《大学基础物理实验》绪论.ppt

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1、大学基础物理实验绪论,1 普通物理实验的意义、目的2 测量的基本概念及读数规则 有效数字及其运算法则3 测量不确定度4 实验数据处理方法,1物理实验的意义、目的,物理学是实验科学归纳法演绎法,实验可以发现新事实，实验结果可以为物理规律的建立提供依据,实验又是检验理论正确与否的重要判据,普通物理实验课的目的,物理实验课程一般的探索性的科学试验 每个实验题目都经过精心设计、安排，实验结果也比较有定论，但它是对学生进行基础训练的一门重要课程。,加深大家对理论的理解使同学获得基本的实验知识，在实验方法和实验技能诸方面得到较为系统、严格的训练，是大学里从事科学实验的起步在培养科学工作者的良好素质及科学世

2、界观方面，物理实验课程也起着潜移默化的作用。,2测量的基本概念及读数规则,物理量的表示方法：一般一个数值乘以测量单位所表示的特定量的大小用数值和单位表示其大小，还要考虑其方向（如力、速度等）通过实验测得的量（除个别无单位常数外）用数值、单位和测量不确定度三者来表示，有的还要注明方向。,2.1 测量基本概念,定义-将预定的标准与未知量进行定量比较的过程和结果。测量过程中必须满足两个必要条件(1)预定的标准必须是精确的已知量，并为人们所公认；(2)用以进行这种定量比较的仪器设备和程序必须能被证明是正确的。测量五要素-观测者、测量对象、测量仪器、测量方法及测量条件,1.直接测量将待测量与基准或标准直

3、接进行比对，从而直接读出待测量是标准单位的多少倍。单次测量-根据需要或可能多次测量相同条件：观测者、所用仪器、测量原理和方法及外部环境等宏观条件相同 不同条件,2.间接测量利用它与另外一些可直接测出的物理量之间的函数关系间接求取,例如：,2.2 读数规则,仪器的可读度取决于采用模拟显示的仪表和观测者。1线性刻度的仪器仪表，估读至其分度值的十分之几。2下列几种类型的仪器仪表，一般不进行或不可能估读：非线性刻度的仪器仪表一般不要求估读，如欧姆表。不确定度与分度值非常接近的仪器，进一步估计其读数将无实际意义，如游标卡尺。示值产生跳变的仪表(不连续式的)，读数时不可能进行估计。例如：数字显示仪表、机械

4、停表等。,读数规则的重要性：仪器、仪表读数的末位即是读数误差所在位，它将直接关系到对测量不确定度的估计。,49.86mm,5.737mm,2.3 有效数字及其运算法则,一.有效数字：正确有效地表示测量和运算结果的数字1.有效数字的组成准确（可靠）数字一位欠准（可疑）数字有效数字的位数-从第一位非零数字算起数字的个数,9.3mm 两位有效数字0.0093m 两位有效数字,2.与有效数字有关的几个问题(1)测量结果的有效数字最终将取决于测量不确定度的大小，应遵从与测量不确定度末位取齐的原则。测量不确定度取一位时，用以表示测量结果的数字均为有效数字 两位，测量结果的末位数字称为参考数字（安全数字）(

5、2)科学计数法-其中 A 在任何情况下均可准确地表出测量结果的有效数字位数，其数量级必须是个位数；用以表示测量结果的数量级。(3)常数2,1/2,及e等的有效数字位数是无限的。,4位有效数字,二.有效数字的运算法则 1尾数舍入规则 小于五舍，大于五入，等于五时则把尾数凑成偶数。4.1868取4位有效数字 1.63501、1.63500、1.64500取3位有效数字 2有效数字的四则运算法则加减法：结果的尾数与末位最高的那个数据的尾数对齐“尾数取齐”,4.187,38.21+161.2-1.32,1.64,198.1,一个四位有效数字减去一个四位有效数字结果是几位有效数字？,9999-1000=

6、89999999-9000=9999999-9900=999999-9990=9,二.有效数字的运算法则 1尾数舍入规则 小于五舍，大于五入，等于五时则把尾数凑成偶数。2有效数字的四则运算法则加减法：结果的尾数与末位最高的那个数据的尾数对齐“尾数取齐”乘除法：结果比有效数字最少的多取一位“多取一位”,562.31.21/232.2,2.930,算术平均值的有效数字：“多取一位”,最后与测量不确定度的尾数取齐一切近似常数（如 等）与测得值一起运算时，为了减小计算误差，一般应比测得值至少多取12位数字。在进行大量繁复运算（如用最小二乘原理进行方的回归）时，在运算过程中，为了不失去原有精度就应尽可能

7、地多保留一些位数。,3测量不确定度,测量不确定度是正确表示实验测得量的需要。为协调国际工商业测量误差表达的一致性，1992年国际计量局、国际电工委员会、国际标准化组织和国际法制计量组织四大权威计量组织与国际临床医学联合会等七个国际组织协调一致，制定了协调的、具有国际指导性的测量不确定度表达指南（GUM）（“导则”）。此“指南”的一些基本概念是国际、国内各界表达测量不确定度最具权威性和指导性的论述。我国明令自1992年10月1日起将其作为技术规范，因此我们的实验中也相应采用。,3.1 测量不确定度的基本概念,测量不确定度：表征被测量的真值所处的量值范围的评定，是用以表述测量结果分散性的参数。,被

8、测量-作为测量对象的特定量。测得值-由测量所得到的并赋予被测量的值。真 值-被测量客观存在的真实值。（理想化的概念）约定真值-给定目的、具有一定不确定度的、赋予特定 量的值。常用的约定真值有：国际计量会议约定的值或公称值（如基本物理常数、基本单位标准），经高一级仪器校验过的计量标准器的量值等。例如-国际千克原器的质量就是国际计量学约定真值。,测量不确定度：表征被测量的真值所处的量值范围的评定，是用以表述测量结果分散性的参数。测量不确定度可理解为测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度，从统计意义上来理解，它是待测量真值所处范围的估计。测量不确定度一般包含许多分量，其中一些分量可根据测量列结果的统计

9、分布进行评定，并可用实验标准偏差表征。当测量不确定度用实验标准偏差估计时，称为标准不确定度。,标准不确定度种类,A类标准不确定度（type A standard uncertainty）由对一系列测得值直接进行统计分析得到的，也称标准不确定度的A类评定。B类标准不确定度（type B standard uncertainty）根据经验或其他信息（例如计量器具的鉴定证书、标准、技术规范、手册上所提供的数据以及国际上所公布的常量或常数等）进行评定，也称标准不确定度的B类评定。合成标准不确定度（combined standard uncertainty）直接测量量的不确定度可以包含前两种不确定度 间

10、接测量的测得值是由若干直接测量的测得值通过一定的函数关系求出的，所以其标准不确定度也应由合成标准不确定度表示。,误差定义与误差公理 测得值(x)与被测量的真值(a)之差误差误差存在于一切测量过程的始终，这一事实已为一切从事科学实验的人们所公认，故称之为误差公理。,认识能力不足和科学技术水平的限制，仪器制造不可能十分精确，观测者测量方法和技能技巧受到主、客观条件的影响；外界环境条件的干扰，仪器的使用条件不易得到完全满足，物理量本身客观存在的真值会发生变化；理论公式建立在一定理论或条件基础上的抽象和简化；每一个测量要素对物理量的测得值均可能产生影响，使其与真值之间不可避免地产生差异。,3.2 误差

11、基本概念、分类及其表示法,误差分类,测量误差作为一个整体决定于所有的误差源。只是为了研究方便，才根据误差的性质及产生原因将它们分为两大类：系统误差-随机误差-,测量误差的系统部分在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号恒定，或在条件改变时按某一确定规律变化的误差。,测量误差的随机部分在相同条件下多次测量同一量时，误差时大时小、时正时负，无规则地涨落，但是对大量测量数据而言，其误差遵循统计规律。,精密度、准确度和精确度,精密度高 准确度高 精确度高,随机误差 系统误差,操作不当，仪器故障或设计错误而造成的测量错误，不应称为测量误差，在数据处理中应作为坏值予以剔除。,3.误差的表示,（1）

12、绝对误差（2）相对误差 总体-在相同条件下，对某一稳定的物理量进行无限次测量，获得的全部测得值数学期望-总体的平均值（简称期望）样本-在相同条件下，对同一稳定的物理量进行有限次（例如n次）测量时所得到的n个测得值被称为总体的样本。估计值-样本平均值是期望的估计值。系统误差-期望与真值之差随机误差-测得值与期望之差,无限次测量,有限次测量,（1）绝对误差 绝对真误差：测量值与被测量的真值之差x=x-a 总体方差、标准误差：总体方差无限次测量所获得的全部测得值误差的方均值2。总体标准误差总体方差的算术平方根。正态分布总体中每一个测得值的标准误差均为 算术平均值的标准误差为,的1/,残差：在有限次测

13、量中，每一个测得值与样本平均值之差称为该测得值的残差或偏差。,实际测量中的测量次数 总是有限的，所以，实验数据处理中常以误差符号代替偏差的符号；即以 代表,。,样本方差、标准偏差：在有限次测量中，以 表示一组符合正态分布的等精度测量的取样标准误差的精确估计值，称为样本标准偏差。算术平均值的标准偏差也为 的1/，即：,（2）相对误差,相对误差 EX 等于X的测量误差与其绝对量值之比。当粗略估计误差时，因测量值的绝对误差以X表示,故：定值误差,用米尺测量黑板擦的长度三次,算数平均值,误差,样本标准偏差,算术平均值的标准偏差,3.3 系统误差的发现、减弱及处理方法,1.系统误差主要来源 2系统误差的

14、不同的存在方式3系统误差的发现 4减弱或消除系统误差的方法 5系统误差的传递,略,1.系统误差主要来源,仪器本身 如尺子标度分布不均匀条件不满足 标准电池的使用需要一定的温度 测定空气的比热容比要求准静态绝热过程方法理论误差（公式的近似）（阻值的改变）个人误差 个人不良习惯相同条件下的多次测量方法不能减弱或消除系统误差，但是可能帮助人们发现那些由于外界影响因素而导致的系统误差。改变实验条件进行反复测量，然后根据测量结果和实践经验进行分析，不仅可以发现系统误差的存在、找到产生这种误差的原因，而且可能尽量减弱以至消除某些系统误差对测量结果的影响。,2.系统误差的不同的存在方式,按系统误差的稳定程度

15、划分恒定系统误差-不随实验条件变化的系统误差零点误差、天平臂长不等产生的误差、电桥臂的分布电阻、电容或电感引起的系统误差及测微仪空行程引起的系统误差均为恒定系统误差可变系统误差由于理论公式的近似、系统与外界的热量交换、电源电动势随时间而线性变化以及周期性系统误差均为可变系统误差。,按对系统误差掌握的程度划分-已定系统误差（方向和大小均可确知的误差）-未定系统误差,3系统误差的发现,（1）理论分析法 理论公式所要求的条件与实际实验条件的差异 仪器所要求的使用条件与实际实验条件的差异（2）实验分析方法(改变测量条件进行分析对比)与标准仪器或准确度等级较高的仪器进行对比测量 采用不同方法改变实验参量

16、的数值 不同观测者改变测量位置改变测量时间,4减弱或消除系统误差的方法,（1）找出修正值，对测量结果进行修正零点误差：校准曲线根据已知理论规律求（2）消除系统误差产生的根源 确保仪器满足规定的使用条件采用符合实际的理论公式（3）采用恰当的测量方法,5系统误差的传递,已定系统误差的处理方法（1）作为修正值对直接测量值加以修正（2）系统误差的传递公式 设有间接测量量 全微分系统误差传递公式 式中下角标“o”用以表示系统误差,3.4 随机误差的统计规律，直接测量中类标准不确定度的估计,随机误差的特点以50分度游标卡尺对标称直径3.010cm的钢球进行150次（约三互垂直方向各50次）测量，测得值xj

17、 的对应次数分别为kj，列于表。,主要来源于不确定或无法控制的随机因素，如观测者视觉、听觉的分辨能力及外界环境影响因素的扰动等。这些外界因素的微小扰动，使单个测量值的误差毫无规则，从而导致它们在大量测量中产生正负相消的机会。相同条件下多次测量的算术平均值比单个测量值的随机误差小，增加测量次数可以减小随机误差。,表 2,表 测量数据统计表,-百分率（又称频率）-百分率密度（或频率密度）,随机误差的特点单峰性 有界性 对称性 抵偿性,抵偿性是随机误差最本质的统计特性。原则上可以说，凡是具有抵偿性的误差，均可按随机误差进行处理。,阴影部分的面积表示随机变量在该数据区间内出现的频率，即：所有矩形面积之

18、和 图1纵坐标平移（如虚线所示），有：,当，时，统计值方图的包线成为一条光滑曲线。随机误差落在 区间内的概率就是此微分单元中曲边梯形（阴影部分）的面积，即：因图中曲线下面包围的面积表示随机误差落在整个数据区间内的概率应等于1。或曰事件（误差或测得值等）出现在全部区间内的概率：,随机误差概率密度分布函数（正态分布函数）的归一化条件。概率密度函数为：概率是随机事件出现可能性大小的量度,对一定的测量条件而言，有确定的数值；而且参数的值决定了正态分布曲线的形状凡相同的测量都称为等精度测量,方差-标准误差-方差的算术平方根,2.标准化正态分布、误差的概率计算、置信概率,(1)标准化正态分布:随机误差落在

19、 区间内的概率计算误差出现在（1,2）区间内的概率，需求积分令 概率密度函数变为它相当于真值，参数 时的概率密度函数，被称为标准化正态分布。标准化正态分布的分布函数即拉普拉斯（Laplace）函数：,(2)概率密度的计算据正态分布的对称性有：先将或x转换为t的值（略）(3)置信概率真值出现在某数据区间的概率真值出现在置信区间(x-,x+)内的概率约为68.3%(x-2,x+2)95.4%(x-3,x+3)99.7%误差极限当希望以较高的置信概率(我国规定为95%)表述测量结果时，需要将标准不确定度扩大而乘上一个系数cp，即：Up为扩展不确定度,有限次测量的标准偏差、直接测量类标准不确定度的估计

20、,有限次测量中标准偏差的估计贝塞尔公式 样本标准偏差样本算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差 表示有限次测量的最佳估计值对其数学期望值a的分散性,直接测量类标准不确定度的估计,单次测量测量结果是本次的测得值，在这种情况下，其类不确定度用与本次测量条件相同的“早先的多次测量”所得到的样本标准偏差表示，即：多次测量类标准不确定度是对一系列测得值进行统计分析计算所得到的标准偏差估计值，用 来表示,（）置信概率、分布,有限次测量的结果遵从“t分布”（“学生分布”）其概率密度函数为：t分布的峰值低于正态分布，为了达到同样的置信概率，即使曲线下面包围的面积相同，就要把误差扩大些，即若将Sxi或Sx乘上

21、一个t分布的置信系数tpk，则其置信概率与n时以xi或x表示结果的置信概率相同例如：真值出现在区间 内的概率约为68.3%等。,表 不同置信概率时t分布的置信系数与自由度的关系彼此独立的随机变量的个数，等于测量次数减去该组测量中约束条件数,用米尺测量黑板擦的长度三次,算数平均值,样本标准偏差,算术平均值的标准偏差,A类标准不确定度,解：根据贝塞尔公式有：算术平均值的标准偏差：查表知：当自由度 时，分布的置信系数 所以，置信概率为68.3时，的类不确定度为：,例 以数字毫秒计时器（时基即最小读数单位为1ms）测定气轨斜面上滑块由某定点开始下滑时通过一定距离所经历的时间间隔t，在相同条件下独立测量

22、了次。测得数据如下（单位：s）：1.5621.5641.5601.5631.5611.562。试估计其类不确定度。,3.5 均匀分布理论、直接测量中类标准不确定度的估计,一测量仪器及其误差 二均匀分布理论三直接测量类标准不确定度的估计,一测量仪器及其误差,测量仪器的精密度和准确度会给测量带来不确定度。测量仪器 包括量具、测量仪器和测量转换器，此三者的有机组合体则称为测量装置 量具：不经过任何转换即可实现物理量值的装置，它只具有物理量的输出信号或输出大小。测量仪器：它能够将测量信号转换为可以被人们的感觉器官直接接受的输出信号。测量转换器：它与测量仪器的区别仅在于：其输出信号只适用于传输和保存，以

23、供进一步转换或用作控制信号，而不能为人们的感官直接接受。将用于测量的装置统称为测量仪器是适宜的,仪器误差 基本误差 附加误差 示值变差基本误差在规定条件下使用时，测量仪器的误差（允差）附加误差当测量仪器没有在规定条件下使用，由于外界影响物理量的存在，使测量仪器产生的误差示值变差在测量迅速随时间变化的物理量时，由于仪器本身的动态响应特性欠佳，而使仪器的示值产生一个区别于真值的变差单次测量的不确定度取决于仪器的基本误差，当仪器的基本误差没有给出时，就应根据测量的实际情况或参考仪器的分度值（测量仪器的最小分划单位）进行估计，它们对应仪器的误差极限，它等于置信概率p=1时的扩展不确定度U。对于正态分布

24、而言=3。遵从第一类读数规则的大多数仪器的误差遵从正态分布，观测者的反应时间遵从正态分布,二均匀分布理论,一些仪器的误差遵从均匀分布，如数字显示仪表、机械停表等属于第二类读数规则的仪器仪表。对一些完全不知其分布的误差，也往往假定它们遵从均匀分布在估计多次测量的不确定度时，除类标准不确定度外，还应包括由仪器的不精密度或由于仪器分辨率（所谓仪器的分辨率是指仪器最小可测输入的变化量）的限制引入的类不确定度。因为小于其最小读数或动作单位的数值不能显示，所以，在此区间内的读数是一个定值，故也应遵从均匀分布。,若某连续的随机变量在（1，2）区间内取值不变，则称遵从均匀分布因故数学期望值：方差,三直接测量类

25、标准不确定度的估计,1.单次测量（）仪器的允差服从正态分布p=68.3%时 第一类读数规则的仪器仪表多属于这种情况（物理天平感量属于均匀分布）一般取仪器的分度值，但是米尺的取分度值的一半（0.5mm）（）仪器的允差遵从均匀分布第二类读数规则的仪器仪表多属于这种情况（游标卡尺属于两点式分布）完全不知其分布的误差也多假定其遵从均匀分布,（）一般地，如果知道对应不同分布之置信概率为（即p=1）时的覆盖因子c(1)，则类标准不确定度：,2.多次测量 其B类不确定度一律遵从均匀分布。设仪器的分辨率为,则，类标准不确定度为：,米尺 最小分度值1mm最大允许误差0.5mm分辨率0.1mm游标卡尺 0.02m

26、m0.02mm0.02mm螺旋测微器0.01mm0.004mm0.001mm,3.6 合成标准不确定度、间接测量标准不确定度的估计,直接测量的合成标 准不确定度利用广义方和根法，即把各标准不确定度分量平方、求和，再求其算术平方根,二关于测量不确定度的取位,测量不确定度是对一系列测得值进行统计的或非统计的分析计算所得到的标准偏差的估计值。因此，测量不确定度自身也存在不确定度。,当测量不确定度的首数小于“5”时，取两位数字，当其首数大于或等于“5”时只取一位数字。标准相对不确定度一律取两位数字。,测量结果的表示,用米尺测量黑板擦的长度三次,算数平均值,样本标准偏差,算术平均值的标准偏差,A类标准不

27、确定度,合成不确定度,例 以电子停表（时基为 0.01s）测定单摆100个周期的持续时间四次，数据如下（单位：s）：196.48，196.24，196.89，196.65。试估计时间的合成标准不确定度。解 计算 的算术平均值 及其类标准不确定度 B类标准不确定度包括两部分 手控计时引入 部分：电子停表（数显）引入部分：用广义方和根法估计 合成标准不确定度 自由度,解：测得值的算数平均值为 测得值的最佳估计值为 算数平均值的标准偏差 则：测量结果为 Y=0.24600.0009mm,例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值yi分别为：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253

28、,0.250;同时读得螺旋测微计的零位y0为：0.004,单位mm，请给出完整的测量结果。,三间接测量的合成标准不确定度,用广义方和根法求间接测量的合成标准不确定度,求间接测量合成标准不确定度公式的方法步骤,求全微分，或先取对数再行微分。当函数形式为混合运算时，可通过假设将函数化为乘除和加减相分离的形式，再求微分。合并同一微分量的系数。逐项平方，并将微分符号“d”改写为标准不确定度的符号“u”。各平方项间以“+”号连接。最后等式两端开平方即为所求。,用米尺测量黑板擦的长度三次,黑板擦的面积？其不确定度？,用米尺测量黑板擦的宽度三次,例：已知g=42l/T2，试求g的相对标准不确定度Eugug/

29、g。,解：等式两边取对数lng=ln(42)+lnl-2lnT,上式两边逐项平方，且以“”号接，并将微分符号“d”改为标准不确定度的符号“u”，再开平方即得到g的相对标准不确定度的公式 Eugug/g(ul/l)2+(2uT/T)21/2,求微分 dg/g=dl/l-2dT/T,粘滞系数的计算公式试求其不确定度,在弦振动实验中，音叉的固有频率f可以通过其与弦线密度、弦线受到的张力T和弦上形成稳定驻波的波长之间的关系 求出，试求f的不确定度表示式。注：弦线密度（3.0100.030）10-4g/cm，弦线在T0.98N张力作用下共测量4次稳定驻波的波长(56.21、54.23、53.78和54.

30、83cm),实验课的要求,预习（20%）看懂教材、明确目的、写出预习报告笔记：实验目的 仪器使用方法、操作要领 拟定实验步骤提纲 数据记录表格 考查题课堂实习（40%）在教师指导下正确操作仪器设备，不失时机地观察物理现象、记录测量数据，完成规定的实验任务实验报告（40%）此项考查，主要依据书面报告,实验报告格式,专业 姓名 组别 实验名称 实验时间目的要求仪器用具(必要时注明规格型号及仪器编号)实验原理简述(用自己的语言扼要说明实验所依据的原理和公式)数据处理(包括原始数据及处理表格、实验曲线、主要演算步骤及正确表述结果)问题讨论(包括实验过程中观察到的异常现象及可能的解释、对实验结果的分析、

31、对实验装置和实验方法的建议及心得体会等)*回答教师指定的思考题,注意事项!,迟到15分钟以上不准进入实验室，计零分。无故缺席者记零分。若因病（医生证明）、因事（学院办公室证明）而缺课，应提前请假。对号入座。未经教师同意不得擅自操作，违规造成损失要赔偿。实验结束请教师检查合格并签字后将仪器还原摆好。按要求做实验报告，于下次实验前将报告交组长，由各组组长统一交给此次实验教师或放到指定的报告箱内。严禁抄袭，疑似抄袭一般记零分。,4 实验数据处理方法,一.列表法二作图法三环差法四用最小二乘原理求经验方程方程的回归,电阻伏安特性曲线,作图步骤：1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小2.标明坐标轴：3

32、.标实验点：4.连成图线：5.标出图线特征：6.标出图名：,二作图法,伏安法测电阻实验数据如下：,由图上A、B两点可得被测电阻R为：,不当图例展示：,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,图 1,改正为：,2-3 作图法处理实验数据,横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,2-3 作图法处理实验数据,改正为：,2-3 作图法处理实验数据,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。

33、,2-3 作图法处理实验数据,改正为：,三环差法,1运用条件（1）函数y与自变量x成线性关系：,或x可以写成的多项式：,或已线性化的非线性函数等。上述函数形式均可以通过逐差或环差的方法检验函数关系、求出关系式中的系数，即物理量的值。（2）运用逐差法或环差法时要求人为地选择自变量x使之作等差变化。,2基本做法(1)逐差法：为验证 y 和 x 是否成线性关系，可以等差地改变自变量 x，进行多次测量，得出相应的y值，若满足线性关系，则可得到右面 n 个方程：,将式中的方程逐一相减称之为逐差。逐差后可得下述个n-1 方程：求斜率可见，逐差法只能局限于验证 y 和 x 之间函数关系,（2）环差法为了充分

34、利用全部测量数据，减小所求系数a0及a1的测量误差，令测量次数 n=2l，于是将前式改写为如下的个 2l 方程：,将 2l 方程平均分为两组，然后依前后两组的顺序对应相减求差，这种求差的方法称之为环差法。求差后，即得式（71）所表述的 l 个方程：求斜率,金属丝杨氏模量的数学表达式,（3）平均点作图法当满足环差法处理数据的条件时，由上面的结论可以推出平均点作图法。将斜率表达式变为：,式中，A()B()A、B 称为平均点,四用最小二乘原理求经验方程方程的回归,1.相关关系和方程的回归随机变量间的一一对应关系-函数关系对随机变量每一个可能的取值，另一随机变量都有一个确定的条件分布，变量间的这种关系

35、-相关关系 2.用最小二乘原理求直线的回归方程-直线拟合 以数理统计的方法处理相关关系，找出变量间合适的数学模型，即 以某种函数的形式表示相关关系 应用最小二乘原理,根据函数求极值原理令：线性方程组的解为：为了将 表达式简化，令：则：回归方程：,3.标准不确定度的估计,（1）单个测得值 的标准不确定度因约束条件有二，故其自由度为：k=n-2，据定义有：,(2)斜率的标准不确定度：,的计算公式：,（3）截距 的标准不确定度：,4线性相关系数、变量间线性相关程度的检验,(1)定义：在概率统计中，为了描述两变量之间线性相关的密切程度，定义两变量的 线性相关系数 为：其中 称为 与 的协方差,在有限次

36、等精密度测量中，以平均值代表真值，以残差代表误差，时，可以定义线性相关系数的估计值：省略符号“”，变换后可得：,（2）相关系数 的几个特性,随机变量放大或缩小时，相关系数不变。相关系数的绝对值小于等于1，即：。若，则 当 时，称、正相关 时，称、负相关。当 时，称、强正相关；时，称、强负相关。若，则称、线性无关，或称线性独立。,（3）随机变量、间线性相关程度的检验,只有当相关系数的绝对值大到一定程度时，才可以用回归直线近似表示、之间的关系。、在置信概率为 时显著线性相关 线性相关不显著、线性无关（线性独立）此时拟合直线将毫无意义。,不同置信概率时显著性标准与自由度（k=n-2）的关系,进一步的推导可得出简单适用的计算公式：,计算目的在于求出函数的具体形式,估算目的在于求斜率的结果表达式,估算目的便于进行随机变量之间线性相关的程度的检验,求截距的结果表达式证明随机变量之间是否存在正比关系,