大学物理例题.pptx

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1、电偶极矩（电矩）,例 1 计算电偶极子（two point charges)的电场强度,电偶极子的轴,（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度,（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度,已知：q、a、1、2。,解题步骤：,1.选电荷元,dq=d l,dE x=dE cos,dE y=dE sin,例2 求一均匀带电直线在 0点的电场。,5.选择积分变量,选作为积分变量,=-a ctg,l=atg a,无限长均匀带电直线的场强：,，,求：如图所示 点的电场强度,解：在坐标 x 处取一个电荷元dq,该点电荷在 p 点的场强方向如图所示大小为,各电荷元在 p 点的场强方向一致 场强大小直接相加,例

2、3 长为 均匀带电直线,电荷线密度为,(方向向右),E是矢量，需分析dE方向。,讨论：,、若x=0,则E=0,、若xR,则,3.求极值：,、用于求其它具有球对称结构的带电体的电场分布,解：把圆盘分成很多半径不同的细圆环带，则可利用圆环电场的结论。,任取半径为r,宽为dr的环带，其面积,则环带带电量为：,该环带在p点产生的电场为,方向沿x轴。,由于各环带产生的dE方向均相同，故,当x R,则圆盘可视为无限大带电平面，其表面附近产生的电场为,与距离无关，为均匀场。,E,E,解题步骤：1、根据电荷分布对称性，分析电场强度对称性；2、选取合适的闭合曲面（高斯面）；3、利用高斯定理求电场强度E；4、分析

3、电场强度分布特点。,Long uniform line of charge,线密度,对称性的分析,取合适的高斯面（同轴圆柱面）,计算电通量,利用高斯定理解出,（俯视）,计算面内电量,.均匀带电球面的电场Spherical conductor),（E为常量）,左：,右：,=0,依高斯定理：,（面内无电荷）,高斯面,均匀带电球体电场强度分布曲线,4.无限大均匀带电平面的电场 Infinite plane of charge,讨 论,利用,若已知在积分路径上 的函数表达式，则,（利用了点电荷电势，这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）,试求：将

4、电荷,法一:积分法,(标量),法二:定义法,已知圆环轴线上场强,现将单位正电荷从p点沿x轴移至无穷远,(方向沿x轴),讨论:,1)x=0，环心处,结论：E=0，U不一定为零；U=0，E不一定为零。,2),点电荷电势,圆环轴线上x处,例3 求一均匀带电球面的电势。已知：,求：电势分布,解：定义法,rR,E=0,rR,先求电场分布，由高斯定理知,电势分布曲线。,场强分布曲线,结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,直角坐标系中,为求电场强度 提供了一种新的途径,利用电场强度叠加原理,利用高斯定理,利用电势与电场强度的关系,物理意义,求：轴线

5、上任一点的场强。,例1、已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：,求：任一点的场强。,e,解：,例2 已知一点电荷的电势为：,真空中静电场小结1.两个物理量,2.两个基本规律,3.两种计算思路,1）积分法,2）高斯定理,电势定义,3）利用场强与电势关系,先作电势的标量叠加，,再对电势的某一方向微分，可求出场强在该方向分量。,4.注重典型场 注重叠加原理 场强的叠加 电势的叠加,点电荷均匀带电球面无限长的带电线(柱)无限大的带电面(板),Application of Biot-Savart law 用Biot-Savart law求解磁场,难点：三维，矢量。判断方向，选取适当坐标系，把矢量投影，算

6、分量，再叠加,考虑一又细又直的导线，恒定电流为I,沿z轴放置，如图所示。确定其在P的磁场大小和方向。,Example1 Magnetic Field Surrounding a Thin,Straight Current,例1 载流长直导线的磁场.,解,方向均沿 x 轴的负方向,Solution:,的方向沿 x 轴的负方向.,无限长载流长直导线的磁场.,电流与磁感强度成右螺旋关系right-hand rule,半无限长载流长直导线的磁场,无限长载流长直导线的磁场,I,真空中,半径为R 的载流导线,通有电流I,称圆电流.求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.,解 根据对称性分析,例2 圆形

7、载流导线的磁场 Magnetic Field on the Axis of a Circular Current Loop,p,*,3）,4）,2）的方向不变(和 成右螺旋关系）,1）若线圈有 匝,磁偶极矩Magnetic dipole Moment,说明：当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电流很远时，可把圆电流叫做磁偶极子.,圆电流磁感强度公式也可写成：,+,x,例3 载流直螺线管的磁场,如图所示，有一长为l,半径为R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I.设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.,解 由圆形电流磁场公式,Magnetic Field of a Sol

8、enoid,If a long,straight wire is bent into a coil of several closely spaced loops,the resulting device is a solenoid,（1）P点位于管内轴线中点,(2)无限长的螺线管,（3）半无限长螺线管,或由 代入,EXERCISE 19.9 Suppose you have a 32.0-m length of copper wire.If the wire is wrapped into a solenoid 0.240 m long and having a radius of 0.04

9、0 0 m,how strong is the resulting magnetic field in its center when the current is 12.0 A?假设你有一段32米长的铜导线，被卷成一个长为0.240米、半径为0.0400米的螺线管，当电流为12.0安时其中心的磁场有多强？ANSWER 8.00*10-3T,Typical magnetic fields（几种典型的磁场）：,A long straight current,Loop current 圆心处,无限长直载流螺线管Solenoid,where n is the number of turns per

10、unit length.单位长度匝数,9.1.4 运动电荷的磁场(电流产生磁场的微观本质)Magnetic field of moving charges,标量式,n:数密度,dv=sdl:体积,nsdl=dN,运动电荷产生的电场：,一个运动电荷产生的磁场,二 安培环路定理的应用举例 Application of Amperes Law,例1 求长直密绕螺线管Solenoid内磁场,解 1)对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,外部磁感强度趋于零，即.,无限长载流螺线管内部磁场处处相等,外部磁场为零.,2)选回路 Amperian loop.,磁场 的方向与电流 成右螺旋.,例2 求载流螺绕

11、环Toriod内的磁场,The torus could be a solid material or it could be air,with a stiff wire wrapped into the shape shown in the Figure to form an empty toroid.Because the toroid has a high degree of symmetry,we categorize this example as an Ampres law problem.,当 时，螺绕环内可视为均匀场.,例2 求载流螺绕环Toroid内的磁场,2）选回路.,解 1

12、）对称性分析；环内 线为同心圆，环外 为零.,令,例 3、无限长载流圆柱体的磁场，总电流强度为 I，电流在截面上均匀分布，求导体内外的磁场。,A long,straight wire of radius R carries a steady current I that is uniformly distributed through the cross section of the wire.Calculate the magnetic field a distance r from the center of the wire in the regions rR and r R.,I,I,

13、d,S,j,B,0,R,r,解 1)当,I,0,R,B,r,2)当,B,r,R,0,例4 无限长载流圆柱面的磁场,解,例1 有一半圆形导线处于一匀强磁场之中，试求它所受的安培力。,解：,Upwards along the y axis.,解 取一段电流元,结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同.,例 2 求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 和.,例 3 如图一通有电流 的闭合回路放在磁感应强度为 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 垂直.回路由直导线 AB 和半径为 的圆弧导线 BCA 组成，电流为顺时针方向,求磁场作用于闭

14、合导线的力.Force on a closed current in a uniform magnetic field.,由于,故,解：利用上题结论，圆弧受力为：,the net magnetic force acting on any closed current loop in a uniform magnetic field is zero.,例4 如图 长直导线过圆电流的中心且垂直圆电流平面 电流强度均为I求：相互作用力(interaction of the two currents),解：在电流上任取电流元(在哪个电流上取？),例5.无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线CD的作用力

15、。It is not a uniform field,（向上）,upwards,方向相反，但不在一条线上,如图 均匀磁场B中有一矩形载流线圈MNOP，受力和力矩分析如下：,线圈有N匝时,例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝，通以电流2A，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁场中.问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？,当平面线圈法线与磁场垂直放置时，磁力矩最大。为：,结论:均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电线圈所受的力和力矩为(In a uniform magnetic field the force and torque on any rigid close

16、d loop carrying current I are):,磁矩,M is the magnetic torque and m is the magnetic dipole moment.,例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 和，所带电荷为 若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？,解,（球形电容器电容）,（1）,（2）,（孤立导体球贮存的能量）,例2 U 为稳压电源，为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持连接的情况下,试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所做的功。,解：因保持与电源连接,两极间电势差保持不变（the potential

17、difference between two plates keeps the same while connecting to the battery),而电容值为,电容器储存的电场能量由,在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q 减至 Q,电源作功：,在拉开极板过程中,外力做功为W2,根据功能原理:W1+W2=W,小结：,1、导体静电平衡条件。求电荷重新分布下的场强、电势分布。,2、导体组电容定义及求法。,设带电,3、有介质时高斯定理,（面内自由电荷）,D,定义法,4、电场能量,电场能量密度,例1 有两个半径分别为 和 的“无限长”同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 的磁介质.当

18、两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求（1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度.,解 对称性分析,同理可求,解:,在无限长直载流导线旁有相同大小的四个,矩形线圈，分别作如图所示的运动。,判断感应电流的方向。,思 考,例1 已知:,求:,均匀磁场 平动,解：,特例,闭合线圈平动,均匀磁场 平动,闭合线圈平动,直导线平动,均匀磁场 转动,Motional emf Induced in a Rotating Bar,解：,取微元,方向,例1：局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，方向如图。磁场的变化率,求：圆柱内、外的 分布。,用楞次定律判断E感方

19、向：逆时针方向,由法拉第电磁感应定律：,解：,E感沿切线方向，对称性分析知：半径r相同处，E感大小相同。,在圆柱体外，由于B=0,由图知，这个回路包括柱体内部的面积，而柱体内,方向：逆时针方向,A long solenoid of radius R has n turns of wire per unit length and carries a time varying current,where Imax is the maximum current and is the angular frequency of the alternating current source Determi

20、ne the magnitude of the induced electric field outside the solenoid at a distance r.,Solve it by yourself:,2023/4/23,3）自感的计算方法determination of the self inductance,Inductance of a Solenoid,2023/4/23,（一般情况可用下式测量自感）,4）自感的应用 稳流,LC 谐振电路,滤波电路,感应圈等.,单位长度的自感为：,例2 求一无限长同轴传输线单位长度的自感.,已知：,例1 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长

21、度均为l,半径分别为r1和r2（r1r2）,匝数分别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感.,设半径为 的线圈中通有电流,则,代入 计算得,则,则穿过半径为 的线圈的磁通匝数为,称K 为耦合系数coupling coefficient,耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数小于一。,在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈2，称为无漏磁(no leakage)。,In general：,同理：,例 2.如图所示,在磁导率为的均匀无限大磁介质中,一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈共N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数.,由互感系数定

22、义可得互感为:,互感系数仅取决于两回路的形状,相对位置,磁介质的磁导率,若导线如左图放置,根据对称性可知,得,计算自感系数可归纳为三种方法:,1.静态法:,2.动态法:,3.能量法:,例 如图.求同轴传输线之磁能及自感系数The Coaxial Cable,可得同轴电缆的自感系数为,例:半径为R,相距l(lR)的圆形空气平板电容器,两端加上交变电压U=U0sint,求电容器极板间的(Displacement Current in a Capacitor):,(1)位移电流;,(2)位移电流密度Jd的大小;,(3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆板的中心距离.,解(1)由于lR,故平板间可

23、作匀强电场处理,根据位移电流的定义,另解,平性板电容器的电容,代入上式,可得同样结果.,(2)由位移电流密度的定义,或者,(3)因为电容器内I=0(no conduction current between two plates of the capacitor),且磁场分布应具有轴对称性,由全电流定律得,解 由明纹条件,Measuring the Wavelength of a Light Source,例2：用白光做光源观察双缝干涉。设缝间距为d，试求能观察到清晰可见光谱的级次。（白光波长范围390750nm),解：明纹条件,x0，中央白色明纹；两侧为彩色条纹再远处，各色光重叠，一片白色，

24、看不到条纹,最先发生重叠的是某一级红光和高一级次的紫光：,（即正负各一级）,例1：两个同相的相干点光源、，发出波长为 的相干光，是它们连线中垂线上的一点，如图，现在 与 之间垂直插入厚度为、折射率为 的玻璃片。,（1）求两光源发出的光在 点的相差；,（2）若已知，点恰为第四级明条纹中心，求玻璃片的厚度。,解：,设、到点的几何路程为，则,（1）两光源到 点的光程差,（2）由题意，则,例2：双缝干涉中，入射光波长为，双缝至屏的距离为D，在一个缝后放一厚为b的透明薄膜，此时中央明纹处仍为一明纹，求该明纹的干涉级和中央明纹移动的距离.,O,解：,r,例 2、已知 如图，玻璃的折射率 n2=1.5，氧化

25、膜 折射率 n1=2.21，膜的厚度为 t。用=632.8nm的激光 垂直照射，从 A到 B出现 11条暗纹，且 A处恰为一 暗纹。求膜的厚度 t。,玻璃,氧化膜,解,令 k=10，代入数据得,k=0，为第一条,最多能看到3级条纹。,解 由光栅公式,例1 用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线,问：平行光线垂直入射时；最多能观察到几级条纹？,例 2、已知 波长=600nm垂直入射到光栅上，测得第二级 明纹衍射角=300，第三级缺级。求(1)光栅常数 d；(2)透光 缝的最小宽度 a；(3)可能出现的亮纹级数。,解 1、由,2、由,K是小于 3的整数,3、,可能看到的亮纹为,共五条。,例1.人

26、眼的瞳孔直径约为3mm，若用视觉感受最灵敏的550nm波长的光，问：1)人眼的最小分辨角是多大？2)在教室的黑板上，画一等号，其两横线相距2mm，坐在离黑板10m处的同学能否分辨这两条横线？,解：1)最小分辨角为,2)设两横线间距离为x，人与黑板相距L，则两横线对人眼的张角为,因为0，所以距黑板10m处的同学看不清楚。,解(1),绿色,(2)透射光的光程差,红光,紫光,例 用氦氖激光器发出的波长为633nm的单色光做牛顿环实验，测得第个 k 暗环的半径为5.63mm,第 k+5 暗环的半径为7.96mm，求平凸透镜plane-convex lens的曲率半径radius of curvatur

27、e R.,解,例 2、已知 如图，玻璃的折射率 n2=1.5，氧化膜 折射率 n1=2.21，膜的厚度为 t。用=632.8nm的激光 垂直照射，从 A到 B出现 11条暗纹，且 A处恰为一 暗纹。求膜的厚度 t。,玻璃,氧化膜,解,令 k=10，代入数据得,k=0，为第一条,例.在迈克耳逊干涉仪的两臂中分别引入 10 厘米长的玻璃管 A、B，其中一个抽成真空vaccum，另一个在充以一个大气压空气air的过程中观察到107.2 条条纹移动，所用波长为546nm。求空气的折射率(index of air)？,解：设空气的折射率为 n,相邻条纹或说条纹移动一条时，对应光程差的变化为一个波长，当观

28、察到107.2 条移过时，光程差的改变量满足：,B管中原光程为,充以空气后光程变为,光程改变为,迈克耳逊干涉仪的两臂中便于插放待测样品，由条纹的变化测量有关参数。精度高(with very high precision)。,例1 有两个偏振片,一个用作起偏器,一个用作检偏器.当它们偏振化方向间的夹角为 时,一束单色自然光穿过它们,出射光强为;当它们偏振化方向间的夹角为 时,另一束单色自然光穿过它们,出射光强为,且.求两束单色自然光的强度之比.,解 设两束单色自然光的强度分别为 和.,经过起偏器后光强分别为 和.,经过检偏器后,若 在 间变化，如何变化？,例 1、一束自然光以 600角入射到玻璃

29、表面上，若反射光是 完全偏振光，求透射光的折射角和玻璃的折射率。,解 由布儒斯特定律,折射角,玻璃的折射率,（2）取,（1）由维恩位移定律,（3）由斯特藩玻尔兹曼定律,由维恩位移定律,对宇宙中其他发光星体的表面温度也可用这种方法进行推测,例 1、已知 波长=450nm的单色光射到钠表面，求(1)这种 光子的能量；(2)逸出钠表面的光电子的动能。,解,光电子的动能为,例1 在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？,解,此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.,解 子弹的动量,例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 的速率.若其动量的不确定范围为动量的(这在宏观范围是十分精确的)

30、,则该子弹位置的不确定量范围为多大?,动量的不确定范围,位置的不确定量范围,例 2、由玻尔理论得到氢原子中电子的运动速率为 m/s,若其不确定量为1.0%，求电子位置的变化范围。,解 由,此值已超出原子的线度（10-10m），所以认为原子中的电子有确定的位置同时又有确定的速率，是无意义的。显然，由于微观粒子的波动性，谈核外电子的轨道已无意义。,例1.已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为,则粒子在 x=5 a/6 处出现的几率密度为:1/2a,例2.一粒子在一维无限深势阱0 xa中运动，粒子的波函数为,（1）求归一化常数A,(2)如粒子处于基态，从阱宽的一端到离此阱二分之一的距离内粒子出现的概率是多少？,解：,例 1、将氢原子从 n=1的基态激发到 n=4的激发态，求(1)氢原子必需吸收的能量；(2)这原子回到基态时可能发 射哪些谱线？,解,如右图所示，从左至右，可能发射六条谱线,例 2、基态氢原子被外来单色光激发后发生的光仅有三条谱线,求此外来光的频率.,解 首先应确定氢原子被外来光激发后可能跃迁到的最高能级,由仅有三条谱线知:,