《NapoleonPoints的推广与例证法的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《NapoleonPoints的推广与例证法的应用.docx（10页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、5IO152025303540NapoleonPoints的推广与例证法的应用张慧铭B,彭翕成2（1.华中师范大学经济管理学院，武汉430079;2.华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心，武汉430079;3.华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079）摘要：本文根据拿破仑点的性质，对拿破仑点进行了推广以及证明，证明的核心是巧妙地利用例证法证明几何定理。例证法的理论基础来源于代数方法。例证法的思想是依靠有限归纳的方法，把有限推广到无限，这表现了数学的精辟之处。例证法的思想蕴含了数学机械化的思想，我们可以按部就班的运用特定的程序去解决某些数学问题。关键词：几何学；拿破仑点；例证法；平面
2、几何；数学机械化中图分类号：0123.1ExtensionofNapoleonPointsandApplicationsofInstancesMathodZhangHuiming1,3,PengXicheng2(1.SchoolofEconomics,CentralChinaNormalUniversity,Wuhan430079;2. NationalEngineeringResearchCenterforE-learning,Wuhan430079;3. SchoolofMathematicsandStatistics5CentralChinaNormalUniversity5Wuhan4
3、30079)Abstract:Inthispaper,weputforwardaextensionofnapoleonpointsandproofit.ThemainideatoprovetheextensionofNapoleonPointsmasterlyisinstances.Foundationtheoryofinstancesmethodoriginatesfromalgebraicmethods.Thethoughtofinstancesmethoddependonlimitedinductivemethod,whichletlimitedconditionsgeneralizet
4、otheinfinite.Itshowsthattheeleganceofmathematics.Thethoughtofinstancesmethodisthemathematicsmechanization,wecansolvesomemathematicalproblemsstep-by-stepwithprograms.Keywords:planegeometry;napoleonpoints;instancesmethod;athematicsmechanization0引言拿破仑波拿巴（NaPol6onBonaparte,1769-1821）是法国近代资产阶级军事家、政治家、数学家
5、。一般人知道他以军事家的身份，但是很少有人注意到他的数学家身份。拿破仑年轻时受到著名数学家拉普拉斯，拉格朗日的影响，因此对数学特别感兴趣，尤其是平面几何。拿破仑常年忙着打仗，但是常常与数学家讨论数学问题，例如“只用圆规，怎么把圆周四等分”。为了纪念他对平面几何的贡献，有用他名字命名的拿破仑三角形，拿破仑点等。在欧式几何中，发现几何定理通常是人们通过一些例子总结出来的，然后才去证明猜想是否正确。想要否定猜想，只要找出一个反例就足够，想要证明猜想，一般思维想到的方法是不会仅仅依靠有限的例子来证明。洪加威打破了人们的传统观念，在1986年提出了“例证法”证明几何定理。这种方法在计算机上得到了实现。本
6、文通过一些特例猜想出Nap。IeOnPointS的推广，用塞瓦定理构造方程，然后用例证法证明猜想是正确的。本文还另外列举了几个平面几何题，用例证法给与了证明。作者简介：张慧铭（1990-）,男，数学经济学实验班，主要研究方向：概率统计，数学模型，平面几何等通信联系人：彭翕成（1982-）,男，助理工程师，主要研究方向：数学教育.E-mail:455055606570758085901NapoleonPoints下面介绍两类拿破仑点作为引理为下面的推广做铺垫。第一拿破仑点如图1,分别以的边43、BC、AC为等边三角形边长，向外作外接等边三角形BCEmQACEal设这三个三角形的中心令型为Nab、
7、Nbc，Nac,那么CNAB，ANBc，BNAC共同于N。第二拿破仑点叫如图2,类似的作外接正三角形，则CNlB,AN,BNac共点于N图3特例四Fig3special example 4图1第一拿破仑点Fig.lfirst napoleon point图2第二拿破仑点Fig.2second napoleon point2NapoleonPoints的推广及其证明2.1 通过一些特例猜想NapoleonPoints的推广分析拿破仑点的构造：拿破仑点位于的各条边的外（内）接三角形的中心与各边相对的顶点的连线上，如果把外接三角形的中心改为外（内）接三角形内其它的点，类似的情况会不会有三线共点的呢？
8、图4拿破仑点的推广Fig.4extensionofNapoleonPoints猜想一般性的推广：如图4,分别作8CA,ZkCAB,ZkABC的3C,C4,A5边上的高4O,3E,C0在直线OA,EB,FC分取丽=k方HfEH=kEBifFT=kFCi(kR)o(当&=7=-uJB=DB-DJ=ky3a+h,k-J3a+h,110k,y2a_ aj3k(a -w) + 71k3a + 1 k3a + h同理有ALy3k(b-b) +h2LC -小k(b+M) + h2 CJ_ a3k(a + tz) + A1 _ 邪k(a + ) + hJB ay3k(a - d) 1 石女(一) +4吧=*c
9、 + Ac) + h3代入得：KAy3k(h - c) + %0ALCJBK_y3k(b+?)+h2GZ(C-c)+h3币k(a+)+4LCJBKAy3k(b-Ab)+h2jlk(b+c)+h36人(-Az)+43k(a+a)+hiy3k(b+Z?)+A2y3k(c-c)+3J=3k(a-tz)+hjl6k(b-Z?)+h26&(c+c)+%化简时显然可以先把两边的44刈消去，把左边的式子移到左边，得到一个多项式方程115f(k)=pk3+qk2-rk=O(p,q,是由式决定，它们是否为0,目前还不确定)。要想证明NaPoIeOnPointS的推广命题，就要证明/)=0。多项式的根中有一个这样
10、的性质叫设f(Q=gK和g(Q=力K0如果有n+1个不同的数匕,/使得r=0i=0f(kj=g(k),i=l,则q=%i=l,.,，即/(Q=g(设f(k)=pk3+qk?+rk=0,(p,q,rwR),如果要证明/(Z)=O,我们只需要找到1204个不同的根人,融,收，24。特例一:首先考虑最简单的情况。K=O时，G,J分别与O,E,尸重合,而O,E,F分别是AABC各边的中点，而三角形的中线交于一点是熟知的。特例二：公=-！时，三条线的交点为第一拿破仑点。3125130135140145150155160165特例三：&3=一时，三条线的交点为第二拿破仑点。3图5特例四Fig.5speci
11、al example 4特例四：如图3,在的三边上向外作正三角形Bc4,CA8,ABe.连接AA39,CC,那么这3条线共点于Po（笔者曾经在阅读蒋声著的从单位根谈起中的一道平面几何题的附图看见的，原题不是证明这个结论。）证明：如图5设8CA的外接圆是。M,ZkCA的外接圆是ON2,设N与。N2相交于P。NCEA=I80-NB=120而NCRr=NCBA=60。故NCPA+ZCPA,=180,即A,P,A共线。同理B,P,Bf共线。下证4,尸,B,C共圆。YZAPB=360-ZCPA-ZCPB=120。而Ne=60,故ZAPB+ZC=180,即A,P,8,C共圆，设它的圆心为N,。又因为N与。
12、N2相交于尸，所以PWoNlCN2C0N3,即三圆共点于P由ZAPC,=ZABC,=60,NCPA=NCR4=60得到ZAPC=NC4,因为A,P,A共线，那么CP,C共线，即直线4A,B9,CV共点于P。解平面几何题时，经常遇到一些动态的问题，题目的条件在动，而结论却是不变的。当我们暂时只能举出一些特例使得结论成立，乂想不到技巧性的证明，则考虑例证法证明几何命题的方法（简称例证法）。方法总结如下：例证法证明几何命题的方法：对于一些动态的几何问题，能把几何结论转化为证明一个n次多项式方程Jw=EaN=Ui=0为了证明=o,我们只需要找到+1个不同的。自,，满足上述方程即可。那么，这个多项式恒为
13、0,严格证明见4,不管上取什么值。则几何问题证明完毕。这种方法就是有限归纳法的体现。2.3 面积法证明NapoleonPoints的推广下面用面积法给出另一种证法。使用塞瓦定理时，如果能够巧妙的找到比例任，,如简洁的表达式，那么我LCJBKA们就可以直接计算出N8笆=1用例证法证明就显得繁琐了。由三个外接正三角形LCJBKA,的相似关系，以及线段的比例关系有：ZGBC=ZGCB=ZHCA=ZHAC=ZIAB=ZIBA=ACSin(NBeA+，) ABsin(ZABC9)rj-CGACsin(ZBCA+19)由面积关系有=2包=qJBSABAG1BGBsin(ZABC+9)于是有四文.如.ILC
14、JB KAI=ITm+8KBCsin(ZAC+0),B(-b,0),CS,0)S0),D(x,0),Ib：cc-by-ab=O,Ic:ax+by-ab=Q利用平面解析几何中点到直线距离公式，得:(DE+DF)2=(弃驾+管为=*+2d)+(f)a2+b2Ja2+b2a2+b2到此，不继续往下计算，我们显然可以看出(OE+D/)2是一个定值。当碰到的式子很复杂，很难化简(例如式)，我们无法看出它是一个定值。暂时把(DE+。/A的值看作是一个2次多项式。下面我们找3个特殊情况使这个2次多项式为定值。特例1、2：取。点在8或C上，显然定值为等腰三角形高的平方。特例3：取。点。上,利用三角形的中线的性
15、质，定值也等于等腰三角形高的平方。综上所述，Z)+O尸为定值。图9例3Fig.9example 3例3：在等腰直角三角形ABC中，O,E分别是线段48.8C上的点，并且满足AD=BEoF为平面上的点位于线段DE的右上方，并且满足仆DEF为等腰直角三角形，FE=FD,证明；A,/7,C三点共线。证明:这道题的证质方金，很多种，下面只用例证法来解决这个问题。分析：举一些特例，如：O为线段AB的中点；。与A或8重合，由这些特例可知尸J2为线段AC的中点，于是可以猜测恒为线段AC的中点，那么就有BR=X-AB。如果证2明了3尸=也AB,就有线段BF与三角形ABC在BC边上的高BF,重合.那么F就在线2
16、段AC上。下面我们构造方程来验证8/=也AB。2例证法1(需要用5个例子)设A。=BE=x,ABa,DB=a-x,k=BF=-a,在。尸8和77B中2DE=y(a-x)2-a2fDF=-y(a-x)2+a2由余弦定理得：f+ k2-(a-x)22k,1(a-x)+cosNOF8=J()2+。2402452502552602652k-J(a-x)2+a2cosZBFE=J(a-x)2+a2f+k2-x222接下来用“偷懒”的方法构造方程，然后使用例证法证明。由(cosZDFB)2+(SinNO/?=1和SinNoEB=COSZBFE,于是通过2+2,式子移项同左边可以得到一个多项式方程+Zz+b
17、2+加+e=o,(,c,d,ewR)o不必逝a2化简方程，举5个例子=0,(l-孝就足够了。当冗=0()时，ADEF与AABFCBF)重合，显然有3/二当X=!。时，四边形OEBE为正方形，就是就有BF=也a223NBDE=arctan：=22.5,于是ZBED=67.522由。，尸，E,3四点共圆,就有Z.DFB=/DFE=67.5,/BDF=ZBDE+ZEDF=22.5+45=67.5=ZBFD,故BDF为等腰三角形，即BF=BD=与a0当X=弓。时由对称性，与X=(I-图形相同，同理可得。这5个例子完成了例证法证明例2。例证法2(需要用3个例子)mD,F,B,E四点共圆得/DBF=ZDE
18、F=45,在DFB中由余弦定理得：2(a-x)A:cos45=+(-%)2-(tz-x)2+a2J2式子的右边移项到左边可以得9到多项式方程Or2+灰+c=o,5,仇cR),不必进一步化简，举3个简单的例子就足够x=Oyaf-ao由前面的例证法1的分析过程知道，这3个例子是成立的。2对比例3使用的例证法1与例证法2以及NapoleonPoints推广命题用到的例证法证明，可知举例的数目与化简的方程次数有关系。化简过程中“偷懒”越多，得到的方程的次数就越大，使用例证法所需的例子也就更多。如果不“偷懒”，我们“老实”的把方程按照己知的条件化为0,那就不需要举例子了，那就是一般证明方法。由此可见，一
19、般证法和例证法的重工作量是一致的，因为证明的本质是没有区别的。我们在证明的某些过程“偷懒”或者证明技巧不足，那么就要在另一个方面弥补同来，也就是意味并寻找更多的例子。4结论在前文的证明过程中，展示了例证法证明平面几何题的机械化，程序化的思想。当我们遇到一些无可奈何的平面几何题，暂且只能举出一些特例使得结论成立，可以尝试使用例证法证明。某些平面几何问题中几何关系是可以用已知的定理联系，由定理可以得到确定系数的一元n次方程，我们如果能够找到nl个不同的特例，于是就得到n次方程有n+1个不同的根，那么几何命题是恒成立。这样就避开了技巧性的证明，而是把问题转向机械性的证明，几何关系的证明迎刃而解。例证
20、法也有不足之处，当我们构造的方程的次数很高时，那么就要列举很多例子。举过多的例子所花费的精力还不如去寻找巧妙的方法证明。当然，这个不足之处仅限于我们是用笔和纸去证明，并没有借助计算机。华罗庚曾说过：“数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数形结合这种方法是由客观现实和数学本身来决定的。例证法证明NaPOIeonPointS推广命题就是数形结合的典例，“数”就是代数的方法，形就是平面几何的方法。依据笛卡尔的思想，几何问题可以归结为代数方程的求解问题。对于给方程的问题，寻求了标准解法后，我们可以用一种程序化、标准化的方式解决问题。致谢本文中平面几何图是由Z+Z智能教育平台超级画板绘制而成，感谢彭翕成老师对绘图过程中提供的一些帮助以及论文写作素材。感谢梅全雄老师和余一骄老师对本文的写作指导。参考文献I(ReferenCeS)1洪加威.能用例证法来证明几何定理吗？J1.中国科学A辑，1986,(3)：234-242.eonPointOLJ42012-2-15.3蒋声.从单位根谈起M.上海：上海教育出版社，1980.4樊怅刘宏伟.线性代数与几何教程(上册)M.北京：科学出版社，20()9.2702752802855张景中.举例子能证明几何定理吗？J.自然杂志，1991,14(1)：55-62.
