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1、第，卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）L若实数。，b满足ab,则下列不等式成立的是（）A.例B.a+cb+cC.a2h1D.ah23【答案】B【解析】【分析】取特殊值判断ACD,根据不等式的性质判断B.【详解】当=0,1=T时,ab+cf则B正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判断所给不等式是否成立，属于中档题.2.已知数列a,满足QO,且ae=L.,则数列an是（）2A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【答案】B【解析】由aiO,且3n+l=3n,则a）02又=I1，an+an.，2因此数列an
2、为递减数列，选B.Ccosl50-sinl5o_曰.、3 .D的值是（）Cosl5+sn15A.一币B.OC.3及苧【答案】D【解析】mil-tanl5otan45o-tanl5o原式=tan30o=.1+tanl5o1+tan45otanl5o3故选D.4 .已知a,b,C是aABC三边之长，若满足等式(a+b-c)(ab+c)=ab,则NC的大小为()A.60oB.90oC.120oD.150【答案】C【解析】【分析】2,k2_21由(a+b-c)(a+b+c)=ab可得c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得，cosC-,可求C的值.2ab2【详解】*/(a+b-c)(a+b+c)=ab,
3、，c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得，COSC=a2+b2-c22+b2-(&2+b2+ab)=卓=W2ab2ab2ab2VOoC0,11115i=-+1=7,解得q=7或g=-彳（舍去），q-q7=4,q1231T故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题.2x+y48设X,y满足x-y-l,贝（jz=x+y（）x-2y2A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A（2,0）处取得最小值为z=x+y=2,无最大值.考点：线性规划2x+l,x1
4、X2-2x-2,x1,则X。的取值范围是（A.(-8,-1)u(1,+)B.(-o0,-1)U1,+)C.(-8,-3)U(1,+8)D.(-,-3)Ul,+)【答案】B【解析】当天1时，/(x0)=2x0+ll,x00,则Nl当天1,xo2-2xo-3O,有/3,则与-1,综上可知：X。的取值范围是与-1或L选B.10.在a46C中，如果4sinA+2cos3=1,2sinB+4cosA=36,则NC的大小为()A.30oB.150oC.30。或150。D.60。或120。【答案】A【解析】【分析】对4sinA2cosB=l,2sinB4cosA=36两式分别平方，再相加得出C=30或150
5、,，再由三角函数的性质验证C=150,即可得出答案.【详解】,4sinA+2cosB=l,2sinB+4cosA=.16sin2A+16sinACoSB+4COS?8=1.4sin28+16SinBCOSA+16CoS?A=27+得20+16sin(A+8)=28即sin(A+B)=sin(乃-C)=sinC=2vC(0180o).C=30或150当C=150时，则0A30,0B30.2sinB2-=l,4cosA42.2sin3+4COSAV55.C=150不满足题意故选：A【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题.11 .在中，若角A、B、C所对的三边。
6、、b、C成等差数列，给出下列结论：b2cic;b2ac-；一十7；0B.2acb3其正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】+C由题意得出8二三一，利用作差法可判断的正误；取4AC为等边三角形可判断的正误；由结合余弦定理可判断的正误.综合可得出结论.+c【详解】由题意可得8二F一.2对于命题，c=（qlf-C=dZ阳上二二担二O-o,则。2tzc,正确；I2）44对于命题，亭4等）0一丁=一L,则入联，错误;112对于命题，若aA4C为等边三角形，则=6=c,则一+一=:，错误;acb对于命题,cosB-=2+c?-/2ac=/+/-2c=(o-c)o,即cos3L4ac4a
7、c2JT0B,:.00),4+=j-oq1,使得qf是周期为T的数列D.存在WGQ且加2,使得数列%是周期数列【答案】D【解析】【分析】A.若%=4,根据an=1.1,分别对出吗讨论求解即可；B.若ZM=&,根据,ulan+=1n,分别求得，即可判断；C.通过B判断即可；D.用反证法判断.,U1【详解】A.若“3=4,因为%+=1八1,uall1时，2-1=6T3=4,解得生=5,当ql时，1-l=2=5,解得4=6,当Oql时，1 V1=a2=5,解得=-,451,115当OVa21时，丁=%=4,解得A2=,当。1时，rz1-1=2=,解得a1=,当Oq解得4=4,不合题意，故加可以取3个
8、不同的值，故正确；B.若m=近,则出=4-1=0-1，%=上=&+1，4=4-1=,所以/+3=。，则数列是周期为3的数列，故正确；C.对于任意的TN*且疹2,存在M1,使得%是周期为T的数列，其否定为:对于任意的TeN*且为2,不存在帆1,使得,是周期为了的数列，由B知原命题正确；D.假设存在根。且相2,使得数列q是周期数列，当机=2时，a2=ai-l=l,tz3=1=.=6j(2),此时，数列“不是周期数列，。211i当机2时，当01,若4+2=4，ak+m-k1iZ+l,则一-=w-(z-l),即m2-tn(k+i-)+ki-k-=O,而A=(Afi-I)?-4(Ai-A-I)m-k不为
9、平方数，因此假设不正确，故数列“不是周期数列，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.第卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13 .函数y=J2-4-5定义域是.【答案】(-,T55,+)【解析】【分析】解一元二次不等式，即可得出其定义域.【详解】x2-4x-50即(x-5)(x+l)0,解得x-l或故答案为：(yo,T55,+)【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，涉及了一元二次不等式的应用，属于基础题.14 .已知La,b,J4成等比数列，则人=.【答案】2【解析】【分析】因为La,b,ct4成等
10、比数列，根据等比数列的性质，可得从=4,再利用/=力O,确定取值.【详解】因为1,。，b,C,4成等比数列，所以匕2=4,所以6=2或人=一2,又因为4=6O，所以6=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.15.在中,A=60。/= 12,Kmc=183,则a+b+csinA+sinB+sin C【答案】12【解析】【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.【详解】.SAabc=bcsnA=Jxl2害XC=I8JJ.c=6由余弦定理可知。=五+。2一次CoSA=144+36-72=63,空5=q=6J=12sinA+sinB+sinCsin
11、A3故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.16.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有。升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点尸.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）.有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点尸C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P（写出所有真命题的代号）.D.若往容器内再注入。升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是:【答案】BD【解析】设图（1）水的高度Fh几何体的高为h图（2）中水的体积为b?hb2h2=b2（hh2）,2
12、5所以一tfFb（h4h）,所以h=-hz,故A错误,D正确.33对于B,当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上,又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确.对于C,假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，252经计算得水的体积为丁b-b2h2,矛盾，故C不正确.故选BD363三、解答题（共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）且司区.求CoSg+ a的值.）17.求值与化简(1)已知向量M=，tana,6=(CoSaJ)（2）化简：及二二sin20cos20【答案】（1）-（2）43【解析】【分析】（I）根据向量平行的坐标表示以及商数关系得出Sina=，最后
13、由诱导公式求解即可;3（2）根据二倍角公式以及辅助角公式求解即可.【详解】（D,a1b1sinarl.1-=costan2=cosa=sma,即SIna=一3cosa3.cos佟+.=Tina=J(2)331_Jcos200-sin200_-sin（20-60）_2sin40_4（2）sin20cos20sin20cos200Lin40Lin4022【点睹】本题主要考查了利用诱导公式，三角恒等变换化简求值，涉及了由向量平行求参数的范围，属于中档题.18 .已知一个几何体的三视图如图所示.侧视图（1）求此几何体的表面积；（2）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点8为顶点，求在几何体侧面上
14、从点4到点8的最短路径的长.【答案】（D20万+4缶；251+42.【解析】试题分析：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，底面圆半径长2,圆柱高为4,圆锥高为2,由此可求得该几何体的表面积；（2）将圆柱侧面展开，在平面矩形内线段A8长为所求.试题解析：（D由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，即fftffi!=5(2)X2),(20=42S圆柱他=(2r2)4=16,S圆柱底=4兀,所以S表面=j222+4,22+r21=4(J+5);r.(2)沿A点与8点所在母线剪开圆柱侧面，如图：FiE1-z=uB(第19
15、题图)则AB=E42+EB2=J2+(2%)2=2l+2,所以从4点到B点在侧面上的最短路径的长为2JTT/.考点：1、多面体和旋转体表面上的最短距离问题；2、由三视图求面积、体积.19 .已知7的前项和为S11,且S+l=3Szl+2+1,4=1.(1)求知，(2)若=(4+1),求数列也的前项和乙【答案】(1),=23rt-,-l:(2)T=电口区+1.22【解析】【分析】S1(l)l(1)题设中的递推关系可变形为川l=3,从而可利用等比数列的通项公式求出S,+lSn+l)的通项，再根据an=Slt-Sg可求知.(2)利用错位相减法可求【详解】因为S角=3Szl+2+l,故S+e+l)+l
16、=3(S,+l),因为S+1+1=4+2=3,故S,+IwO即J+1-=3,S“+l所以S+l是首项为3,公比为3的等比数列.所以S+l=3x3T=3,故5=3一一1,1,=1,所以4=I，整理得到4=23T-1.2-3l,wZ(2)bll=2n3n-if故7；=230+43+2(t-l)3-2+23T37；,=23,+432+2(-l)3i+23所以一27；=2.3+23+23”-2m3”,故27；=312小3”，整理而到T=(21)3,”22【点睛】本题考查递推数列通项的求法以及错位相减法求数列的和，一般地，形如4=P4+()(PWl)的递推关系求通项时，我们一般用构建新数列的方法，如果数
17、列的通项是等差与等比的乘积，那么可用错位相减法来求和.20.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点。为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点。的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为X米，圆心角为。(弧度).(1)求。关于X的函数关系式;(2)己知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于/的函数关系式，并求出X为何值时，y取得最大值？(1)*坦必(2)5x5010+X170+10x【解析】【详解】(1)由弧长计算及扇环
18、面的周长为30米，得30=9(10+x)+2(10-x),所以60-2”,10+x(2)花坛的面积为Le(IO2-12)=(5+幻(10一%)=一/+5工+50,(0%/3sinsinC=sinsin(-B)23=GSinB(cosB-sinB)=/3(sin2B-0s2B_走sin(2B+-)-，又2244264(f,2B+f(,所以S(0,且).63626422.已知数列q,的前项和S”和通项满足S“=一、(-1)是常数q0,且ql).夕一1（1）求数列q的通项公式;（2）当q=L时，试证明q+4+%L;32（3）设函数/（力=1OgqMd=/（4）+/（4）+/（4），是否存在正整数2,
19、使得1111、相1+丁+丁+,+丁NK对任意的N*都成立？若存在，求出机的值，若不存在，说明理由.bxb24bll3【答案】（1）an=qn（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）借助题设条件运用4=5-SM52）求解即可；（2）根据等比数列的求和公式以及放缩法求解即可；（3）依据题设运用裂项相消求和,再结合不等式的性质求解即可.【详解】（D由题意，S“=g（4”-1）,得S=4=g（q-1）,.q=qq-q-当2时，M=看&T）-言（-7=吉4-吉明即(q-)all=qan-qan_x,即ik-=qan-数列3是首项4=q,公比为0的等比数列,/=qqZ=q(2)由(1)知当q=g时,
20、3(3)V/W=Iog9Jc*=Iogq%+IOgg生+IOggan=Iogq(必2/)=log.+2+=1+2h-n =n(l+n)2_1_2_bnn( + n)=什n111 1、相由丁 + 丁 + 丁l!丁 ;得根bX b2 b3bn 36n+l6(+1)-6n+ 1=6-MV N* 都成立 n + 1加是正整数，根的值为1,2,31111、桃，使丁+丁+丁+丁NK对DN都成立的正整数机存在，其值为：1,2,3“b24bn3【点睛】本题以数列的前项和与通项的关系式为背景,考查的是运用数列、不等式等有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息利用等比数列的定义进行合理推证.第二问直接运用不等式的缩放法进行推证；第三问的求解综合运用裂项求和的方法进行探求,从而使得问题获解.
