭的曲线请用自己的语言描述圆的形成过程？线段：定点一旋转中心+旋转360旋转角【教学说明】：学生是学习的主体，教师应该为学生创设动手实践操作活动，引导学生亲历圆的动态形成过程，在实践中感悟、在感悟中反思、在反思中理解。小学中例对圆是经验的感悟，初中阶段则例在对圆的概念的理解：通过回顾画圆的过程，学生历经数学直观与空间观念的转换过程，鼓
11、励学生用数学的语肯表达圆的概念、理解圆的描述性定义，明确圆的构成二要素：定点、定长的意义。明确圆是旋转变换图形，为后续圆的概念的引出做好铺垫。主动探究，亲历过程-析圆圆的描述性定义：在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段OP的长r叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“。0”读作“圆0”.圆的构成二要素：1、定点一定圆心（定位置）2、定长一定半径（定大小）圆上点的特性1:圆上各点到定点圆心的距离都相等，都等于半径长。为什么这些学生站成圆形就公平了呢？【教学说明】：通过数学教学与信息技术相融合，促进教学方式的变革。利用几何画板动
12、态演示圆的形成过程，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。操作实脆中由学生归纳圆的构成二要素,定位置、定大小。归纳从圆的本质属性：旋转变换图形，根据旋转变换的性质对应点到旋转中心的距离都相等。因此可以得到圆上点的特征1.找到了情境引入学生套圈游成公平性问通的突破口从圆的特性上合理解释了为什么要站成圆形的原因。一体现“学什么？0（三）深度研学，有效提升活动2：问题1：在平面内，选取定点A,找一个点与定点A距离等于8cm,这样的点有多少？各点到定点A的距离有什么关系？构成什么图形？圆上点的特性2：平面内到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径r）的所有点都在同一个
13、圆上。圆的集合性概念：平面内到定点（圆心0）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形我们学习过类似于这样的定义吗？定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.定理角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】：教师旨在通过几何画板信息技术与数学学科相融合，动态展示圆的形成过程即点具备的轨迹特征角度展现圆的集合性定义,通过数学教学内容的连贯性、整体性、系统性，类比八年级所学垂直平分线、角平分线的判定定理蝮为学用，深化学生对于概念的理解。深度研学，有效提升一“用圆”思考：矩形的四个顶点是否在同一个圆上?例1：证明：矩形ABCD的四个顶点共圆己知：矩形ABCD求证：矩形ABCD的四个
14、顶点共圆.四边彩d“MiiHO-CO-O-X（蛭形对角”相互平分且分种的边相，BDJe则定点的短于定长的所“点的就速AO矩形4*/加四个顶点.1、/，、在同一个OD上思考：你能归纳一下如何证明点共圆的问题吗？【教学说明】：教师旨在通过圆的定义的学习，在理解用圆的定义的基础上运用圆的定义来证明点共BI的问题，让学生通过自己的经验主动构建反愦教学效果,达到学以致用的目的，体现数学知识的应用价值。归纳点共圆的解JS模型旨在让学生从特性发现通性，掌握解题技巧。通过让学生黑板演示，学生进行点评，教师补充，体现以“生”为主的课堂教学。体现一学的怎样？（四）数学史话漫步历史：漫步历史长河感受数学文明微课视频
15、：品圆【教学说明】：感受中国古代数学文化历史，港透数学学科育人价值。新数学课程标准指出：数学史已成为数学文化的载体和数学课程的有机组成部分，对数学史的融入可以增强学生的学习兴趣，培养良好的爱国情操，教师全面认识数学史的多维教育功能，才能从思想与文化的高度挖掘出数学史料的教育价值，折射出其课堂教学意义。教师要从数学史中寻找知识的生长点，能将数学的史学形态转化为教育形态，学生能从中获取知识的产生发展过程，以便更好的理解数学、学握数学、欣赏数学，形成正确的数学观，同时数学史也是沟通世界文化的桥梁,让全球共享数学文化。体现一数学的育人功能（五）探究点与圆的位置关系一一定性分析寻找研究路线思考：平面内到
16、定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上，那么平面内其他的点与圆又有什么位置关系呢？动手操作L在刚才所画的圆的纸上再任取几个点,观察你取得点与圆的位置关系是什么？（请同学上黑板展示图形）.8!b.（学生展示）合作交流：在之前学习过的知识里，我们以前有没有学习过类似于点与圆的位置关系的知识点？【教学说明】：从“数M形”角度去探究点与圆的位关系是本节课教学的难点，教学环节中教师应首先让学生从圆的概念环节中自然顺畅的进入到点与圆的位置关系，必定要回归到圆的概念上去，圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.平面内的其他点与圆的位厦关系就成为学生的“焦点”问题，通过设动手操作与展示活动，让学生经
17、历观察、操作、实验得到点与圆的另外两种位关系。合作交流通过回顾点与直线、点与平面直角坐标系的位关系，达到复为学用的目的，更要的是想通过点与直线、点与平面直角坐标系的数关系的研究让学生类比到用数关系去探究点与圆的位Il关系，让学生顺利的由观“形”过渡到算“数最终通过“d”与“的数量关系确定位置关系。（六）探究点与圆的位置关系定量分析研究数量关系探究点与圆的位置关系定性分析寻找研究路线h探究点与圆的位置关系-定量分析研究数量关系y动手操作2.用刻度尺测量一下所画的点到圆心的距离d=?与半径r作比较（请同学们上黑板演示操作结果）（学生展示）请同学归纳一下你所发现的结论。设圆O半径为r,点P圆心O到直
18、线1的距离为d,（D点P在圆内dr,数学兴趣小组活动1：能否类比点与圆的位置关系试着去探究直线与圆、圆与圆间的位置关系呢？在班级里展示研究成果并和同学交流自己的心得体会。【教学说明】：从形的角度，通过直观观察学生可以意识到点与圆的位关系是三种情况：圆内、圆外、BI上；但是这只是“感知”，几何图形关系中是“数关系”决定“位厦关系”，究其本源我们应该让学生认识到点与圆的位关系最终应该是通过“数关系”而确定的，研究”哪两个之间的数关系”是学生最需要明确的，也为后续学习直线与圆的位厦关系奠定了研究思路。通过定性分析寻找研究路线、定分析研究数关系两个方面入手，先由学生的直观观察，再由几何画板的逆向验证，
19、学生用数学的三种语曹:图形、文字、符号自主归纳点与圆的三种位关系,体现数学概念教学的研究方法与思路，承透数形结合思想、分类讨论思想的应用；数学兴趣小组活动主要体现圆的大单元主题教学设计构思，利用点与圆的位置关系发散学生思维，拓展延伸到初步探究24.4直线与HI的位置关系、BI与圆的位关系,体现章节起始课教学的统领性,体现数学教学的连贯性、一致性、整体性。（六）自主学习与圆有关的概念课本P13:并做好以下自主检测：网上任意两点间的部分叫做圆弧（arc）,简称弧.用符号“7表示.如图24-16,以A,8为端点的弧记作伞.读作“弧AS”.连接圆上任意两点的线段（图2416中的AB,CD）叫做弦（Ch
20、ord）,经过圆心的弦（图2416中的8）叫做直径（diameter）.同圆中所有的半径相等.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧（图24-16中的就,一般用个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（图2416中的病,或SL）叫做劣弧.由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形（图24-16中弦AB分别与/及叔组成两个不同的弓形）.能够重合的两个网叫做等圆，等网的半径相等.在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例弦是直径；半圆是弧；长度相等的弧是等弧.【教学说明】：通过学生自主学习与圆相关的概念，明确弦、弧、直径等将是后续圆章节的主
21、要研究目标，在自我检测的同时，注培养敢于自我探究的学习精神，通过概念辨析、反思，理解巩固与圆有关的概念。课堂教学中要注重体现学生的主体能动性，教师要敢于放手把课堂交给学生，留给学生充分的思考时间、质疑时间，在潜移默化中培养学生的自学能力。体现一自主自评(七)问题解决，学以致用感悟概念：如图所示BG,ZV13G,ABC3sABCn是一组以AB为斜边的直角三角形,试判断点Ci，G,G,&是否在以AE为直径的同一圆上？若在,!请证明;若不在,请说明理由.(2)若直角三角形ABG的直角边为3、4,M为斜边上任意一点，以点G为圆心坐圆，若使A,B,M至少有一点在圆内、至少有一点在圆外，求圆的半径的取值范
22、围？数学兴趣小组活动2：这些顶点在圆上的直角与所对的直径之间是否存在某种关系呢？试着在圆上任意找出一些点，连接点A、B,所形成的角还是90吗？用自己的语言归纳出自己发现的结论。这些直后与它们所对的圆弧是否也存在着某种联系呢？如果这些在圆上的角不在是直角但所对的仍是同一段圆弧，这些角的大小是否存在一定的数量关系呢？【教学说明】：此题的设量具有一定的“目的性不仅在知识点上学生要学以致用除掌握本节课所学点共圆的知识外，还要结合直角三角形的相关知识点；数学兴趣小组活动的设计在体现单元整体知识教学的后续拓展性,对本题后续的连续两个追问也折射对24.3节圆周角定理及其推论的“铺垫：如90。的圆周角所对的弧
23、是直径，直径所对的弧是半圆、圆周角定理及其相关结论等圆的要性质的探究埋下伏笔。从问题分析、问题解决中巩固“四Jr之本，让学生用数学的思维眼光，待问题。教师对于题目的设计要有远度、有高度、更要有深度，这样才能全方位的有效提高学生的数学素养。体现一思维深度（八）学成回顾感悟成长等（同）圆描述性定义集合性定义aPft:眼内dr,点与Ia的位置关系直径是圆中最长的弦劣孤半圆半圆是特殊的弧优弧圆”来如此!【教学说明】：开拓学生视野，激发学生的想象力、创造力，未来因你而精彩!（九）作业科学，减量增效基础作业：圆的世界多姿多彩，奥妙无穷，汽车的车轮是圆形的，下水井的井盖也是圆形的，数学家毕达哥拉斯说过：一切
24、立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的是圆形。圆还有哪些你不知道的秘密呢？请同学们利用网络信息技术查找资料、图片、视频，向大家介绍你眼中的圆。提升作业：圆是平面内到定点的距离是定长的所有点组成的图形。如果平面直角坐标系内一点P(XM到定点Q(a,b)(a,b是常数)距离是定值r;则符合条件的P点组成的图形是圆形，你能根据两点间的距离公式推导出点P坐标X与y的函数关系是吗？提示：你所推导出的结果就是高中知识圆的标准方程，敢于挑战吗？(体现知识的后续生长性：高中圆的标准方程做准备)【教学说明】：为真正落实双双政策，在作业设计上要体现坚持立德树人。发挥作业以巩固知识与技能、发展学习能力、提升品
25、德修养、养成良好学习品质为主要特征的育人功能，优化作业设计与实施，实现提质增效，促进学生全面发展。优化基础性作业设计，注重实践性、跨学科等综合类作业的设计。注作业设计的探究性和合作性，鼓励学生弁与作业设计及评价活动，做到作业多样，评价多元。落实一双减政策(十)板书设计:I描述性定义.；集合整定义I等(同)B1回点与圆的位置关系Ia的有关概念直径I直径是圆中最长砥设*0半径为r.点P心0日直线I的更口为d,(1)点P在窗内一dr,九、教学反思作为教师，回顾教学过程可以发现，教师要明确自己培养的教学主体一学生；教学目的：培养学生用数学的眼光观察世界的意识，培养学生发现问题的能力，培养学生会用数学的
26、语言表达世界。渗透数学抽象的核心素养，渗透生活中处处有数学的理念;通过学生自主探究、合作交流的方式,调动学习主体能动性，培养学生敢于分析问题的能力；依据基本知识、基本技能培养数学逻辑推理意识,发展数学基本思想，积累从特殊到一般的数学活动经验，解决数学问题.发展学生的应用意识，提高解决问题的能力。承前启后，确定研究方向；以旧启新，确定研究路径；起承转合确定研究方法，以生为本，突出素养，要具备教育的博大情怀：见“树木”更见“森林”；最终实现学生数学核心素养养成和发展。教师要关注学生在探索活动中的表现，在本节教学过程中，教师引导学生参与探索图形性质的活动，一方面关注学生思考方式的多样化,包括学生在活
27、动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、思考与表达的条理性等;另一方面关注学生在活动中表现的数学思维表达能力.比如,对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例来确定学生是否理解概念;对于圆的有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解.关注学生数学品质的提高，由于圆在初中几何已经是尾声了，这就要求学生在证明过程的严谨性上.在数学语言表达的准确性上都要相对有一个较高的层次.这一阶段是提高训练学生数学品质的重要时期,所以在教学的评价中要关注学生口述与书面作业的规范,关注学生思维的求异性与批判性,关注证明的完整性.关注学生在活动中的创造性表现，由于圆在人们的生活、生产中有着极其广泛的应用.这就要求我们在教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论,而且应该关注学生在探索过程中出现的新的方法,新的思路,用尽可能多的方法去解决实际问题.可以引导学生用计算机创作、设计图形.例如，指导学生用“几何画板”创设动态的有关圆的图案,不仅给学生以美的享受,也激发学有余力的学生利用计算机更进一步学习数学知识.最后教师还要注意发挥评价的激励作用，教学中要充分关注学生的个性差异,发挥评价的激励作用，让不同的学生在不同的方面得到不同的发展。
