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1、相似比与方程解珠联璧合相得益彰摘要近几年安徽省中考试题的最后一道压轴题，都有一个显著特点：几何与代数知识相结合，尤其第3小问设计更加注重几何图形与代数知识的深度融合，注重数学抽象、逻辑推理素养的考查。这些中考题，思维含量较大，富有挑战性，为深度学习提供了丰富的教学素材。下面是我深度学习教学案例的部分实录及其思考。关键词深度学习，深度融合，数学素养。引言本文通过研究几何问题中的相似比与一元二次方程解的关系的案例教学，探究有关深度学习的课堂教学方式，践行2022年义务教育数学课程标准理念。实践结果发现，学生学习兴趣浓厚,主动参与课题研究之中，思维能力提升，教学效果显著提高。一、教学案例实录1.新课
2、导入问题1（2009年安徽中考第20题）如图，将正方形沿图中虚线（其中XVy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）.（1）画出拼成的矩形的简图;（2）求X的值.学生活动：折纸、剪纸、拼图、画图、计算。教师活动：巡视，适时引导。解:（1）如图所示学生回答，教师点评，分析解题思路，积极评价学生的回答。（2）由拼图前后的面积相等得：KXy）yy（y2）整理得x2+xy-y2=O因为y0,得：1（负值舍去）总结反思：一般地，含有两个未知数的一元二次方程的解是不确定的，但如果求两个未知数的比值，是唯一确定的。巧妙地利用等式性质和转化思想即可求解。从上面解题过程中，我们发现，求几何图形中
3、线段长度的比值，本质上就是转化为解一元二次方程。2.新知探究问题2如图1,（2021年安徽中考第23题）四边形ABCD中，NABC二NBCD,点E在BC上，且AECD,DEAB,CFAD交线段AE于点F,连接BF.（1）求证：ZABFgZEAD如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAEd,求BE长BE如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求学生活动：独立思考，小组讨论教师活动：巡视，点拨。要证三角形全等，就要寻找两个三角形的边角对应关系；要求线段长度或比值，就要探究三角形的相似条件，列方程求解。思路探析第（1）问可根据SAS方法证明4ABFgZEAD,第（2）问，利用第（1）问结论得到B
4、F=AD=CF,ZECF=ZEBF=ZAED=ZEAb,证明aABEsBEF,得BE2=AEEFBE第（3）问，求-比值，自然联想到三角形相似判定与性质。寻找哪两个三角形？是关键。根据EC已知条件“若BF的延长线经过AD的中点M”，容易想到倍长中线法求解。解：（1）（2）略.（3）如图，延长BMED交于点PVM为AD中点，ABDP,易证ABMZDPMPAB=DP,设AB=DP=a,CD=DE=b,由（1）知，/DE=AF=b.EF=a-b/W/又PEAB,/fX!.ABAFbBE总结反思：当已知条件中给出的图形不是特殊图形（如：等腰直角三角形，正方形等），并且没有告诉线段长度而求线段比值时，有
5、一定的思维难度，怎么办？解决问题的策略通常是设线段的长度为a和b（或者设一条线段长度为1,设另一条线段长度为a）,根据三角形相似判定与性质列出方程求解。但在解含参一元二次方程时，还要根据等式基本性质灵活变形才能解决问题（教师追问，还有别的解法吗？经过同学们的独立思考，教师启发：能否把一个字母比如a看成已知数，把另一个字母b看成未知数，利用求根公式法解一元二次方程）。在教师的循循善诱下，学生积极探究思考，从不同角度寻求解决问题的策略，从而培养学生深度思维深度学习的能力。二、深度学习教学思考1 .深度研究学生，激发深度学习的触发点同一个班级学生，父母亲教育孩子的方式也不同，导致每一个学生的学习方式
6、、学习习惯不同；还有，每一个学生的知识基础、认知结构、学习方法也不同；男生与女生的思维方式也有所不同。再来看看学生上课时的学习状况：有些同学专心听讲，紧跟老师的教学节奏，积极主动回答老师的提问，认真思考、细心计算、小组合作。有些同学上课时，注意力不够集中，外面的风吹草动，都要问个究竟，而对老师提出的数学问题，不去认真思考、不去钻研，缺乏信心，缺乏耐心；有些同学思维活跃、灵活，有些同学思维缓慢，运算能力比较弱，等等。只有深度研究学生这些学习状况，并了解其中原因，才能做到有的放矢。根据教学内容和学生认知水平，创设合适问题情境，激发学生进行深度学习的触发点。注意，设置的问题不宜过难,最好在学生的最近
7、思维发展区。2 .深度钻研教材，寻找深度学习的生长点每一个地区，教材版本可能不同。我们教师备课时，可以参考人教版、苏教版、北师大版教材等，同一个教学内容，不同教材的编写意图、顺序都有所不同，比如：七年级学习的“有理数乘法法则”，在归纳两个负数相乘法法则时，不同教材的设计方式不一样，有的突出归纳猜想思想，有的突出代数推理思想，但都渗透了一定的思维规律和数学思想方法。八年级学习一元二次方程中的“韦达定理”，在沪科版教材中，属于选学内容，但在人教版教材中是必学内容。同一个教学内容，课堂教学时如何灵活处理组织教学，方式也不一样。比如：勾股定理的教学，是先介绍定理内容，还是先引导学生去观察发现直角三角形
8、三边的数量关系，猜想结论，然后再引导学生去推理证明。根据不同的教学内容和学情，要深度研究教材。针对不同的问题情境，教师应该给出一定的时间和空间让学生独立思考，寻求解题思路，如果思维受阻，就启发学生能否回顾下过去的解题经验和方法，能否转化迁移，在教材中找到原型，如：例题、习题等基本图形。本题的已知条件和所求结论之间有什么联系，还缺少哪些条件，能否添加辅助线，如何转化，从而寻求深度思维深度学习的生长点。3 .深度研究教法，挖掘深度学习的突破点基于不同的教学内容和学情，采用什么样的教学方法教学，从而达到教学目标，至关重要。当学生回顾旧知寻找深度学习的生长点后，如何寻找解决问题的突破口，常用的思路有两
9、种：一是采用综合法，即从题目己知条件出发，运用一些概念、公式、定理的判定与性质等知识逐步分析推理得出所求的结论；二是采用分析法，即从题目结论出发，要求（或证明）什么，只需要求（或证明）什么，逐步倒推，直到题目已知条件满足所求。这一环节，教师如何引导学生主动建构，策略灵活，方法多样。上面问题2中第（2）问突破口在于根据已知NECF=NAED,证明AABEsBEF,得BE2=AEEF,从而求解。第（3）问突破口在于发现“BF的延长线经过AD的中点M”,自然联想到“倍长中线法”，这就是学生对知识的主动建构（同化和顺应）。教无定法，贵在得法。根据教学内容和课型（新授课、复习课、研讨课、示范课）等，选用
10、合适的方法进行课堂教学。如：三角函数概念课，可以采用讲练结合法；勾股定理、相似三角形的判定与性质课，可以采用探究发现式；一元二次方程、二次函数的应用课教学，可以采用问题情境式；多边形的镶嵌课，可以组织学生小组合作式讨论，等等。深度学习课堂教学，务必把学生的主体性放在第一位，教师的作用就是组织引导，起着主导作用。4 .深度拓展思维，探究深度学习的创新点深度学习的一个显著特点就是深度思考深度思维。当学生亲身经历深度学习的触发点、生长点、突破点的一系列过程之后，积累了一些解题经验、活动经验，思维比较活跃，处于高度兴奋状态，此时，教师能否恰到好处地再施以一点“兴奋剂”，提出一些开放性问题，点燃学生思维
11、火花，让学生再次探究发现，大胆创新，大胆表达自己的想法。比如：你还能发现或提出哪些结论？你还能用不同的方法解决问题吗？能否说出理由？请探究。如：本题第（3）问，条件可以BE改编为：“若BF的延长线经过AD的三等分点M，或者BF平分NABC”，求-的值。或者其它EC的多种变式，即使课堂上不能够解决问题，但可以引导学生课后探讨，激发学生的学习兴趣。变式教学是深度拓展思维的一种有效方式。如：在探究正方形的性质和判定时，经常将题目的已知条件和结论改编，就能编出好多的发散性试题。尤其，教师综合素质大赛，也经常会出现这种变式教学思维拓展题。5 .深度反思总结，梳理深度学习的注意点（1）深度不同于难度，设置
12、问题要有梯度、坡度、思维拓展度有人说，深度学习，就是做一些难题，这种说法不正确。深度学习，主要是指教师提出挑战性学习主题，学生主动思考探究，在对知识的记忆、理解、应用基础上，加以分析、综合、创造。那么，挑战性学习主题，从何而来，教师如何设置，教师要深入了解学生的基础水平和思维特点。精心设置典型例题、习题、思维拓展题，这些问题要有梯度、坡度，循序渐进，思维发散，开放性强，深度就强。比如：在复习二次函数图像和性质时，可以这样设置问题串：画出函数图像并说出性质：y=ax2fy=ax2+t-y=a（x+h）2k-y=ax2+bx+c,在此基础上可以设置问题情境:求线段长度的最大值或最小值，求三角形或四
13、边形的面积的最大值或最小值，还可以设置求有关线段或者角度的证明问题、三角函数比值问题等。还可以从实际问题中抽象出二次函数模型，利用化归思想解决问题。这些问题的设置就具有层次性，不仅有梯度、有坡度，而且思维含量也高,适合深度学习。（2）深度学习的课堂教学结构严谨、思维发散，留给学生足够的思考空间深度学习的课堂教学每一个环节应该有一定的逻辑联系，过度自然，结构严谨。教学设计时，可以按照单元教学整体建构设计，抓住概念、定理、公式之间的本质特点，引导学生主动思考、讨论交流、小组合作。没有足够的思考时间和空间，就谈不上深度学习。所以，教师应审时度势,把握好课堂节奏。深度学习的课堂教学要抓住问题的本质，突
14、出数学思想方法和能力。如：问题1,抓住等积变形思想，列出一元二次方程求解。问题2第（3）问，需要构造辅助线，利用相似三角形判定与性质，构建方程模型，再解含参的一元二次方程，有一定的思维难度，需要一定的思考时间和空间，当然，没有较好的运算能力是解不出正确答案的。（3）深度学习的课堂教学小结要体现学生的主体性听了几节年轻老师的公开课，很有激情，但上课时间没有控制好，下课铃声响了，还没有进入课时小结环节，这时，老师的心里都有些紧张了。怎么办？只能拖堂啊。于是，很匆忙的甚至草率地总结了一下本节课的教学内容。课后评课时，老师也深刻反思了，主要原因有：备课还是不够充分，对学情的掌握还是不够到位，教学内容安
15、排较多，例题、习题的设置，有部分内容重复练习；另外，教师的语言不够精炼，比较啰嗦；对学生回答问题，点评也不是简明扼要；小组讨论时间，没有把控好，导致下课铃声响了，内容未上完。因此，为了不拖堂，为了在课堂小结时充分体现学生的主体性，教师要把控好整过课堂的教学时间和教学节奏，重难点内容教学时，可以多花些时间。哪些地方少花时间，教师要做到心中有数，灵活处理课堂教学预设与生成问题。正常情况下，课堂小结需要五分钟左右，教师可以引导学生观察板书记录，回顾本节课学习了什么内容，渗透了什么思想方法，经历了哪些过程，收获了什么，还有没有困惑等等。然后，教师总结，本节课的重难点和易错点，解决问题的策略方法，最好用
16、思维导图展示，增强感性认识。最后，还可以指出，本节课内容与下一节课内容之间的联系，在此基础上，同学们可以提前预习。（4）深度学习的课堂教学评价要有激励性学生回答问题，对错与否，老师都要给予鼓励和赏识。评价方式多种多样，常用的有过程性评价和结果性评价，但必须具有激励性、启发性，千万不能打击学生的积极性。“你太棒了！连我都没有想到这种辅助线作法，不愧为咋们班级的数学才子”，“没关系，请坐下，继续思考”，“你的思维很灵活，如果计算细心些，错误就少了。”“证明过程太简单了，能否再详细些？”“解题过程有些啰嗦，能否简洁些？”“继续加油，相信你的努力一定会有回报！”等等，这些充满善意和温情的言语，润物细无声。就是在这种深度评价激励下，同学们信心满满，快乐学习，健康成长。总之，相似三角形的相似比与一元二次方程的解，二者本质上是统一的，相互联系，相互转化，相互融合。学生亲身经历解决问题的过程，感悟数形结合思想的魅力，体验深度学习、深度思考的艰辛与快乐。
