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1、时间序列模型3图2.11中国人口序列(1949-2000)从人口序列图能够看出我国人口总水平除在I960与1961两年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。51年间平均每年增加人口1451.5万人，年平均增长率为17.5%o。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐步下降的。把51年分为两个时期，即改革开放往常时期(19491978)与改革开放以后时期(19791996),则前一个时期的人口年平均增长率为20%。，后一个时期的年平均增长率为13.4%。从人口序列的变化特征看,这是一个非平稳序列。见人口差分序列图。建国初期由于进入与平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口的年净增数从
2、1950年的1029万人，猛增到1957年的1825万人。由于粮食短缺，三年经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期(I960,1961),人口净增值不但没有增加，反而减少。随着经济形势的好转，从1962年开始人口年增加值迅速恢复到1500万的水平，随后呈连年递增态势。1970年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为2321万人。随着70年代初计划生育政策执行力度的加强，从1971年开始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本Pl落到建国初期水平。1981至1991年人口增加值大幅回升，要紧原因是受1962-1966年高出生率的影响(1963年为43.73%。)。这种回升的下一个周期将
3、在2005年前后出现，但强势会有所减弱。从数据看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。由于现在的人口基数大于以往年份，因此尽管年增人口仍在1千万人以上，但人口增长率却是建国以来最低的(1996年为10.5%。)。从的变化特征看，I960,1961年数据可看作是两个离群值，其它年份数据则表现为平稳特征。但也不是白噪声序列，而是一个含有自有关与(或者)移动平均成分的平稳序列。下面通过对人口序列M与人口差分序列Oy,的有关图，偏有关图分析判别其平稳性与识别模型形式。AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb0.9490.94949.5
4、340.0000.896 -0.04194.5720.0000.841 -0.038135.150.0000.787 -0.036171.360.0000.732 -0.033203.350.0000.677 -0.031231.320.0000.622 -0.034255.450.0000.567 -0.031275.960.0000.513 -0.025293.160.0000.460 -0.032307.290.0001234567890图2.13M的有关图，偏有关图AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProbII10.6090.609
5、20.0200.0001P20.247-0.19523.3940.000斗130.1300.11524.3520.000f-40,074-0.04124.6700.000J5-0.001-0.05124.6700.000j6-0.062-0.04324.8980.000y,d7-0.139-0.12026.0920.000q-J-8-0.1530.00227.5650.0019-0.185-0.13029.7730.000日10-0.219-0.06532.9460.000图214OM的有关图，偏有关图(虚线到中心线的距离是2(1/石T)=O.28)见图2.13与图2.14。人口序列，是非平稳
6、序列。人口差分序列。M是平稳序列。应该用建立模型。由于OV均值非零，结合图2.14拟建立带有漂移项的AR(I)模型。估计结果如下：DependentVariable:D(Y)Method:LeastSquaresDate:07/26/04Time:20:44Sample(adjusted):19512000Includedobservations:50afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterationsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.1428620.0164678.67
7、57360.0000AR(1)0.6171160.1139535.4155260.0000R-squared0.379267Meandependentvar0.143094AdjustedR-squared0.366335SD-dependentvar0056004SEofregression0044581Akaikeinfocriterion-3343828Sumsquaredresid0.095399Schwarzcriterion-3267348Loglikelihood8559571F-statistic2932792Durbin-Watsonstat1.757605Prob(F-St
8、atistic)0000002InvertedARRoots.62Dyl=0.1429+0.6171(DM.L0.1429)+(8.7)(5.4)R0.38,Q10)=5.2,Qa(k-p-q)=00,05(IQ-I-O-I)=15.5模型参数都通过了显著性，检验。注意：(1)根据Wold分解定理,EViews的输出格式表示的是,对序列(分-0.1429)建立AR(I)模型，而不是对Ov建立AR(I)模型。(2)整理输出结果：Dyl=0.1429(1-0.6171)+0.6171Dyt.+=0.0547+0.6171Dyt.i+漂移项a=O0547,特征根是1/0.62=1.61。输出结果中的
9、0.1429是。M的均值，不是模型漂移项。以AR(I)过程xr=+0+4为例，两侧求期望，得均值与漂移项A的关系是,或者 a=(-)E(xz)1-。对整理后的输出结果两侧求期望，就会反求出=0.0547/(1-0.6171)=0.1429(3)是否具有漂移项对求特征方程与特征根无影响。II10.1180.1180.74242-0.182-0.1992.53300.1113-0.0230.0282.56260.27840.0440.0082.67330.4455-0.024-0.0332.70640.60860.0080.0292.71060.7447-0.078-0.1013.08140.79
10、98-0.0310.0013.14070.8729-0.046-0.0763.27260.91610-0.172-0.1785.20610.816模型残差的有关图与偏有关图如下，AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb图2.15表2.5中模型(1)残差序列的有关图，偏有关图由于QIo)=5.22oo=4.9729+0.1508253+l.5503(-0.15179)-0.6491(-0.09728)=12.7942(亿人)，(2001年,f=53)也能够把输出结果写为，yl=4.9729+0.1508/+1.5503(y；.i-4.972
11、9-0.1508(t-l)-0.6491(/2-4.9729-0.1508(t-2)+vz(34.9)(35.4)(13.7)(-5.9)整理后得M=O.5293+0.01491+1.5503加-0.6491-2+力注意：EViews的输出格式表示的是对序列-4.9729-0.1508。估计AR(2)模型。根据上式预测，2001年中国人口预测数是ViewIProCSObjeCtSPrintjNameFreeZeobsYYF199912.5786012,60643200012.6743012.70656200112,7627012.80329”001=0.5293+0.014953+I.55O3
12、(12.6743)-0.6491x(12.5786)=12.8032(亿人)，(2001年，f=53)EViews预测的结果是12.8033o已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为0.00312.8033-12.7627=12.762712.9012.8512.8012.7512.702001Forecast:YFActual: YForecast sample: 2001 2001 included observations: 1Root Mean Squared Error0.040592Mean Absolute Error0.040592Mean Abs. Per
13、cent Error0.318051图2.I8点击forecast键只选取2001年动态或者静态的预测结果案例2日本人口时间序列模型(file:japopu)(如何建立缺项的AR模型)图1日本人口序列5）日本人口差分序列（2W）人口数字之因此起于1872年，是由于1872年日本才有了全国人口统计数字。在122年间（1872-1994）,日本人口从3480.6万人增至12503.4万人（3.6倍）。日本人口增加的特点是两头慢，中间快。同时在1944-1946年与1972年人口总量出现了猛烈波动。1944-1946年的波动是由于战败，1972年的波动是由于美国归还冲绳。由图1中的有关图能够判定日本
14、人口序列M是一个非平稳序列。由图2能够看出日本人口差分序列DM是一个平稳序列。图3是日本人口的二次差分序列DD6。它也是一个平稳序列。差分序列DN的极差是0.059,差分序列DD），的极差是0.087o可见DDM是一个过度差分序列。应该用Dy建立时间序列模型,日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族革命。圣德太子（公元574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。他四度向中国派遣使团与留学生。在它的影响下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子发动政变,成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。一次是明治维
15、新。明治维新始于1868年。从而开始了全面向西方学习的历史。口号是“富国强兵”（福泽谕吉）。要紧措施是（1）加强中央集权，1871年实施“废藩治县”，（2）1872年采取美国三权分立的政治体制，（3）1872年统一货币，实行1日元=1美元的兑换率，（3）1872年开始修铁路、建立现代统计制度，使用阳历等，（4）1873年迁都东京。AutocorrelationPartial CorrelationAutocorrelationPartial CorrelationAutocorrelationPartial Correlation图3日本人口二次差分序列D。2有关图、偏有关图由Dv的有关图、偏
16、有关图(见图2)初步判定应建立均值非零的AR(3)或者AR(4)模型。估计结果如下：先估计AR(4)模型，化简至AR(3)模型DependentVariable:DYMethod:LeastSquaresDate:04/30/01Time:02:22Sample(adjusted):18761994Includedobservations:119afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter3iterationsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.CAR(1)AR(3)0.0075690.262
17、6730.2766810.0010207.4189260.0877722.9926900.0873613.1670880.00000.00340.0020R-squared0.192971Meandependentvar0.007539AdjustedR-squared0.179057S.D.dependentvar0.005658S.E.ofregression0.005126Akaikeinfocriterion-10.52192Sumsquaredresid0.003048Schwarzcriterion-10.45186Loglikelihood460.2005F-statistic1
18、3,86854Durbin-Watsonstat2.171019Prob(F-Statistic)0.000004InvertedARRoots.75-.24+.56i-.24-.56i图4EVieWS估计结果AutocorrelationPartialCorrelation图5模型（2.79）残差的有关图与偏有关图obsActual|FittedIResidualResidualPlot19890.004600.00651-0.00191II19900.004060.00630-0.00224II19910.004320.00595-0.00163II19920.004090.00589-0
19、.00180I-I19930.003120.00568-0.00256lI19940.002700.00550-0.00280I对应的模型表达式是Dyl=0.0076+0.2627(Dyl.i-0.0076)+0.2767(Dyt.3-0.0076)+打(7.4)(3.0)(3.2)R2=0.19,Q=7.0,Q(kpy)=00,05(15-2-0)=22.4注意：EViews的输出格式表示的是对序列(分,-0.0076)估计AR(3)模型。整理：Dyl=0.0076(1-0.2627-0.2767)+0.2627Dyl.i+0.2767Dyh3+必Dyl=0.0035+0.2627Dyl.+
20、0.2767Dyl.3+vt通过f值、OW值、产值与。值，说明(2.79)式是一个满意的日本人口模型。图5显示模型(2.79)的残差中已不含有自回归与移动平均成分。模型特征方程的3个根是Zi=1/0.75=1.33Z2=1/(-0.24-0.56/)=0.9375-2.1875/Z3=1/(-0.24+0.56i)=0.9375+2.1875/下面利用模型(2.79)预测M995,并计算预测误差。已知力1994=0.0027,加992=0.00409,则预测结果是，Dy1995=0.0035+0.2627Dy994+0.2767Dyi992=0.0035+0.26270.0027+0.2767
21、0.0041=0.0053y1995=y1994+Dy1995=1.25034+0.0053=1.25564己知1995年口本人口实际数是1.25569亿人。预测误差为1.25564-1.255691.25569=0.00004案例3中国粮食产量序列（M）的MA模型（fHe:5arma07）（如何建立MA模型）粮食产量()定义见中国统计年鉴2005。匕是一个非平稳序列。用它的对数差分序列也y建立时间序列模型。也，叨的自有关函数见下图。血，是一个ARMA过程或者MA过程。ARMA()过程Date:05/25/06Time:07:48Sample:19492002Includedobservati
22、ons:53AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb:10.2650.2653.94870.0472-0.122-0.2074.79360.09130.0120.1194.80250.1874-0.114-0.2055.58000.2335-0.1070.0196.27710.2806-0.033-0.0726.34320.3867-0.173-0.1718.23800.31280.0410.1648.34470.40190.031-0.1598.41030.49310-0.290-0.24614.1060.168首先估计ARMA(1,1
23、)模型。结果如下:JLnyt=0.025-0.320(dLnyt.-0.025)+打+0.784Vm(2.3)(-1.7)(6.1)R2=0.19,Q(IS)=11.6,Q(kpq)=,O5(15-1-1)=22.4注意：假如估计结果中有均值项，只在自问归项中减之，不必在移动平均项中减之。DependentVariable:DLOG(Y)Method:LeastSquaresDate:09/1W6Time:11:37Sample(adjusted):19512002Includedobservations:52afteradjustmentsConvergenceachievedafter12
24、iterationsBackcast:1950VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.0242760.0106732.2744380.0274AR(1)-0.3202340.192577-1.6628910.1027MA(1)0.7845350.1292816.0684690.0000R-squared0.189368Meandependentvar0.023866AdjustedR-squared0.156281S.D.dependentvar0.062106S.E.ofregression0.057047Akaikeinfocriter
25、ion-2.833914Sumsquaredresid0.159465Schwarzcriterion-2.721342Loglikelihood76.68176F-statistic5.723341Durbin-Watsonstat1.994829Prob(F-Statistic)0.005837InvertedARRoots-.32InvertedMARoots-.78自回归项没有显著性，去掉AR(I)项，进一步建立MA(I)模型。结果如下:dLnyt=0.027+vt+0.5963Vhl(2.1)(5.6)R2=0.13,Q(20)=28.2,Q(kpq)=,O5(20-0-1-1)=2
26、8.9DependentVariable:DLOG(Y)Method:LeastSquaresDate:09/11/06Time:11:40Sample(adjusted):19502004Includedobservations:55afteradjustmentsConvergenceachievedafter9iterationsBackcast:1949VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.0270600.0129902.0831510.0421MA(1)0.5963470.1071415.5660160.0000R-square
27、d0.134062Meandependentvar0.025866AdjustedR-squared0.117723S.D.dependentvar0.064473SE.ofregression0.060559Akaikeinfocriterion-2.734715Sumsquaredresid0.194371Schwarzcriterion-2.661721Loglikelihood77.20467F-statistic8.205296Durbin-Watsonstat2.296366Prob(F-Statistic)0.005974InvertedMARoots-.60上述模型的各类检验与
28、诊断都能通过，能够作为备选模型。假如进一步分析，还能够把模型做得更好。观察残差序列发现在7年与10年上仍有较大的自有关。这预示着序列中还存在710年的变化周期。Date:09/1W6Time:11:41Sample:19502004Includedobservations:55Q-statisticprobabilitiesadjustedfor1ARMAterm(s)AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProbI匚II匚I1-0.194-0.1942.1796III匚I2-0.094-0.1362.69960.100IIII30.1210.
29、0783.57640.167IEIII4-0.098-0.0734.16410.244I匚II匚I5-0.168-0.1945.93750.204III60.1700.0777.79200.168匚I匚I7-0.266-0.26312.4060.054I0III80.0640.01112.6750.080IIZl190.1830.10814.9470.060匚II匚I10-0.268-0.23219.9590.018下图给出的是北.力作3年移动平均后退去趋势的序列，显然该序列存在着710年的变化周期。把叨一7与巧/0作为变量加入模型。得结果如下：dLnyt=0.025+vt+0.3187V.-
30、0.162317-0.6895Vr.o(4.8)(4.2)(-3.0)(-14.1)R2=0.37,(15)=17.0,Q(kpq)=.05(1503l)=19.7AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProbIIIII10.0270.0270.0438I匚IEI2-0.170-0.1711.7605I0II0I30.1050.1192.4245I匚II匚I4-0.173-0.2214.25850.039II5-0.240-0.1947.87960.019IIII60.058-0.0068.09280.044IIIICI7-0.049-0.10
31、58.25040.083IIII8-0.024-0.0048.28890.141IZliII90.2030.10111.0870.086I1III100.1110.08211.9500.102CIIdI11-0.151-0.13113.5820.093I3IIJI120.1100.11514.4680.107IIIII13-0.012-0.03914.4780.152I匚IIII14-0.183-0.04117.0270.107IIIdI15-0.014-0.04817.0430.1482.7同归与ARMA组合模型(Combinedregression-timeseriesmodel)o已经学习回归模型与时间序列模型，假如把这两种分析方法结合在一起，有的时候会得到比其中任何一种方法都好的预测结果。比如有如下回归模型y=o+xl+Ut(15)其中即是解释变量，M是被解释变量，出是随机误差项。上述模型的估计式是%=6o+自斯+力令=0,用上式可预测M的值。均是一个平稳的、非自有关的残差序列。当均存在自有关时，时间序列分析的一个有效应用是对残差序列4建立ARMA模型。然后将上式中的残差项用ARMA模型替换。在利用上述模型预测M时，能够利用ARMA模型先预测出口的值。有的时候，这会使M的预测值更准确。这种回归与时间序列相结合的模型形式是M=6o+m+G(L)6(L)
