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1、凸函数在不等式证明中的应用摘要:本文论述了凸函数的定义、性质，以实例探讨了凸函数及Jensen不等式在证明均值不等式、Ho1.der不等式、Cauchy-Schwartz不等式、Younger不等式、积分不等式、Hadamarci定理及三角不等式等不同类型的不等式中的应用，并且对凸函数及Jensen不等式在不同方面的应用给出了针对性的分析及相应的例题和解法.关键词:凸函数;詹森不等式；均值不等式TheApp1.icationofConvexFunctionintheProofofInequa1.itiesAbstractjThispaperdiscussesthedefinitionandpr
2、opertiesofconvexfunction.Itusesexamp1.estogivetheproofconvexfunctionandJenseninequa1.ityinmeanva1.ueinequa1.ity,Ho1.derinequa1.ity,Cauchy-Schwartzinequa1.ity,Youngerinequa1.ity,integra1.inequa1.ity,Hadamardtheoremandtriang1.einequa1.ity.Ita1.soprovidesspecificana1.ysisandcorrespondingexamp1.esandso1
3、.utions.Keywordsxonvexfunction;Jenseninequa1.ity;meanva1.ueinequa1.ity1引言12凸函数的定义与性质12.1凸函数的的定义12.2凸函数的性质23凸函数在证明不等式中的应用23.1凸函数在证明均值不等式中的应用33.2凸函数在证明Ho1.der不等式中的应用43.3凸函数在证明Ca1.1.ChySchwartz不等式中的应用53.4凸函数在证明YO1.nIger不等式中的应用53.5凸函数在证明积分不等式中的应用63.6凸函数在证明哈达马定理中的应用73.7凸函数在证明三角不等式中的应用93.8凸函数在证明其他不等式中的应用9
4、4结束语10参考文献10致谢111引言函数思想是常用的中学数学思想方法之一.而其中，凸函数又是众多函数类型中一类常见的函数.作为数学分析中的一块重要内容，凸函数已被广泛应用于函数极值的确定，函数图像的研究以及不等式的证明.凸函数有着不少良好的性质，且因其内容简单,使得凸函数在简化解题过程方面有一定的优越性,无论在初等数学中，还是在高等数学中，凸函数都可以作为解决数学问题的重要工具.2凸函数的定义与性质2.1凸函数的的定义定义1E1设g是定义在区上的函数，若X,X2IhIZIR且，都有g22，则称g为区间b上的凸函数.如果将不等式中“改成严格的”，则相应的函数称为严格凸函数.从几何直观上来讲,凸
5、函数也可以用下述直观描述性定义：(1)如果某函数图象上任意两点间的弧段总是在这两点连线的下方,则此函数就称为凸函数.(2)如果某函数的图象上任意一点的切线都在图像的下方,则此函数就称为凸函数.在初等数学中，为了便于学生的理解,还有另一种定义：定义2设函/的定义域),对于XiD,2,12,U/fz加鬼/ff成立，则/在市VD如果/fx2Jr成立,则y/在定义称域相反的，如果函数为下凸函数或上凸函数时，上述不等式也成立.2.2凸函数的性质性质1设/是区间/上的二阶可导函数,则在/上/为凸函数f,OxI.性质2如果一是区间。上的凸函数,并且在。上可微,则当X。且OX是/的极小值f0.性质35f与g都
6、是区间/上的非负凸函数,且同为递增（或递减）函数,则fg是为/上的凸函数.性质46如果是单调递增的凸函数，f是凸函数,则复合函数f也是凸函数.性质57若函数/是区/内的凸函数,且/不是常数.F/内部不能达到最大值.性质6若fg上的凸函数，max也是上的函数.性质7（Jensen不等式）9/D2,f上的凸函X,2,，i1,则/Xf1.1且3凸函数在证明不等式中的应用凸函数在不等式证明中的应用体现在JenSen不等式中，因为每一个凸函数都对应着一个JenSen不等式口。,因此它广泛的应用在不等式证明中，而且利用它可以推出需要的不等式,这些不等式可以简化繁琐的证明过程,因此利用凸函数在不等式方面的良
7、好性质可以使证明过程更加简单明了.3.1凸函数在证明均值不等式中的应用均值不等式又可概括为调和平均数不大于几何平均数,几何平均数不大于算术平均数,算术平均数不大于平方平均数.我们曾在数学学习过程中利用数学归纳法,拉格朗日乘数法等方法证明均值不等式.在本文中，用构造凸函数法来证明此不等式.例1设A0,2,一11W1.yy 2 乂” 门为 以 1 Imm11AJ2当且仅当所有Zm全部相等时,等号成立.分析若想使用JenSen不等式证明此题,首先观察不等式的形式,可以想到在不等号的两侧同时取自然对数,此时,不等式变成Iny Iny2 1.nyw, Iny y2 y,n这样就可以找到合适的凸函数了.证
8、构造/InO.由/* 10故/为上对的凸函数./-.IX1V-r-A-A-1C-7A.XMrtVrvX为MI1.nf1.及111整理后有mTNyy2乂”1.11m成立,当且仅当所有月全部相等时,等号成3.2凸函数在证明Ho1.der不等式中的应用从HokIer不等式的形式来看,两边都是和的形式，由此可以想到使用凸函数的定义和性质来证明不等式.111,及；,2,1,，则有证构造/X0,1X,因F120,所以/X在上为凸函数.依/上为凸函数的定义及JenSen不等式，力0时,n4当有T-i-21,.-t(2乙ntiX tiX于是有nntixtjx t i 4：t： j,贝!J有ah 1 a i当;
9、与方成正比例时.，即4 kbF1. ! J %rbkbSEIbSh!当ia与否不成比例时.不全相等，Y f X在内为严格凸函数,故格不等号成立.3. 3凸函数在证明CaUChy-SChWartZ不等式中的应用有很多种方法可以证明Cauchy-Schwartz不等式,但是大都比较复杂且理论性较强,而构造凸函数来证明Cauchy-Schwartz不等式可以大大简化计算过程,充分体现了凸函数证明法的优越性.例3证明:对任意的实a,b(i2,)，都有黜;112,n2,2abanbiiii证设/因为/20,故/R上的凸函数，由JenSen不等式得V.A1._2X令b,Xai2bi2j2n,ainbabi
10、3. 4凸函数在证明YoUnger不等式中的应用对于Younger不等式来说,它的一边为乘积形式,而另一边为和的形式,我们对比定义1,看起来无法用凸函数解决.此时,我们不妨先在不等式两边同时取对数,把乘积形式化成和的形式,然后就可以利用凸函数的相关知识解决问题了.11一i1.ab_Z1.AIAtwn1曰1.讦日月cAh_mntnn分析从需要证明的不等式形式来看,合适的凸函数不容易直接被找到.此时,不妨在不等号的两侧同时取对数,则ma；-A，即宥an,由此就容易构造出合适的凸函数了.证首先考察函数fInr0.因/10,所以由性质1f是XO时的凸函数.又因为1一,所以m1Hn/?,nQ纯即_I1.
11、aba1.h,nhmn3.5凸函数在证明积分不等式中的应用在证明积分不等式中，有些题目看起来无法应用Jensen不等式来解决,因为Jensen不等式是离散型的,而想要证明的积分不等式是连续的.其实不是这样的,在引入定积分概念时,是通过分割求和然后再求极限来完成的，因此我们可以通过分割求和然后求极限法把离散型的不等式转换为积分不等式,这样问题就得到了解决.例5设qqh,证明exPqh（，q.7tO1.rZA,证因为力Iny0是凸函数.因此,对q,c,0in,由于、，工ii”41.-q%q因而有inQnqq? qq q? q”即有expIn c 92 Inc q 1.nc q c q2c2 q C
12、n.现令qqiCc,cI1.iCin代入上式,令,得expqhqy分析一个十分简便的方法是代换,首先/一依据性质1,用导数确定设题目中被积函h数证设了的凸性,然后取一个确定的区间,再使用代换的方法去证明.3。且于是利用JenSen不等式可以得到3.6凸函数在证明哈达马定理中的应用首先从哈达马定理中可以看出不等式中含有积分,这时,我们可以想到运用换元使我们需要证明的不等式向凸函数靠拢,然后根据凸函数的定义及其性质得到我们想要的结论.例7g上的连续凸函数.证明:对于属于区的任意h,2且为间的X1x2x1同理，tX22设Y加右2.X，X关于中Bj称，又O是凸函数,X因此由得哈达马定理的几何意义是值当
13、g2此外，由（1）知,应用函数g的凸性,时，曲线g在I的面积,不R7Ex.,上的面积,不小于过:一，g：一2%点、.大于g2,g2X2的面积.占3.7凸函数在证明三角不等式中的应用一般来说,对于涉及三角形内角和边的不等式的证明往往需要运用一系列的三角恒等变换及性质，需要我们对这些公式或性质记忆清晰且能灵活运用，而且有时过程会比较繁琐.从凸函数的定义和性质中不难发现，凸函数与不等式之间存在着密切的联系，因此若能构造出合适的凸函数，利用凸函数的性质来处理不仅易于理解，更能避免证明过程的繁琐.例8设V属于正实数，少属于区间，求证：0；/Iy42为 qj .以 Siny1. *Siny2 Z,siny
14、” sini _ q q? Qnq、q? 夕证 构造/ Siny,由于/ 在上是凸函数,依据JenSen不等R71#4旦Kgly 42为 Z九 qsiny I q2 si y2q”Siny“ .s In q q? cinq q? q n所以有Sinqy。2为 qnyn q Sin y 2siny2qnsiny“ .q q? Qn 1 q、q? q”1.,r-l.l A.Kl I _i f A IN -L.Vnsn ,.sinv i SinVC*ZP =缶必的二小氐而八 口 口 右sinDsiEsinF成立.3.8凸函数在证明其他不等式中的应用有些不等式,我们无法直接用凸函数的定义去证明,此时我
15、们要先观察题目中是否隐藏了我们熟悉的函数,然后研究我们熟悉的函数的凸性,使之与凸函数不等式靠 近,从而证明不等式.例9证明：对于任意的实必。有M 数HIiI=T1.%1.4E1M1/成立.即证m14结束语凸函数的定义及性质在不等式的证明方面有着突出的作用，通过对上述几类特殊的不等式问题的研究,可以发现对于某些不等式证明问题,按照常规的证明方法来证明可能会使得证明过程繁杂而冗长.而与之相反,利用凸函数的定义及性质来证明不仅简化了证明过程,并且能使得推理过程更容易让人理解.同时在证明过程中也可以发现,利用凸函数的性质来证明不等式的最主要的是首先确定可以使用此方法，其次便是构造出适合的凸函数,根据题
16、目要求准确选择凸函数的某种性质来证明目标不等式.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析(上)M.4版.北京：高等教育出版社,2010:151-157.2朱玉明,杜漫.凸函数的性质和应用J.沙洋师范高等专科学校学报,2005(5):23-25.3宋小军.凸函数在不等式证明中的应用J.四川文理学院学报,2010,20(5):8T1.4杨再鹏.凸函数在不等式中的应用J.成功(教育)，2009(7):173.5费绍金.利用凸函数的性质证明几何命题J.甘肃联合大学学报(自然科学版)，2008(6):91-93.6白景华.凸函数的性质、等价定义及应用J.开封大学学报,2003(2):59-64.7查良松.凸函数及其在不等式证明中的应用J.浙江工贸职业技术学院学报,2005(3):81-85.8徐建中.凸函数性质在不等式证明中的应用U1.重庆科技学院学报(自然科学版)，2018,20(3):82-84+93.9杜广环,周永芳,刘莹,等.凸函数在不等式证明中的应用U1.高师理科学刊,2013,33(5):11-12+17.10周晓晖.凸函数的性质在不等式证明中的应用J.牡丹江教育学院学报,2014(6):63+65.n成立.当且仅当，与i成正比例时,不等式中的等号成II-aC1.bI立.
