整理数值分析计算方法超级总结.docx

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1、工程硕士数值分析总复习题(2011年年用由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习一.解答下列问题:1)下列所取近似值有多少位有效数字(注意根据什么?):a)对e=2.718281828459045,取*=2.71828b)数学家祖冲之取常作为冗的近似值.c)经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位,位。2)简述下名词:a)截断误差(不超过60字)b)舍入误差(不超过60字)c)算法数值稳定性(不超过60字)3)试推导(按定义或利用近似公式):计算八时的相对误差约等于X的相对误差的3倍。4)计算球体积V二时,为使其相

2、对误差不超过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围。5)计算下式25738PG)+34(X-1)5(X-1)4(X-1)3(X-1)21时,为了减少乘除法次数,通常采用什么算法?将算式加工成什么形式?y-BX(k)+/,Z:-0,1,其中8称为什么?X0又称为什么?如果迭代序列La)有极限X*(即迭代公式收敛),则极限X*是什么?2)设解线性代数方程组及-b(其中Ax”非奇异,b丰()的迭代公式为x(k)x(k)-a(Ax(k)b),Z=O,1,则其迭代矩阵是什么?此迭代公式对任意的初始向量M)收敛的充分必要条件是什么?又此迭代公式对任意的初始向量工收敛的一个充分条件是什么?X3)设线性方程组

3、IX试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式;试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么?试用初值皿=Q)7计算GS迭代公式的前三个值.-44)设方程组8试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.5)设线性方程组1-0.5aAx=b,A=-0.52-0.5,x,heR3-a-0.51请按便于计算的收敛充分条件,求使J法和GS法均收敛的。的取值范围.七.一元方程求根:1)写出求方程yw=M-3%7=在U,2中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式,并证明其收敛性。2)已知方程XTnX=2(X1)的有根

4、区间3,4.试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式;证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3)用Newton迭代法求方程f=33x-1=在=2附近的根,试写其NeWtOn迭代公式;并说明其收敛情况。4)试写出求:2的N。WtOn迭代公式,并说明其收敛情况。.懵微分方程初值问题:D常微分方程定解问题分为初值问题和(A)问题.初值问题是指由(B)和(C)两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时,通常针对基本形式(D)进行研究。设函数y(%)是某初值问题的解析解,则该初值问题在八处的解为的,)而数值解(通常记)为(F),它们的关系是(G).若记y%)是初值问题在点I处

5、的解,yI是由某数值方法得出的+】j1%+i处的数值解,则该数值方法在%+i处的局部截断误差是指一).2)设初值问题y9=%y2-O%0.6yy(0)=1试用EUler方法取=0.2求解上述初值问题的数值解。fy=8-3y,1%23)设初值问题1/(y(1)-2试用梯形方法求其解在两点=.2,/.4处的值yUP的近似值。y=y2+2%+14)设初值问题y(0)=试用改进的EUlor方法,并取=OJ,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案(或称计算机律法描述;不必求出解的具体数值)fy=3y(l+%),0%15)设初值问题Vy(O)=I试用4阶经典R-K方法,并取/7二0,设计一个求解上述初值

6、问题数值解的求解方案(或称计算机算法描述;不必求出解的具体数值)。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习:1)设=0,23求,11%,%112,11%I112设=34,求叫,叫(4)L2 )用较简捷的方法分别求下列的插值多项式“(%)和P(%),并写出其余项公式:a) /7(-1)=-1,/7(0)=H,(0)=0,/7(1)=1b) P(O)=1,P(1)=P,(l)=0,P=23 )用插值方法求在%=处与CO3%相切,在二冗2处与cos%相交的二次多项式尸2(%),并推导插值余项的估计式为1 .ncos%一P(%)-%2%-I4)试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:2%+4%=1

7、13%-5;=312%+2%=612、2%1+%2=75)要计算函数y(%)-jXe,2dt在=o.2,0.4,0.6三处的近似值,o试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案(要求采用二阶精度的计算公式).6)用追赶法解三对角方程组:H21,一12,1n对方程组心二8力=0.318=2拟用迭代法%(+)=%(A)+a(%(A)-b),攵=0,1,求解,试确定a的取值范围,使得上述迭代公式收敛.8)对迭代函数3%)=%+九(2-5),试求使迭代公式x二甲(x),k-0,1,.,局部收敛于无*=J5的入的取值范围。19)试给出求的NeWton迭代公式,使得迭代公式没有开方和除频算.一LXLy10)由迭代公式X=一十寸,k=0/,.,产生的序列y对任何MX2kk初值XOW均二阶收敛于什么?解释其原理。11)写出求方程x2-2+1=的NewtOn迭代公式,并指出其收敛阶(数)。(可以有两种答案)12)若用EUler公式(力/=门+匕(又“,小)解初值问题y=yLy(O)=2证明其数值解为y=2(,-h)n,并证明它收敛于准确解。y(xn)-2en讨论该数值方法的绝对稳定条件。13)设q(x)%是区间上带权P=X而最高次项系数为1的正交kit=O多项式族,其中4O(X)=I,试求夕7(%)。

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