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1、第七章实二次型在解析几何中一般方程所表述的二次曲线（或二次曲面）可通过所在空间的坐标平 移或旋转化为所渭的标准型,进而可对所有二次曲线（或曲面）进行分类特别,对于空 间中一个有心二次曲面的一般方程首先经过坐标平移后化为如下形式a 1 Xf + a22 2 + a33 3 +2a 2X1X2 +2ai33 +2a23x2x3 = 1通过坐标的旋转变换 = y cos 1 + y2 cos。2 + y3 cos c,2 = y cos + y2cos 2 + y3s 3,3 = yi COS Y1 + y2 COS Y2 + y3 COS Y3 .上述曲线方程变为下列标准形式 yf + 2yl +
2、 3 yi = 1系数 1 .2 ,3的符号就确定了二次曲面的类型如 1 ,2 ,3都是正的,曲面是椭球面 1 O,2 O,3 2C3llt% .12CT5*.：!CWKcot jcos）、该变换将曲线方程左边的二次齐次多项式变成不含交叉项的二次齐次多项式所谓k次齐次多项式是指满足下列条件的多元多项式F （X1 ,，Xn）:F （t , ,tXn） = tk F（ ,Xn）所以Q（ ,2 ,3） = a 1X? + a22 2 + a33 X3 +2ai2 X1X2 +2an 3 +2a23 2x3就是一个二次齐次多项式当然G（y ,y2,y3） = 1y?+ 2yf + 3yi也是一个二次齐
3、次多项式本章的目的就是要研究n维空间（或者说包含n个变元）的二次齐次多项式经过满 秩的线性变换,化成没有交叉项的简单的形式（即所谓的标准形），以及二次齐次多项式在 变换过程中系数的变化规律,并称具有n个变量的二次齐次多项式为二次型.本章只讨 论系数为实数的二次型一实二次型.?7.1二次型的矩阵表示在实数域上一个含个变元1 , ,Xn的二次型Q(Xl ,xn)的一般表达式如下Q(x , . ,x) =an X? +2ai2 X1X2 +2ai3 X1X3 + , +2amx+ 322 2 +2a23 23 + . +2a2n2n+ + anx这里系数aj是实数借助于矩阵,可以将二次型表示成为一种
4、更加对称的形式 n nQ(1 , ,Xn) =aijiji= 1 j= 1这里aj = ay, i bijyyj = Zji.j=2i=2这里T是n - 1阶的对称矩阵于是,将两步线性变换进行复合,得G L） / Isl=Sl 匕 I = S 10：）IOTIRlXnyZn即对应的变换矩阵是2如果所有的aii = O, (i = 1, 2,，n),但至少有一个对0(j 1),不妨设a2 0, 令 = y - y22 = y + y2I 3 = y3Xn = yn它是可逆的线性变换,对应的变换矩阵为0 )1 -1011 0 0P = I00 i0.I:.I0 0 0 使得Q(Xl ,，xn) =
5、 2ai2 X1X2 + =2ai2 (yf -肉+ =2ai2y?-2ai2Y2+ 成为关于变元y ,y2,，yn的二次型且平方项y彳的系数不为零因此属于的情形 故再使用1的做法,可以将二次型化为标准形3 如果对所有的ai = 0(i = 1, 2, ,n), a = 0(j = 1, 2,，n),则有对称性有 2i = a31 = = am = 0.因此二次型为nQ(1 ,，Xn) = aijXiXjiJ-2这是一个含有n - 1个变元的二次型由归纳假设它经过线性变换化为标准形总之,对于任一种形式的实二次型Q(1 ,，xn) = XvAX都存在可逆的线性变换X = PY ,将其化为标准形,
6、或者说存在一个可逆矩阵P使得实 对称矩阵A相合于对角矩阵PAP = diag(1 ,入2 ,An)注意到定理1的证明过程中线性变换X = PY中的矩阵都是初等变换,定理11中 的结果可进一步细化为如下定理定理2对每一个实对称矩阵Af都存在初等矩阵P1,P2 ,，Pr,使得A相合于实对角 矩阵P；PP1,AP1P2 Pr = diag( ,2 , , ,)这里P = P1p2 Pr就是定理1中所要求的线性变换对应的矩阵证明 该定理的证明实质上就是把定理1证明中的配方法,用矩阵语言重新描述一 遍因此,对矩阵A的阶数n进行归纳.当n = 1时结论是显然的如果对于n - 1阶 对称矩阵,定理已成立,则
7、对n阶对称矩阵A = (aj)nxn (ay = aj),分如下情形1如果a11 0,为了把第1行的其他矩阵元化为零作把第1列的-WaJ陪加 到第i列”的初等变换,即将初等变换矩阵。-ana, 108 IPi=P (i, l(-aiia n1) = IhlI0 0 -1 I1(0 0 0.1 /右乘于矩阵A.同样因为A是对称矩阵因此为了把第1列的其他矩阵元化为零作 把第1行的-ana W陪加到第i行的初等变换,即用对应的初等矩阵左乘于A.注意 到这个初等矩阵不是别的,正是Pi的转置矩阵P .逐个完成上述过程并取Pi = In是单位矩阵,得 a1 0 -PAPi1 P2 P = PvAP= An
8、T这里I1-ai2a?i.-ama1 CO1OP = P1P2 P = 11(OOIJ而An-1是一个n - 1阶的实对称矩阵根据归纳假设它可用初等变换化成对角矩阵 当对矩阵/ O an aAn -1O中的An-1作初等变换时,并不影响第一行第一列的元素于是an 0时,定理已经证 明2。当ar = O时如果有一个ai O, (i = 2, 3,n),则只要把A的第一行与第i行 互换,再把第1列和第i列互换,就成上面的情形.这个过程就是对A作相合变换这里初等矩阵是aii aa *ain iJPv AP =Ian ,a11I amI(am , ai, an J O1 O 0 )O 1 OOO O：
9、I1O O-1O O O iP=P (Li)=1 O O O0O OI OO 1 0(O O O: O O Ij3。当an = O, (i = 1, 2,，n)(即A的所有对角线上的元素都等于零)时则第一行的 其他元素至少有一个不等于零,否则根据矩阵的对称性有/0A= 0 An.1因此就退化为n - 1的情形不妨设a OJ 1.首先通过初等矩阵P (2,j)作相合变 换,把aj搬到第一行第二列的位置再使用初等矩阵1-10 0110 0P=Io 01 0；I(0 0 。作相合变换,使得矩阵PAP的第一行第一列的元素等于2a1j 0,于是问题归结到第一 种情形这样就完成了定理的证明?9.2相合不变
10、量在上节讨论中我们将一个实二次型通过配方法,将其化为只含平方项的标准型换句话说就是将对应的实对称矩阵通过初等变换化为实对角矩阵证明的方法是构造性 的但不同的构造或不同的步骤,可能导致结果的不同观察例2的结果,利用1 113 X = P乙P=Il -1 -1 I(0 01 1把二次型2y?- 2y- 4yy3 +8y2 y3化为了2zf - 2zf +6z或者说使得矩阵1 0 11)A=I(I0-3 j1-30通过初等变换化为对角矩阵(1Io)(O1I)(I13 f2 O1P AP =1 1-1 Cl0 1-1-Ij=I(n -2 nJ2 Ti 1-3 01Coi但是如果作可逆的线性变换就得到另
11、一种标准型或者说实矩阵A可通过另一个初等变换化为另一种形式的对角矩阵P, AP = (-IOO O仁与心131 -3 0 O O 13 O这就说明在实数域上,二次型的标准型是不唯一的,结果与所采用的可逆的线性 变换有关或者说一个实矩阵通过不同的相合变换可以化为不同的对角矩阵正是如此,我们要进一步研究刻画二次型在可逆线性变换下本质的性质从实对称矩阵的角度看,相合关系是一种等价关系因此我们要研究刻画每一个等 价类本质的属性注意到在上述例子中虽然不同的变换导致不同的标准型,但标准型 的各项系数中正的和负的个数是一样的这就给我们寻找刻画等价类的本质属性提供一 种可能定理3设A是一个实对称矩阵则存在可逆矩阵T,使得TxAT = diag(l,-,1,-1, ,-l,O,-,0)I IrI= r -Is Iran kA = r + s 0(0/其中，r是定理1中平方项的项数 S是负项的项数.
