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1、数学预备知识,1 导数与微分,第一章质点运动学,数学预备知识,2 不定积分,3 矢量运算要点,数学预备知识,研究的对象,函数,微积分,研究的基本工具,极限,研究的主要内容,连续函数,1 导数与微分,1 导数与微分,1.1 导数的定义,设函数 在给定点 处及其左右近旁有定义,当,自变量 在点 处有改变量,相应地函数 有改变量,若当 时,比值 的极限存在,即,存在,则称此极限为函数,在点,处的导数.记作:,1 导数与微分,若,在,内每一点都可导,则,为,的导,函数,习惯上亦称为导数。,例1,己知物体自由下落的运动表达式是。,求,秒时,落体的瞬時速度(实际上就是求),解:,内的平均速度是:。,当,时
2、,只能得,秒时瞬時速,度的近似值,其近似程度取决于,的大小。由导数的定义按以下,1 导数与微分,三个步骤来求:,(1)求函数的改变量,(2)计算比值,(3)当 时,求比值的极限,1 导数与微分,练习题,导数的几何意义是什么?,思考,应用,函数曲线上任一点的斜率、切线方程、,法线方程,1.2 微分的定义,定义:若函数,在点,有导数,那么这个导数与,自变量,的改变量,的乘积,称为函数,在点,处的微分,记作：,并且说函数,在点,处可微。若,在任意点,可导,那么,在任意点,的微分,称为函数的微分，记作:,可以证明:自变量,的微分。,所以上式常写为,1 导数与微分,1 导数与微分,1.3 基本微分公式和
3、导数公式,1.4 基本微分法则,1 导数与微分,1 导数与微分,例2,解:,例3,运用法则(2)(3),运用法则(4),解:,1 导数与微分,例4,解:,例5,运用法则(5),运用法则(6),解:,这是一个复合函微,设,1 导数与微分,1.5 高阶导数,例6,解:,2 不定积分,2 不定积分,2.1 原函数,设,是定义在某区间内的一个己知函数,如果存在函数,使得在该区域内的任一点都有,那么函数,称为函数,在该区间上的原函数。,例,为,在(0,t)上的原函数,2 不定积分,例7,解:,式中 为任意常数,2 不定积分,2.2 不定积分的定义,设函数,是函数,的任意一个原函数,那么我们把函数,的原函
4、数族,叫做函数,的不定积分,记作,即,其中 为积分号,函数 叫做被积函数,称为被积表,达式,为积分变量,为积分常数。,2 不定积分,例8,解:,例9,解:,由不定积分的定义可得：,2 不定积分,2.3 不定积分的基本性质,2.4 基本积分公式,2 不定积分,2.5 不定积分法则,例10,解:,2 不定积分,课后习题,1.根据导数定义,分一差二比三极限的步骤,求函数,处的导数。,2.求下列函数的导数和微分:,3.求下列不定积分,4.已知物体以速度,作直线运动,当1秒时,路程s=3.,求物体的运动规律s(t)和加速度.,3 矢量运算要点,3.1矢量合成解析法：,(1)矢量在rt中的分量表示：,式中
5、,3 矢量运算要点,(2)矢量合成解析法：,3 矢量运算要点,3.2 矢量的点积和叉积,几何意义,(1)矢量的点积,定义：,解：,性质：,例11,3 矢量运算要点,(2)矢量的叉积,几何意义:（如图）,顺序不变,性质：,定义：,的单位矢，方向服从右手螺旋法则。,求,例12 已知,解：,3 矢量运算要点,3.3 矢量的导数和积分,的方向,的切向,当 的极限情况下，,定义：,(1)矢量的导数,为矢性函数）,（设,几何意义（动画）,1.1 之三1（1）、（2）,当,时，,3 矢量运算要点,例13、设在平面上有两相互垂直的单位矢 和 逆时针转动，,试求 和 的大小和方向。,逆时针转动,3 矢量运算要点,性质：,3 矢量运算要点,3 矢量运算要点,例14 试写出,在直角坐标系中的表示：,解,3 矢量运算要点,例15 证明,证：设,原式右第一项,原式右第二项,左边右边 证毕,3 矢量运算要点,不定积分,定积分,即：分量一般用分量大小与单位矢的乘积表示。,式中 为常矢,特别强调,不要写为,为矢性函数，且,设,(2)矢量的积分,3 矢量运算要点,4 矢量分析,4 矢量分析,4.1 矢量的通量与散度,4.2 矢量的环流与旋度,4.3 并矢与张量,
