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1、第二章 机械波,波动是一种常见的运动形式。波动以振动为基础，是振动的传播。在经典物理中，有机械波（如声波、水波、地震波等）、电磁波包括光波。在近代物理中，有物质波。波动有各种具体形式，但它们的基本特征和数学描述相似。本章主要介绍机械波。主要内容：波的一般概念，波如何描述？波动有什么特征（如干涉、衍射、反射、折射）。,2-1 波的一般概念,一、什么是波？波的产生条件,所谓波振动在空间的传播。机械波机械振动在空间的传播电磁波电磁振动在空间的传播,确切地说，波动是物理量（如位移、压强、电场和磁场强度等）的周期性变化在空间的传播。,机械波产生的条件：,波源（即做机械振动的物体）,弹性媒质,（因物体（固
2、体、气体、液体）内部传播机械波靠物体弹性才能形成，故这些媒质叫弹性媒质）,如地震波，有震源，地球本身是媒质；声波有发声体，空气是媒质；水波，某处扰动是波源，水是媒质。由于有空气，我们生活在充满音响的世界里。月球上无空气，因而是一个寂静的世界。太阳核爆炸声音巨大，因无媒质，地球上不能听见。但电磁波和光波的传播不需要媒质。,二、波的传播图像,1、横波与纵波,按振动方向和传播方向的不同，可以分为横波和纵波,横波,纵波,为什么会出现横波、纵波呢？主要与媒质弹性有关。,（1）横波产生原因：媒质可产生切应变,切应变,媒质能产生切应变弹性，切应力可以带动邻近质点振动。形成横波。,固体可以产生切应变传播横波,
3、液体、气体不能产生切应变 不传播横波,（2）纵波产生原因：媒质可产生正应变,（拉、压、体变弹性）,媒质产生正应变弹性，能发生体积膨胀收缩或拉伸压缩，从而产生正应力，可形成疏密纵波。,固体、液体、气体均产生正应变传播纵波,正应变,问：水面波是纵波还是横波？,内部传播纵波。但水面波容易使人产生横波假象。,水面波很复杂。既不是纵波，也不是横波，而是一种非弹性波。是表面张力和重力共同作用结果,水波传播时，水的微团绕平衡位置椭圆运动。微团相对于平衡位置的位置矢量转动，沿传播方向落后一个角度，将矢量尖端连起来，便显示波形。看起来像横波，实际上并非横波，更不是纵波。,2、行波传播图像,以横波为例说明,可见：
4、,质点位移,（1）传播有一定速度，T内传播；,（2）质元本身不迁移，位相或状态传播；,质点位移,（3）沿传播方向，位相依次落后；,（4）能量传播（质元有动能，形变有势能）,振动状态和能量都在传播的波行波,3、简谐波,即简谐振动的传播。,任何复杂波=简谐波叠加,4、几何描述（几个名词）,波线表示波的传播方向的线（直线或曲线）,波面位相相同的点组成的面,波前（波阵面）最前方的波面即某时刻振动传到的各点构成的同相面。,按波面形状：平面波、球面波、柱面波等。,波线,波面,波前,平面波,球面波,远处的球面波、柱面波的局部可以视为平面波,平面波、球面波、柱面波都是真实波动的理想近似,各向同性介质，波线 波
5、面，波线为直线。非各向同性则不然。,三、描述波的特征量,波是周期性振动在空间的传播。振动是时间周期性的。波必然具有时间和空间两种周期性。,引入物理量描述波的周期性特征,1、波的周期T（时间周期性）,T媒质中各质元振动状态复原一次,2、波的频率,（即振动频率）,的时间即振动周期,或完成一次全振动的时间,或一个完整波通过一点的时间,3、波长（空间周期性）,波线上位相差为（相邻同相点）的两点间距,一个周期内振动传播的距离,一个完整波的长度,峰-峰、谷-谷间距,疏-疏、密-密间距,每隔一个，振动状态相同即空间周期性。,位相或振动状态传播速度（1秒内传播的距离）,波每秒通过的距离中包含的完整波的数目,每
6、秒内通过某点的完整波的数目,与媒质有关；,与波源有关,2-2 平面简谐波的描述,前述，任何复杂波都可以视为简谐波的叠加，故研究简谐波的规律有重要意义。此处，仅讨论平面简谐波。,4、波速u,波在传播过程中，各质元都在振动且传播方向依次落后，能否用一个数学式将这种情形表达出来？这种描述波的数学表达式叫波函数（或波动方程）,一、平面简谐波波函数,设平面波在无限大均匀介质中传播，且无吸收。,如图，一列平面谐波沿 正向传播，原点o的振动表达式为,O点的振动以波速u传到P点，沿x方向位相依次落后，每隔一个 位相落后。,P相对于O位相落后：,P任意，略下标P,振动滞后时间,位相落后数值,引入波数k,复数形式
7、,讨论：波函数意义,（1）,处振动方程,处振动初相,落后于原点,（2）,波形方程,特定时刻，各质点位移 与坐标 的关系。,时刻质元位移分布曲线，或波的位形“照相”,横波：波形曲线与位移分布一致,纵波：疏密波，波形曲线 位移分布,密部,密部,疏部,疏部,波形曲线,纵波波形,横波波形,实际位移,位移大小方向,（3）都变，波形推进,处t时刻的位移,时刻的位移,处,（4）时空周期性,（5）波函数只有相对意义,与x坐标和波速的相对取向有关,与计时起点有关。如取位移最大处位计时起点即0时刻：,（6）,质元振动速度,波速即位相传播速度,二、波动动力学微分方程,一般说来，波动有其特有的微分方程。对于机械波，用
8、动力学方法（牛顿定律、胡克定律）可以得到机械平面波动力学微分方程（推导略）：,该方程一般解为：,任何物理量只要满足上述方程，必定以波的形式传播，传播速度为u.,特例,不一定是简谐波，还有其他形式平面波。,在推导微分方程的过程中可以得到不同情况下的波速u：,紧绳中横波,固体中纵波,固体中横波,气体中纵波,液体中纵波,Y、N、B的意义如何？,证明：理想气体声速,证：,声速快，近似绝热,证明：理想气体声速,例题1 已知波函数,（1）波的振幅、波速、波长、频率、周期、最大振动速度、最大振动加速度。,求：,（2）波线上相距2m的两点间位相差。,（3）x=0.5m 处振动方程,（4）t=1s时刻的波形曲线
9、,（5）x=1m处质点在t=2s时刻的位相与原点在哪一时刻的位相相等。这一位相在t=4s时刻传到哪一点？,解,对照,（1）波的振幅、波速、波长、频率、周期、最大振动速度、最大振动加速度。,（2）波线上相距2m的两点间位相差。,（3）x=0.5m 处振动方程,（4）t=1s时刻的波形曲线,（5）x=1m处质点在t=2s时刻的位相与原点在哪一时刻的位相相等？该位相在t=4s时刻传到哪一点？,这一位相与原点在t=1s时位相相同,该位相在t=4s时刻传到x=3m处,平面波向x正方向传播，已知原点振动曲线如图，,例题2,写出波函数（波动方程）,如果平面波向x负方向传播？,解（1）,求出,即可写出波函数,
10、或,如果平面波向x负方向传播：,2-3 波的能量及其传播,波通过介质时，质元振动且形变，有动能和势能，所以有能量在介质中传播。如何描述介质中波的能量及其传播？,一、能量与能量密度,设平面简谐波在介质中传播，取质元,动能：,可以证明：,证*：,以纵波为例,此处：,能量密度,说明：,（1）,（2）,（3）,质元从前方吸收能量 极大，向后方放出能量 极小,二、能流与能流密度,为了描述能量传播特征，引入能流、能流密度,定义1：单位时间（每秒）内通过某面积的波的能量称为该面积的能流,（dt内）,笼统但不细致描述波的能量传播,定义2：通过垂直于波传播方向上单位面积的能流叫做波的强度（能流密度，坡印亭矢量）
11、,细致描述能量传播,波强度（能流密度）与能量密度关系：,现分析：平面波与球面波振幅,平面波,球面波,球面波函数,三、波的能量吸收,实际上，波传播时，媒质要吸收部分能量，,2-3 波的传播原理与波的特征,波动一种特殊的运动形式，必然具有一些特有的物理现象：包括，波的干涉（驻波）、衍射、反射、折射、散射。这些现象或特征可以用波的传播原理解释。,一、波的传播原理,1、惠更斯原理,荷兰的惠更斯在解释波动现象时，于1690年提出了一个原理：,波前上的每一点都是一个新的球面波波源（子波源），其后任一时刻的子波的包迹便是新的波前。,惠更斯原理,利用该原理，由前一时刻波阵面，作出下一时刻波阵面。,可以解释：反
12、射、折射、衍射、散射,核心思想：子波概念；,缺陷：不能说明为什么子波不后退,需要惠更斯-菲涅耳原理完善,2、波的叠加原理,理论和实验证明：,（1）媒质中每列波都保持各自独立传播的特性，不因其它波的存在而改变（波的独立性）；,（2）在波的叠加区域中，各点的振动都是各波单独存在时在该点引起的振动合成（波的叠加性）；,波的叠加原理,例如，音乐会上，各种乐器声、各种灯光相遇，互不影响和互不改变。,波的叠加原理可以解释：干涉（驻波），但只适应强度不太大的波。,线性,二、波的干涉,1、干涉现象与相干条件,实验证明，当两列以上的波在某区域同时传播时，可能形成有的地方振动始终加强、另一些地方振动始终减弱的现象
13、，称为波的干涉。,S1,S2,强,强,强,弱,弱,弱,弱,波峰,波谷,简言之，几列波叠加时产生强度强弱的稳定分布现象叫波的干涉。,S1,S2,强,强,强,弱,弱,弱,弱,波峰,波谷,水波干涉实验,能产生干涉的波叫相干波；相应的波源叫相干波源。,相干条件：频率相同；位相差恒定；振动方向相同。,否则不相干。为什么要满足这些条件？,2、相干加强、减弱的条件 波程差,设波源 的 相同，且两波在叠加区域振动方向相同。,两波在P点相遇的振动方程为：,P点位相差,波源位相差,传播路程不同的位相差,波程差,按同方向、同频率振动合成：,干涉因子，影响合成的波的强度。,如果叠加区域各点 不变，则各点 不变；如果叠
14、加区域各点 变化，则各点 变化。,干涉,无干涉,保持恒定，则 保持恒定，强度稳定分布。,哪些地方 最大（干涉相长）？哪些地方 最小（干涉相消）？,（1）,干涉极大（相长）,波峰-波峰、波谷-波谷相遇,干涉极小（相消）,波峰-波谷相遇,以上满足了相干条件：,频率相同；位相差恒定；振动方向相同。,（2）,波程差,干涉相长,干涉相消,问：如果两振动频率不同？如果位相差 不恒定？如果两振动方向不同？还有干涉吗？,三、驻波（干涉特例）,特殊情况下，如果两振幅相同、沿相反方向传播的相干波叠加，其干涉有何特点？,1、驻波方程,驻波同一媒质中，两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的波。,
15、设两波在原点的振动初相均为0,叠加原理,讨论：,（1）各点都在做同频率、不同振幅的谐振动,谐振因子,波腹,波节,振幅分布,波腹（振幅最大，为2A）,波节（振幅最小，为0）,波节（始终不动）,波腹,驻波形成过程图,（2）无位相传播，同段同相，邻段反相，无波形移动,波腹,波节,“驻波”,（3）因能流反向，故无能量传播,2、“半波损失”问题,当波入射到两介质分界面时，入射波和反射波叠加可以形成驻波。,若反射波不动，反射点是波节。意味着在反射点，入射波和反射波位相相反，即反射波位相突变，相当于波程差，或者说波反射时损失半个波长。,波在反射点位相突变 的现象半波损失,什么时候有半波损失？,可以证明：当垂
16、直入射时，决定于,从 小 大，反射波有半波损失，界面波节,（波疏）,（波密）,从 大 小，反射波无半波损失，界面波腹,（波密）,（波疏）,3、“自由端”“固定端”问题,设x=0处为端点。反射点可能是波腹，也可能是波节。,入射波,反射波,O端自由端,反射点是波腹,入射波,反射波,若O端固定不动,O端固定端,反射点是波节,S1,C,反射端为固定点,反射端为自由端,反射端为固定点：波节。入射波在反射时有 的相位变。反射点为自由端：波腹。,半波损失,什么是驻波共振？如果将紧弦两端固定，拨动弦，产生波动，来回反射，合成驻波。,稳定驻波条件：,能形成稳定驻波的那些频率不连续：,弦振动本征或固有频率,4、驻
17、波共振现象,基频,谐频,弦振动本征或固有频率,如果外界策动源频率=某个本征频率时，将激起强的驻波该现象叫做驻波共振。,如果外界策动源频率=某个本征频率时，将激起强的驻波该现象叫做驻波共振。,驻波有多个固有频率，与弹簧振子只有一个固有频率不同。,驻波共振举例：,电动音叉；弦乐（二胡）；激光谐振腔；微波振荡器；鼓面（二维驻波）；量子力学中一维无限深势阱等,四、衍射、散射、反射、折射,衍射波在前进中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物边缘继续前进的现象。,由惠更斯原理，波阵面上的点是子波源。右上图小孔是子波源。发出球面子波，能传到障碍物右边被挡住部分。这样，波绕过了障碍物继续前进。,右下图衍
18、射不显著，孔大，衍射波基本上还是平面波。只孔边缘衍射。,衍射的显著程度与障碍物或小孔尺寸d及波长有关。,所以，无线电波波长长，能绕过很大的障碍物如建筑物、高山，电视信号、电台信号能进入千家万户。,光波波长短，很难衍射，需要特殊光学装置。X射线波长更短，一般光学衍射装置不能使其衍射，要晶体才能衍射。,散射波传到媒质中悬浮粒子（如尘埃、杂质、汽泡、烟雾粒子、密度起伏），这些粒子也成为子波源发射波动。,手电光柱,如光在均匀介质中直线传播，由于有灰尘等从侧面可看到显灰尘的光柱,太阳光通过大气层，受大气分子（分子密度起伏）散射，蓝色光散射最强，可看到蔚蓝色的天空。因为有散射，能看到明媚柔和的阳光，否则，
19、正对太阳看,十分刺眼，而周围黑洞洞的。,宇航员在太空正对着星体才看到亮光，周围黑洞洞的。,1,2,3,4,1,2,3,4,反射,用惠更斯原理作图可以得到反射定律,如图，光线1最先到达A点，发射反射线球面子波。光线4最后到达B点，刚发射反射线子波，而A点子波已到达。2、3光线介于前两者之间。光线4到达B点时刻，各子波包迹便是该时刻波阵面,由于反射波与入射波在同一介质，传播速度相同，故,反射定律,1,2,3,4,1,2,3,4,折射,用惠更斯原理作图可以得到折射定律,1,2,3,4,1,2,3,4,1,4,波在两介质中速度不同,折射定律,2-5 多普勒效应,一、什么是多普勒效应？,前面已经讨论：波
20、源和观察者相对媒质静止,波源频率=波的频率=接收频率,当波源或观察着相对于媒质运动，三频率还相同吗？,例如，火车鸣笛而来，音调，鸣笛而去，音调,说明：观察者接收的频率 波源的频率,由于波源或观察者（或两者）相对于媒质运动，使观察者接收的频率与波源频率不同，这种现象称为多普勒效应,接收的频率与波源的频率究竟存在什么关系？,二、多普勒频移公式,讨论几种情况：,1、S、R、媒质相对静止，,2、S不动,S,R,三个速度，三个频率,R向S运动：,R,S,R离S运动：,3、S运动,R,S,S,S,S每隔 发一个振动,第一振动从A发出经 达C,第二振动将从B发出,波长两位相差为 两点间距。,（同相点间距）,
21、第二振动从B发出时，同相点（）是B、C（非A、C）,S向R运动,R,S,S,S,S向R运动,此时波长。,若S不动：,而媒质中,R不动,第二振动从B发出时，同相点（）是B、C（非A、C）,R,S,R不动,R,S,若S离R运动：,R,S,R,S,4、S、R都对媒质运动,R,S,R,S,R,S,R,S,5、电磁波频移公式,电磁波传播不需要媒质，以光速c传播,由相对论可以证明得：,波源与观察者相向,波源与观察者相离,所以，光源远离观察者，变长，移向红端,“红移”,实验证明：来自星体的光谱较地球上同一元素的光谱，几乎都有“红移”。说明星体正远离地球四面飞去（相互离开）,这一结果支持了“宇宙大爆炸”理论,
22、光源远离观察者,“红移”,“宇宙大爆炸”首先由比利时数学家勒墨策于1927年提出。1948年，俄国物理学家伽莫夫进行具体化，建立了“大爆炸宇宙模型”,认为宇宙起源于150亿年前的一个密度极大、温度极高的“原始火球”。原因是，既然现在宇宙在膨胀，反推回去，宇宙最初则是一个奇点（密度无限大、温度无限高），现在的理论无法描述。那时无原子、分子，更谈不上星系、恒星。t=0时刻，发生爆炸，启动膨胀，密度降低，温度降低，在这个过程中发生一系列相变，后来形成了原子、分子、星体、千姿百态的物质世界。现在星体还在相互远离。（是否再收缩？不清楚）,大爆炸模型描述了宇宙演化过程，而且有许多实验证据。,“大爆炸宇宙模
23、型”,例题：,汽车驶过车站前后，站上观察者测得其声音频率从1200Hz变到1000Hz。已知声速为330m/s，求车速。,解：,R不动,S,S,先S向R运动：,后S离R运动：,R不动,S,S,先S向R运动：,后S离R运动：,2-6 习题总结与例题,一、波函数的建立,1、已知某点振动（振动方程、振动初始条件、振动图线等）求波函数 2、由已知波形求波函数,基本方法：设法求出，或写出一点振动方程 波函数,二、已知波函数 求,1、,（两点间）,对照标准方程：,2、某点的振动情况：,振动图线等,3、某时刻波形：,三、作图,t1时刻波形 t2时刻波形,某点振动曲线 某时刻波形曲线,求波函数,或直接画,四、
24、波的叠加,1、由分波求相遇点的合振动、判断干涉强弱,2、驻波：行波 驻波方程，波节、波腹位置。,驻波 行波A、等。,注意自由端、固定端,入射波,反射波,O自由端,入射波,反射波,O自由端,入射波,反射波,O端固定端,例题1：求下列波函数,（1）x正向传播的波，原点在计时起点向y负方向运动且位移为A/2（u=1m/s,）。,（2）如右图 曲线。,（3）沿x正向传播的波，某时刻波形如右图，。,（4）沿x正向传播的波，,波形方程：,解：,（1）,设原点,已知：原点在计时起点向y负方向运动且位移为A/2,故原点振动方程：,波函数,（2）由原点振动曲线可知,由图,（3）时刻波形如右图,设原点,原点,题中
25、，,所以波函数为,（4）沿x正向传播的波，,波形方程：,例题2：,沿x正向传播的波，,处 点过平衡位置向y负方向运动，此时，,处 点正通过 处向y正方向运动，,（设），求波函数。,解：,由题意，,点过平衡位置向y负方向运动,点正通过 处向y正方向运动，,例题3：已知,（2）处振动方程及 曲线，表达式，t=1s时的位相。,（3）t=0.5s时刻的波形方程与曲线。,解：（1）,（2）处振动方程及 曲线，表达式，t=1s时的位相。,t=1s,位相,（3）t=0.5s时刻的波形方程与曲线。,例题4：画图,4,（1）点 曲线如右上图，,波沿x正向传播，画,时刻波形。,（2）右下图（t=0），画A、B、C
26、、D振动曲线。,解（1）：方法一,先建立波函数，再求波形方程，作图y-x曲线,A已知,4,t=3s时刻波形,方法二：,4,由x=0处y-t曲线得x=0处t=0时刻y-x曲线（波形曲线）,t=0时刻波形向右平移，得t=3时刻波形曲线。,（2）画A、B、C、D振动曲线。,A,B,t=0,C,D,例题5：,两相干波源同振幅，,本身较 超前 位相。求连线上 外侧的波的强度（设 波的强度为）,解：,例题6：,0.4m,0.3m,波源A、B 发相干波，在P点振幅均为0.2cm,B较A超前，波长 求P点合振幅。,解：,已知A、B振幅均为0.2cm,B较A超前，,例题7：,已知驻波方程，求行波振幅A、波速u、相邻波节间距。,解：,对照得：,例题8：,如图，o点振动传到P点，反射，求波腹、波节位置。,波疏,波密,解：,波从波疏媒质传到波密媒质再反射，反射波有半波损失，故界面上是波节。波节与波节间距为半个波长，波节与波腹间距为1/4波长。,o,如图：,
