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1、第八章平面向量与空间向量一8.1平面向量及其运算.一、知识导学一L模（长度）：向量而的大小，记作Q。长度为O的向量称为零向量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。一2 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。一3 .相等向量：长度相等且方向相同的向量。一4 .相反向量：我们把与向量2长度相等，方向相反的向量叫做2的相反向量。记作-石。一5 .向量的加法：求两个向量和的运算。一已知bo在平面内任取一点，作而二2,BC-bf则向量就叫做Z与B的和。记作G+BO_6 .向量的减法：求两个向量差的运算。一己知2,bo在平面内任取一点0,作近二2,OB=bf则向量应叫做2
2、与B的差。记作2-_7 .实数与向量的积：.（1）定义：实数人与向量2的积是一个向量，记作入口，并规定：入万的长度I入5I=I入I151；_当0时，入口的方向与切的方向相同；当XVO时，入方的方向与刁的方向相反；_当入=0时，a=0（2）实数与向量的积的运算律：设入、u为实数，则一入（U2）=（入）a（人+）2=入2+u2入（2+B）=入万+入38 .向量共线的充分条件：向量B与非零向量之共线的充要条件是有且只有一个实数,使得B=入值。_另外，设N=（XI,y），b=（X2,y2）,则xy2-x2yi=0_9 .平面向量基本定理：一如果不、心是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任
3、一向量五，有且只有一对实数M、入2使a=.e1+2e2,其中不共线向量不、心叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。.10 .定比分点_设p1,P2是直线1上的两点，点P是不同于P,P2的任意一点则存在一个实数,使PxP2=PxP2,叫做分有向线段所成的比。若点P、P、巴的坐标分别为(x,y1),(x,y),Xl+x2(X2,Y2),则有X=l+y+l7l+特别当入=1,即当点P是线段PR的中点时，有_xx+X22v=AJ211 .平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量5和它们的夹角为,则数量I2I4cos叫做。与B的数量积(或内积)，记作即2否=aIbIcos-规定：零向量与任一向量的数
4、量积是0。_(2)几何意义：数量积2-B等于2的长度Z与B在1的方向上的投影IBlCOSO的乘积。_(3)性质：设行，B都是非零向量，。是与很方向相同的单位向量，是5与0的夹角，则ea=a=!5cos,abab=0_当2与B同向时，ab=ab|_当2与B反向时，ab=ab_特别地，aa=a或a=yaacos=。167iab|_琳I-运算律：一ab=ba(交换律)(5)b=(ba)=a()_(/+B)c=ac+bc(5)平面向量垂直的坐标表示的充要条件：一设2=(x,y】)，b=(x2,y2),则_a-Lhab=a*bcos90o=0_aLbX2yy2=0-12 .平移公式：.设P(x,y)是图
5、形F上的任意一点，它在平移后图形上对应点为P/(x,4),且设而7的坐标为(h,k),则由OP，=OP+PP,得：,y)=(x,y)+(h,k)_二、疑难知识导析_1 .向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”一向量是既有大小，又有方向的量.向量的模是正数或0,是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的.两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；_2 .在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；_3 .对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好
6、两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；_4 .定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；_5 .平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。三、经典例题导讲_例1和Z=(3,4)平行的单位向量是；_-1-34错解：因为。的模等于5,所以与。平行的单位向量就是一，即,-7)555错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。一-1-3434正解：因为。的模等于5,所以与。平行的单位向量是即(E,-7)或(一E,7)5ODDD-点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解”和1=
7、(3,4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。一例2已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。错解q设D的坐标为(x,y),则有-2=T-3,y-l=4-2,即x=-2,y=30故所求D的坐标为(-2,3)0_错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序.其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论正解：设D的坐标为(x,y)_当四边形为平行四边形ABCD时，有-2=T-3,y-l=4-2,即X=-2,y=3。解得D的坐标为(-2,3)；_当四边形为平行四边形ADBC时，有-2
8、=3-(-1),y-l=2-4,即X=6,y=-I0解得D的坐标为(6,-1)；_当四边形为平行四边形ABDC时，有-3=-l-2,y-2=4-l,即x=O,y=5。解得D的坐标为(0,5)o_故第四个顶点D的坐标为(-2,3)或(6,-1)或(0,5)。_例3已知PK3,2),P2(8,3),若点P在直线PR上，且满足PP=2PP2,求点P的坐标。一198错解：由IPFl=2PPz得，点P分PR所成的比为2,代入定比分点坐标公式得P(三,2)33错因：对于IPFl=2iPP2这个等式，它所包含的不仅是点P为P1,P2的内分点这一种情况，还有点P是P”P2的外分点。故须分情况讨论。198正解：
9、当点P为p1,P2的内分点时，P分P岛所成的比为2,此时解得P(上,2)；_33当点P为Pl,P2的外分点时，P分PR所成的比为-2,此时解得P(13,4),_198则所求点P的坐标为(上,2)或(13,4)o33-点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。_例4设向量a=(XpJi)b(x2,y2)b0f则是再为=MM的一A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件_分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.一解:若,.B,则二正，代入坐标得：(XI,凶)=NX2，下)，即Xl=M2且y=O?2消去r，得
10、西为=必口；.反之，若再为=工2必，则Xl=比2且M=92，即(玉，为)=芍，了2)则a=rb,aHb故iiaUb”是“xiy2=x2yw的充要条件._答案：C_点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示._例5已知2=(1,-1),h=(-1,3),C=(3,5),求实数x、y,使工=x2+yB._分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可._解：由题意有一xa+yB=x(1,-1)+y(-1,3)=(-y,-+3y)._又E=(3,5)_.,.-y=3且-x+3y=5_解之得x=7且y=4_点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.一1.1*例6已知A(-1,2),B(2,8)
11、,AC=-AB,QA=一一BA,求点C、D和向量C。33的坐标.一分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量衣AB,DA和而关系进行坐标运算，用方程思想解之.一解：设C、D的坐标为(项，乃)、(x2,y2),由题意得一AC=(x1+1,-2),AB=(3,6),DA=(-1-芍,2-乃),BA=(-3,-6)11*又AC=AB9DA=-BA33(%)+1,y-2)=(3,6)(-1-12,2-%)=-(-3,-6)即(xl+l,y1-2)=(1,2),(-l-x2,2-2)=(l,2)X+1=1且y1-2=2,-1%2=1且2%=2/.X1=O且力=4,且=-2%=O点C、D和向量丽的坐标
12、分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高.8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1 .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a1=b+c1-IbccosAb2=/+。2-2accosBc2=cr+b2-IabcosC2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即4J=上=2RsinAsinBsinC二、疑难知识导析1 .初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当C=工时，COsC=0,此时22 .由于本节内容与代数、几何联系比较紧，
13、故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。三经典例题导讲例1在ABC中，己知a2=b?+bc+c2,则角A为()A冗D九2乃n2B.CD或3 6333错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：Va2=b2bccz=b2c2-2bc(-)=b2c2-2bccos23选C.例2在AABC中，已知cosA=COS8,试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由“cosA=OcosB得，sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin23,则2A=23接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由cos4=ZJCoS
14、8得，sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin23则2A=26或2A+28=180,故三角形为直角三角形或等腰三角形。例3过抛物线:y2=2px(p0)顶点0作两条互相垂克的弦OA,OB(如图)，求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.分析：对于向量a=(x,m),ZF(X2,，有abXiy2-x2y=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明：由题意知可设A点坐标为(4一，t),B点坐标为t,2p2p：,OA=(一,t),OB(,t2),2p2p一产产YOAOB,A=0=-+t1t2=02pZp=tt2=-4p222J设直线AB过点M(a,b),则BM(aJ,
15、b-t?),BA(-,t1-t2),2p2pIp由于向量丽与就是共线向量，.(&-9)(tl-t2)=(b-t2)(2pIp2p化简得2p(a-2p)=b(t+t2)显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)四典型习题导练1 .己知锐角三角形的边长分别为2,3,X,则第三边X的取值范围是()A.lx5B.5x13C.13x5D.lx则P、Q的距离为PQ=432-11)一+(为一切)2+&2-Z)必须熟练掌握这个公式.例3设a=,%,%)，b=(bvb2,by),Q,abf记一坂|二根，求。一5与X轴正方向的夹角的余弦值.错解：取X轴上的任一向量2=Cr,
16、0,0),设所求夹角为0,；(a-5)c=(%-b,a2-2,f)(x,0,0)=(ai-b)x.(a-b)c(al-bi)xai-bia-bcmxm即余弦值为土生也m错因：审题不清。没有看清“x轴正方向，并不是X轴正解：取X轴正方向的任一向量2=(羽0,0),设所求夹角为0,V(a-b)c=(ai-bva1-b29a3Z)(x,0,0)=(01-b)xcos=yE=丝匚蚣=幺二2,即为所求.a-bciwctn例4在AABC中，已知而=(2,4,0),前=(一1,3,0),则NABC=.解：-BA=(-2,-4,0),=(-1,3,0),BABC2-122cos=-=；-=-j=IBABC25
17、102ZABC=I350例5已知空间三点A(0,2,3),B(-2f1,6),C(1,-1,5),求以向量而恁为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量M分别与向量凝,衣垂直，且=JL求向量M的坐标AB-AC1分析：.AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),/.CoSNBAC=_=一IABAC2.NBAC=60,/.S=IABHACsin600=73设a=(,y,z),则J_AB=-2x一y+3z=0,a-LAC=X-3y+2z=0,tz=3=x2+y2+z2=3解得x=y=z=l或x=y=z=-1,，M=(1,1,1)或M=(-1,-L1).例6已知正方体AG的棱长为,E是Ce的中点，
18、。是对角线BA的中点,求异面直线Cel和BDl的距离.解：以。为原点，D4,OCO。所在的直线分别为X轴，y轴、Z轴建立空间直角坐标系,则A(a,O,O),Bga,O),C(OM0)B1(a,a9a)9A(a90,a),O(O,O,O),设Eay,z),：,AiE=AxD+AiB,即(x-,y,z-a)=2(-,0,-)+(0,a)，X=a-Aaz=a-a-aE加由.优M：紫鲁解得：2=/=-,CE=(l-la,-6z),.CE=-a33333另外,此题也可直接求与。与BD间的距离.设耳。与的公垂线为oq,且3c,o8o,设O(X,y,z),设丽=几丽，x=-a则(x,y,z)=4(一,一凡0
19、),：.、y=-a,：O(-ay-a,0),z=0同理。，：,OOi=(+)a,a+ayd),.*.OO1BD,OO1B1C,西丽=0,西麻=(),2 1111解得：A=一一/=-,Oa=(-a-a-a),00,=-a.3 33333四、典型习题导练1 .己知向量1=(021)3=(-1,1,2),贝丘与分的夹角为()A.0B.45C.90oD.1802 .设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足薪衣=0,获而=0,衣而=0则ABCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定3 .已知石是空间二向量,若|)|=3,曲=2,|)各|=77,贝1必拓的夹角为.4 .己知点G是AABC的重心，0是空间任一点，若54+而+元=%苑则九I勺值为5 .直三棱柱ABC-ABC中，BC11AB1,BC1A1C弓求证：ABi=AiC6 .如图，直三棱柱ABC-A1B1C1,底面AABC中,CA=CB=I,NBCA=90,棱AA1=2,M、N分别是AB,AIA的中点,(1)求BA的长;(2)求CoSVB41,CB的值;
