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1、题目一:设被控系统的传递函数为G,G)=5，现在采用带有输入变换的状态反馈控s(s+6)(s+12)制(如教材图5-15)改善系统的性能，要求控制系统满足如下性能指标：超调量5%;调节时间G05秒；跟踪阶跃输入信号的稳态误差叼=0;跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev0.2o(1)根据控制系统综合指标设计状态反馈增益矩阵F及输入变换线性放大器K,并在Simu1.ink中建立控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。(2)根据控制系统的响应速度，合理确定状态观测器系统矩阵期望特征值的分布，设计对状态向量工进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能仍满足要求；在S
2、imu1.ink中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析，并与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较；观察单位阶跃输入作用下状态估计值与状态真实值.，的误差的收敛过程，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响。(3)设系统输出量可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，在S1.MU1.1.NK中建立采用降维状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型,对系统的动态和静态性能进行仿真分析。一、系统设计及仿真分析1、确定被控系统状态空间表达式被控系统传递函数为Gft(S(S+6)($+12)则其能观型状态空间表达式
3、为o001fX=10-72.r+0U()178_|()y=01卜2、系统能控、能观性判别0O-系统能控性判别矩阵2=1.ABA2b=010001则闱欣Q=3=，所以系统完全能控；又因为其状态空间表达式为能观标准型，所以系统完全能观。综上所述，此系统既能控又能观。3、系统极点配置根据系统性能指标要求：b5%,G0.5由=eg25%,可推出g0.690107,取4=0.7；由4=0.5,J=0.7,得吗10,物“取7=11o根据经典控制理论，二阶系统闭环传递函数标准形式为O(S)=F-端r,将s+2ns+n=0.7,绦=11代入式s?+2勒is+6=o,得期望的闭环主导极点为q2=-7.7j7.8
4、556;选择一个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，即=-7.7x6=-462则期望的闭环特征多项式为p(s)=(5-1*)(5-A2*)(5-A3*)=53+61.6s2+832.48s-5590.24、确定状态反馈增益矩阵?由上已知，系统完全能控，所以可以通过状态反馈任意配置系统闭环极点。应用MAT1.AB极点配置函数求解状态反馈增益矩阵，代码如下：A=000;10-72;01-18;B=1.;0;0;p=+j*;*;F=p1.ace(A,B,P)求得状态反馈增益矩阵尸=力f2=43.6-24.3288&85、确定输入变换线性放大器K根据题目要求，跟踪单位阶跃参考输入信号的稳态
5、误差叼=I-C(-A+BF尸BK=0,求得K=559Q2,则带有输入变换的状态反馈系统传递函数G二K=559Q2FS-ps)J+61.6s2+832485+5590.26、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差4将带有输入变换的状态反馈系统等效为具有单位负反馈的闭环系统，系统方框图如下所示:A(S)aOE(s)ICs)4(Xr12G(S),Jk图1-1等效单位负反馈闭环系统方框图则系统传递函数欢S)=悬3=G(S)=5590.2一FS53+61.6?+83248j+5590.2求得，G(S)5590.2s3+61.6.y2+832.48$对于单位斜坡输入信号，R(s)=/s2；则4=IimsEG)
6、=Iim*9-0.149V0.2STO501+G(S)所以，所设计系统能满足要求系统性能指标。7、利用S1.MU1.1.NK建立控制系统的动态仿真模型1-2带有输入变换的状态反馈系统(1)跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析为便于输出图形数据的观察比较，在t二处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示:Sq度善出至*信号图1-3单位阶跃响应OQ511.5225时间（t）图1-4单位阶跃响应局部放大图静态性能分析：由图1-3可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差叼=0。动态性能分析：从局部放大图1-4中易知，超调量bv詈二1=5%,调节时间G05秒（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在A时刻输入），
7、系统满足设计要求。（2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分析在t=0处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示：051./，L，00.511.5225时间t(s)图1-5单位斜坡响应图1-6单位斜坡响应局部放大图由图t=1.s的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差4(1-0.8)=0.2,故系统满足设计要求。二、采用全维状态观测器的状态反馈系统基于笈合系统特征值的分离特性，只要被控系统能控能观，则用状态观测器估值形成状态反馈时,可对系统的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计，由(一)中已求得F=43.6-24.3288&81。1、配置闭环系统状态观测器极点系统完全能观，所以闭环系统状态观
8、测器极点可任意配置。按通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快25倍这一选择原则，取观测器期望极点为4.2=2.5X(-7.7)-19,5=2.5(-46.2)-1162、确定观测器偏差反馈增益矩阵G应用MAT1.AB极点配置函数求解观测器偏差反馈增益矩阵G,代码如下：A=000;10-72:01-18,C=001;P=-19;-19;-116;Gt=acker(A,C,P);G=Gt求得偏差反馈增益矩阵G=1.S23=418764697136?3、利用S1.MU1.INK建立系统动态仿真模型观测器的状态方程为:-41876-4769x+-154418764697y +136OOi
9、=(A-GC)x+Gy+Bu=1001利用Simu1.ink建立系统动态仿真模型如下:图1-7采用全维状态观测器的状态反馈系统(注：Scope1.可观测误差的收敛过程)(1)对单位阶跃输入信号仿真分析在t二时刻输入单位阶跃信号，对于X(O)=0和X(O)=0的情况下仿真结果如下图所示:-)q1.a停看会F07080.9111121.3时间t(8)图1-9A(O)=O且宜O)=O时单位阶跃响应局部放大图静态性能分析：由图1-8可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差叼=0。动态性能分析：从局部放大图1-9中易知，超调量0牛11=5%,调节时间(,05秒(注意：为便于观察，木实验中单位阶跃信号在t
10、=时刻输入)，系统满足设计要求。(2)对单位斜坡输入信号仿真分析在t=0时刻输入单位斜坡信号，对于各状态变量初值X(O)=O且(0)=0情况下的仿真结果如下图所示：3以ff雪本St输入信号*ws-时间t8图I-IOX(O)=O且A(O)=O时单位斜坡信号响应J.051959.856.75IoQQ-C输入信号f输出晌应图I-UMO)=O且i(0)=0时单位斜坡信号响应局部放大图由图t=1.s的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差绘Y(I-0.8)=0.2,故系统满足设计要求。4、与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较(1)M)=且时的仿真结果比较(a)直接状态反馈的单位阶跃响应(b)采用状态观测
11、器的单位阶跃响应(C)直接状态反馈的单位斜坡响应(d)采用状态观测器的单位斜坡响应图1-12Mo)=O且Ko)=O的仿真结果比较从以上仿真结果图可以看出，在各状态变量X(O)=O且(0)=0的情况下，直接状态反馈与采用状态观测的反馈系统仿真结果几乎一样。(2)Mo)=O且x(0)=222时的仿真结果比较E肺明$)(a)直接状态反馈的单位阶跃响应1IS 樵(b)采用状态观测器的单位阶跃响应Q51152($)(C)直接状态反馈的单位斜坡响应(d)采用状态观测器的单位斜坡响应图1-13Mo)=O且f(0)=222的仿真结果比较由图1-13可知,尽管初始时刻X(O)=O和f(0)=222存在差异,但随
12、着时间的推移，初始值不同情况下的响应也将趋于同样的稳定状态。这其实与后面讨论的估值误差的收敛性质有关。对于杂的实际工程应用，一般不可能采用直接状态反馈，而是采用观测器进行状态反馈以获得控制精度并且降低成本。5、单位阶跃输入作用下状态估值误差收敛性分析(1)收敛过程分析1.5时间t对MO)= (0) = 0和X(O) = 0，X(O) = 2 2 2两种情况下的系统进行收敛性仿真分析, 结果如下所示：14012010080604020Sis二)X钗沱注25图1-14X(O)=*0)=O时误差收敛情况00511.522.5时间t图5x(0)=0,x(0)=222时误差收敛情况由图可知，当初始值相同
13、，即NO)=岚0)=0时，状态估值没有误差：当初始值不同，即x(0)=0,(0)=222时,开始一段时期存在估值误差,但是,随着时间的推移工(。=函)，即估值误差收敛到0。从理论上讲，状态观测器之所以出现估值误差是因为观测器与系统初始状态在实际工程中难以做到完全一致所造成的。估值误差为&=*3(0)-M0)根据上式，当初始时刻Zo=0,X(O)=九0)时，显然根据上式)=()；当Mo)=0,i(0)=222时，由于我们通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使A-GC的所有特征值均位于复平面的左半开平面，尽管初始时刻0=0时，x(0)=0,X(O)=222存在差异，但观测器的状态尤。)仍将以一定精度和速
14、度渐进逼近系统的实际状态MD。因此，仿真结果与理论分析相符。(2)收敛速度与状态观测器极点的关系及对系统性能的影响现重新选取全维观测器期望极点为%；2=4.5(-7.7)-35,i;=4.5X(-46.2)-208应用MAT1.AB极点配置函数求解观测器偏差反馈增益矩阵G,代码如下：A=000;10-72;01-18,C=001;P=-35;-35;-208;Gt=acker(A,C,P);G=Gt求得偏差反馈增益矩阵G1.=1.g23=2548001571326Jr将d代入采用全维状态观测器的状态反馈系统中，并在Simu1.ink中进行动态仿真,当X(O)=0,i(0)=222时，各状态变量
15、的收敛情况如下图所示：时间t(s)图1-16用2=-35,右=-208时的各状态变量的收敛情况由(1)中已知4,2=-19,4=T16情况下的误差收敛情况如下图所示:0.5图1-17,2=-19,益=-116时的各状态变量的收敛情况从图1-16和图1-17中各状态变量的收敛情况可以看出观测器极点取不同值时，Xf)的误差收敛情况。由图可知，全维观测器闭环极点离虚轴的距离越远，状态估值误差收敛速度越快。但是，同时也使得反馈增益矩阵中的元素需要很大，从而导致物理实现困难。理论上讲，估值误差收敛速度越快，系统性能越好，但是，在实际工程应用中，观测器的响应速度太快会出现放大量测噪声，使系统无法正常工作。
16、因此，观测器期望极点的选择应兼顾快速性、抗干扰性等折中考虑，通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快25倍。三、实现状态反馈的降维观测器设计系统为能观标准型，所以完全能观，又m=rankC=,故可构造-加=2维状态观测器。1、通过线性变换使状态向量按输出可检测性分解r-1IOO构造“X非奇异变换矩阵T=Tj=O1.O1.o01OO-贝IJ1.=O1OOO1作线性变换X=TTa则将Z(A,B,C)变换成E将,瓦6,即Fo()()jji=TAT-ix+TBu=1O-72xO1.1-18J1.=CT-=()O1.x由于元=i3=y,故只需设计二维观测器重构修=EI。将用巨分块，得1.X2
17、-00-0-一八_11一八A=，A2=，2=IJ9A22=18,B1.=,B?=O1O72O2、确定降维观测器的反馈增益矩阵G=1.s2/()=detz-(A11-G1.A21)=det=i+g2+g1.配置观测器极点为在2=2.5(-7.7)-19则期望多项式*(A)=(+19)2=2+38A+361比较f(4)和f*(1.)各项系数，联立方程并解得弓=36138jr3、列写降维观测器状态方程并重构原系统状态VV= ( -G12)v+ ( - GB2)u (A- G1. A2 )G1 + A12 - G1A22JyO-3611 v1 1 -38 1.v2=vv+Gy =W1+ 36 Iyw2
18、 + 38y则Z（瓦瓦C）所对应的状态向量元的估值为1.j1.vv1+361,w2 + 38yy将定变换为原系统状态空间，得到原系统Z(Ai,C)的状态重构为1Ox=T-xx=O1OOOwi + 36 IyO W2 + 38y 1 y明+ 36 IyW2 +38y4、利用Simu1.ink建立系统动态仿真模型图1-18采用降维状态观测器的状态反馈系统(1)跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析在I=时刻输入单位阶跃信号，对于原系统状态变量初始值X(O)=O,降维观测器状态初始值O)=Q2的仿真结果如下：1.4时间t(s)25输入信号T输出晌应2q以善炎会坦册图1-19采用降维观测的单位阶跃响应1.05
19、0.950.90850.80.850.90.9511.051.1时间t(S)C-图1-20采用降维观测器的单位阶状响应局部放大图静态性能分析：由图可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差叼=0。动态性能分析：从局部放大图1-20中易知，超调量cr当二1=5%,调节时间A05秒(注意：为便于对于观察，本实验中单位阶跃信号在t=时刻输入)，系统满足设计要求。(2)跟踪单位斜坡信号的动态仿真在t=0时刻输入单位斜坡信号，对于原系统状态变量初始值MO)=0,降维观测器状态初始值MxO)=22的仿真结果如下：(一)二日也=鞋宓Sf输入信号T输出口岫0.920.940.960.9811.021.041.0
20、61.08时间t(8)O0.511.522.5时间t(s)图1-21采用降维观测器的单位斜坡响应1.11.0510.950.90.85Q80.750.7图1-22采用降维观测器的单位斜坡响应局部放大图由图I=IS的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差绘Y(I-0.8)=0.2,故系统满足设计要求。可通过观察整个系统的状态变量随时间的变化规律，进一步得出两种输入信号作用下，系统的估值误差都具有很好的收敛性，从而保证了由降维观测器构成的状态反馈系统具有很好的稳定性。题目二设计使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性的线性二次型最优控制律，对闭环系统的阶跃响应进行仿真，并研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵
21、的不同选取对动态性能的影响。一、线性二次型最优控制律设计1、判断系统是否具有最优控制律要使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性，则可按非零给定点的最优控制律设计，即所以/ (f) = -Cr() + 叱(0)yw .ut)=-Kx(t)+uf,由于y的维数等于”的维数,OO1系统能控性判别矩阵2=,ABA2b=O1-51-523则rankQc=3=，所以系统完全能控，最优控制*(/)存在。OOR= Io选取性能泛函中的对称正定矩阵Q=Oq22O.OO夕332、非零给定点的最优控制设计及仿真分析利用Simu1.ink建立原控制系统的动态仿真模型如下:图2-1原控制系统在t=时刻，输入单位阶跃信号，
22、仿真分析结果如下图所示:2)自售成盒W骈012345678910时间t(S)图22原系统单位阶跃响应由图2-2可知，系统输出响应发散,引入最优控制：“*()=-收Q)+叱.NO)，W1()OOO-选取Q=O1O,R=I0O1应用MAT1.AB程序求解K和Xa)+叱T,代码如下：A=010;001;0-2-5;B=O;O;1;C=100;Q=10000;010;0011;R=I;K=Iqr(A,B,Q,R);-inv(-C*inv(A-B*K)*B)%与题中wc互为倒数求得K=109.8391.7591,叱T=Io利用Simu1.ink建立非零给定点最优控制系统的动态仿真模型如下:图2-3非寄给
23、定点最优调节系统在t=时刻，输入单位阶跃信号，仿真分析结果如下图所示:，口”5 4 4 4 4输入信号餐一输出响应O12345678910时间t(s)图24非寄给定点最优调节系统单位阶跃响应由图可知，通过引入最优控制，系统获得了较好的动静态性能。3、权矩阵的各权值对动态性能的影响分析按2中方法，在t=时刻输入单位阶跃信号，改变变换权矩阵Q的值，分析其对系统动态性能的影响。(1)固定422=433=1,使分别取1.10,100,IOOOo仿真结果分别如下所示:图2-5外2=933=1，/1.取不同值时系统单位阶跃响应由图2-5可知，随着4“的增大，调节时间变短；到4“=IOO以后，继续增大q”，
24、由于超调量的增大，调节时间反而增大。(2)固定6=%3=1.,使的2分别取1.1.o1.OOIooO仿真结果分别如下所示:百3-iffssp(c)22 =1(d) 22 = IOOO图2-6j1=%3=1，敢2取不同值时系统单位阶跃响应由图2-6可知，随着422的增大，调节时间先变长再变短，到%2=100以后，继续增大。2调节时间急剧增大，但是整个过程中超调量变化不大。(3)固定1=%2=1,使%；分别取1,10,100,1000仿真结果分别如下所示：(a)933= 1(b)/3= 108WUU 161820i1.R(s(c)33=IOO(d)733=IOOO图2-7%=%2=1,的3取不同值时系统单位阶跃响应由图2-7可知，随着的3的增大，调节时间变长，但是整个过程中超调量变化不大。综合分析以上分析结果表明：对系统动态性能的影响在夕”，2,死3三者中起着主要作用。4、使系统具有良好动、静态性能的线性二次型最优控制100000根据3中的比较分析，取Q= 010000时，系统能获得良好的动、静态特性，仿100真分析结果如下图所示:输入信号输出响应86 4 2 QQQQ (I) qia停变W灯册Szf 5IBt时图2-8单位阶跃响应由图2-8可知，系统跟踪单位阶跃输入信号的稳态误差叼=O;超调量b5%,调节时间秒（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=时刻输入）。
