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1、跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的实践解读之五上海市静安区教育学院曹培英随着社会信息化程度的日益提高，人们每天都要面对来自网络、新闻媒体等渠道的各种数据信息，我们的日常生活、学习与工作都比过去更加依赖形形色色的数据信息。因此，统计知识的习得与数据分析观念的形成，已成为当今社会每一位公民不可或者缺的基本素质。正是在这一社会发展的大背景下，我国1998年颁布的本科专业目录中，统计学上升为与数学、物理学、化学等学科并列的一级学科，表明国家对统计学的重视与重新定位。2001年颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）将原来的“统计初步知识”拓展为“统计与概率”，成为小学数学课程内容重新归并后的四
2、个学习领域之一，并提出了发展学生统计观念的培养目标。在此基础上，全日制义务教育数学课程标准（2022版）进一步将“统计观念”修改为“数据分析观念”。一、“统计观念”与“数据分析观念”从名词本身看，“统计观念”涵盖“数据分析观念”，前者更概括，后者更具体。从统计学科的研究内容看，统计学是一门采集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。由此可以认为，”数据分析是统计的核心”，将“统计观念”修改为“数据分析观念”，突显了统计的研究对象。从教学工作现状看，有研究显示：针对“您认为小学统计学习中，最重要的是什么？”以及“您如何定位小学统计课程？”两访谈问题，“我们的小学数学教师都从统计的应用、统
3、计图表、统计活动的视角出发，阐述自己的观点，然而对数据分析和随机观念却没有人提及”Io这与笔者近年来有关工作中的感受与评估基本一致。可见，将“统计观念”表述为“数据分析观念”，在一定程度上，有利于教师更深入地理解、把握“统计观念”的实质。从名词的界定看，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：“统计观念主要表现在：能从统计的角度思量与数据信息有关的问题；能通过采集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。”这段话包含三层意思。首先是“统计思量”，其次是“统计过程及其认识”，再次是“对统计过程、方法、
4、结果的反思”。“统计思量”是就统计观念的总体而言，它的具体内容由后两层意思分述。明显的缺失是没有提及“随机性”。全日制义务教育数学课程标准（2022年版）指出：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体味数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次采集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”这段话也包含三层意思。对照比较：首先，修改后去掉了较为空洞的“统计思量”；然后，对统计观念的两个具体内容作了较大的调整；最后，增补了“体验
5、随机性”的学习要求。具体地说：关于“统计过程及其认识”，修改后将“决策”降低为“作出判断”，并强调“数据蕴含信息”。这比较符合小学数学的教学实际。关于“对统计过程、方法、结果的反思”，淡化了“质疑”，强调了方法的“多样”与“合适”，也涵盖了统计的问题解决。考虑到当前社会上忽悠人的虚假数据、不实信息较多，笔者以为，保留“质疑”较妥。而且实践表明，在使小学生“了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适方法”的同时，“能对数据的来源、处理、结果进行合理的质疑”，也是可行的。关于“体验随机性”，这一增补不仅十分必要，而且相当具体地从两方面刻画了随机性的涵义与体验途径，浅显地、呼之
6、欲出地渗透了偶然与必然的关系。二、“统计”与“概率”1 .关于统计自统计与概率成为小学数学课程内容的学习领域之一以来，有关统计的内容向来处于与随机性无关的状态。似乎惟独在教学“可能性”时，才涉及随机现象。尽管长期以来，在统计学领域内，存在不同学派，且争论不断，但统计学与概率论的结合，早已成为必然的发展趋势。很难想象，离开了概率论，今天的统计还能走多远。因为从采集数据开始，就会遇到不确定因素，就要对其影响加以估计。正如已故中科院院士陈希孺先生所言：“统计学是有关采集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术”。2为什么极其现实的不确定因素、随机性误差，却始终与小学数学的统计教学绝缘呢？恐怕主要原因还在
7、于我们自身的认知偏差。如，充分考虑学生的接受能力，小学的统计对象只能都是确定性的，这样才干保证统计表、统计图、统计量有惟一的标准答案。又如，教材编排都是先学统计，再学可能性，没讲可能性，怎么渗透随机性呢，随机性只能在抛硬币、摸球、转盘等实验中才干体现。其实不然。以“统计全班每一个同学最喜欢吃的水果”为例。这一统计题材，因其适合低年级学生的年龄特点，并比较容易让学生经历统计的全过程，而受到各地教师的青睐。一次观摩课，例题也是“最喜欢吃的水果”。与众不同的是，同一问题统计了两次，第一次由教师组织，第二次请学生代替老师主持，相当于巩固练习。不料，第二次统计结果：最喜欢吃苹果的比第一次少了1人，香蕉则
8、多了1人。有学生“检举”，是同桌两次举手变了造成的。教师回应：要认真参加统计，两次举手不能变，否则统计结果就不许确了。评课时，大家都认为执教老师将两次统计浮现的误差，视为课堂上的生成性教育资源，利用得当。从学科德育角度讲，抓住偶发事件，进行一丝不苟的教育，也是数学精神的一种体现。但从培养数据分析观念角度看，又值得商榷。事实上，学生很可能因为苹果、香蕉都喜欢，导致先后不一，这本是正常现象，也是调查统计时常有的事。如果教师允许学生改变自己的选择，岂不就能让学生看到真正的一幕“同样的事情每次采集到的数据可能不同“。学科德育的契机时常有，数据随机性的自然表现倒是比较难得。如果说上面的实例可遇不可求，那
9、末有些数据的随机误差是可以“设计”、预期的。例如平均数的计算问题：让学生用他们自己的尺测量课桌的长、宽，量4次，算出平均数。也可以小组合作，每人量一次，算出小组测量值的平均数。由于“学生尺”刻度有限，测量课桌的长、宽，都需连续接着量几次，精确到厘米，也很容易浮现误差。通过练习，既能让小学生感知测量误差，又能初步掌握解决测量误差的普通方法。类似的易于感知数据随机性的统计问题还有不少，如：一小盒葡萄干有多少粒？口气能屏多长期？分钟脉搏跳动多少下？等等。原来数据的随机性离我们的课堂教学并不遥远，“预设”与“生成”都有可能使它落脚在小学生的最近发展区内O积累诸如此类的实践经验，自然就会有信心，从开始教
10、学统计起，就故意识地、不失时机地渗透随机性。历史地看，统计学是一门相当古老的科学。普通认为，它的学理研究始于古希腊亚里士多德时代，迄今已有2300多年的历史。而概率论，从“赌金分配问题”解决算起，至今还不到400年。也就是说，不依靠概率论的“古典统计学”有近2000年的历史。但是，自统计学接纳了概率论之后，就再也离不开它了。即便是社会统计学，也在介绍、应用概率知识。因为人们一旦认识了随机现象，放眼看去，原来日常生活中不确定性事物，远多于确定性事物。这与算术与代数的关系不同。从算术发展到代数之后，算术不仅是学习代数的基础，而且在日常生活中仍然占领不可替代的地位。因为日常生活所需，绝大多数是算术运
11、算。因此，不应片面地类比算术与代数，以为小学的统计与概率，统计还是原来的、古典的统计，只是最后再学一点概率（可能性）。虽然小学数学还是只讲描述统计，不讲判断统计、随机变量，但可以也应该渗透随机性，并容忍不确定性的存在。2 .关于概率（1）学生认知基础的研究。早在上世纪80年代，我国心理学研究者就对儿童掌握概率概念作了实验研究，结论之一：”儿童的概率概念随年龄而发展，10岁摆布起，简单概率概念发展加速，这也许是易于传授概率知识的时期。”3前不久，笔者根据小学五年级教材中有关可能性大小的主要内容，编制五道试题，给270名还没有学习可能性知识的四年级学生做，以了解学生的起始状态。抛一枚硬币，结果是（
12、）。（正确率92.2%）A.正面朝上的可能性大B.反面朝上的可能性大C.正面、反面朝上的可能性相等D.无法判断掷一个正方体骰子，结果是（）。（正确率89.6%）A.1点朝上的可能性大B.2点朝上的可能性大C.3点朝上的可能性大D.4点朝上的可能性大E.5点朝上的可能性大F.6点朝上的可能性大G.每面朝上的可能性相等H.无法判断抛长方体骰子，结果是（）。（正确率85.5%）A面积大朝上的可能性大B.面积小朝上的可能性大C.每面朝上的可能性相等D.无法判断袋里有10个球，3个黑色，7个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？为
13、什么？（正确率98.5%）簸里有6个球，3个黑色，3个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？为什么？(正确率92.6%)有81.6%的学生全对。看来，生活已经先于学校，使多数孩子获得了一些关于可能性的感性认识。作出错误选择、判断或者解释的学生，原因多种多样。如第题，错误选择以选B、D为多，显然是受插图中2点朝上、4点在正面的影响。试测时已经发现插图容易生成干扰因素，但因为浮现了学生极少见到的长方体骰子，所以只好配图。两道摸球题去掉了试测时的插图，实测时又冒出了其他误解。如第题，两色球数相等，错误率明显高于同题材的第题，其
14、中有学生以为“黑球先放进袋子，在下面，所以白色球摸到的可能性大”，显然是受题目叙述黑球在前、白球在后的影响。那末，是否增加“摇晃均匀再摸”，会消除叙述顺序的影响呢？不见得，因为有学生陈述的理由是“黑球会沉底”，由此生成两种截然相反的判断：“白球浮在面上容易摸到”；“摸的人喜欢摸底，摸到黑球可能性大”。可见，年龄又决定了孩子必然存在形形色色的天真想法。很明显，如果加深试题内涵，可以提高测试的区分度，但势必加大阅读难度，并浮现更多的误解，从而降低测试的效度与信度。一位五年级老师看到第题的测试结果非常感慨。她说，好不容易按照教材组织学生开展实验，结果惟独一半摆布的学生认为每一个点数朝上的可能性相等，
15、教还不如不教。这里不讨论实验目的定位在“发现等可能性”是否恰当，实验方式可以如何改进，综合以上事实只想说明：有关可能性大小的知识，在小学的教学空间比较有限；至少在目前，教与不教差别不大的现象在所难免。要想杜绝孩子匪夷所思的误解，明智的教学抉择之一就是“让孩子长大”。随着年龄的增长，幼稚的想法自然会减少。(2)教师知识现状的调研。新一轮课改启动之初，笔者连续两年的调研发现，概率统计是数学教师本体性知识盲点集中的内容之一。4之后的其他有关研窕，也从不同角度相继得出类似结论。新近还有小学统计教学现状的研究称“发现课堂教学中仍存在着教学目标定位偏差、教学活动设计割裂、教学活动组织浅表、教学活动评价盲目
16、等问题。究其原因主要是：教师自身由于统计知识的不足以及相关培训的不力，对统计教材的解读能力与价值认识还不够”。5确实，目前针对小学数学教师的概率统计知识培训，效果不够理想。甚至有教师反映，越学越“胡涂”。教师培训跟不上，课堂教学改进就难免盲目，陷入误区。(3)理论支撑的现状。相关培训不力的现状，既有实践问题，也有理论支撑问题。多年来，我们如饥似渴地从课程论、教学论、教师发展论中寻觅理论支撑，却忘了解决技术层面的问题还需数学、哲学层面的支撑。有教师反映，本体性知识的测试题令人摸不着头脑，举了几个例子：简答题：一个硬币抛2次与2个硬币抛1次，浮现两个正面都朝上的可能性是否相等。判M:下面的陈述是否
17、正确，在括号里填“”或者“x”。可能性等于1的事件不一定是必然事件。（）可能性等于O的事件不一定是不可能事件。（）简答题类似国外用来研究等可能性偏见的“标准问题”6o认为可能性相等的理由是，两个样本空间都是正正，正反，反正，反反,浮现两个正面都朝1上的可能性都是一。认为可能性不等的理由是，2个硬币抛1次的样本空间中，4“正反”、“反正”是一个元素，浮现两个正面都朝上的可能性是3对此，比较容易说服持偏见者：把两个硬币看做标了号或者涂了色，则两个抛1次不就和一个抛2次一样了。深入了解发现，教师误解的主要原因并非“等可能性偏见”，而是对随机事件的独立性认识不足。两道判断题对于连续型随机变量的几何概率
18、来说，都是正确的陈述。概率产生于现实，经过数学的抽象处理重新“翻译”客观现象时，却背离了人们的直观感觉，本没有什么可大惊小怪的。但对于现实的问题解决而言，大可不必如此抽象。比如：任意时刻看钟，分针指向某个点，点是没有大小的，所以几何概率等于0；但从实际讲，分针指向某个点，必然会有投影面的宽度，或者根据需要，给“瞬间”设定一个时间值，就能使几何概率等于一个适当小的正数。考虑到小学数学教学的特殊性，更多地依靠联系生活实际促进学生理解，这势必影响小学教师的认知。基于教师的实际需要，我们的培训应该侧重什么？是抽象的理论，还是联系实际的应用，两者如何适当兼顾，值得研究。事实上，施训者内部存在不同看法并不
19、奇怪，概率论本身也有争议。举例说，古典概率、几何概率的概念都少不了所有可能事件等可能性的假设，这就包含着一个逻辑循环：概率以“等概率”为前提。概率的频率定义克服了“循环”，且有大数定律保证重复实验次数n1时，频率与概率偏差较大的可能性趋近于0,但该定义意味着概率是事件序列的性质，它难以回答对单个事件是否可使用概率的问题，而人们的工作和科研，大多需要在这一意义上使用它。概率的公理化定义避开了这些矛盾。但它没有提供概率的算法，而且越是抽象、严谨的定义，其解释也越容易各持己见。因此，怎样协调理论与实际的关系，规避“先验”与“后验”之类的争论，自圆其说、深入浅出地选择、组织、处理培训内容，以充实、更新
20、小学数学教师必须储备的“一桶水”，还需要有理论支撑的培训改进实践。综上，现阶段适当精简小学阶段有关可能性的课程内容，降低教学要求是适宜的、可取的。三、数据分析观念内涵的解读既然统计与概率教学改革的路径，基于实际状况，不在于增加知识内容，那么，确立统摄全局的核心“数据分析观念”，作为教材处理及教学实施的聚焦点，就更显必要。与其他核心词类似，课程标准关于数据分析观念的界定，侧重学习行为表现的描述。进而还有必要揭示，行为表现暗地里的内涵究竟是什么？L知识技能层面的内涵首先，在知识技能层面上，数据分析观念的形成，有赖于统计过程的经历，主要是：数据采集、数据整理描述、数据分析判断。脱离了这一基础，观念就
21、成了无本之木。这一层面，是大家所熟知的。国内外有关学生数据分析观念（统计观念）发展水平的研究，所构建的研究框架，基本上可以归结为：数据采集+数据整理、描述+数据分析判断+认识随机性以往的教学经验、教训告诉我们，学生即使经历了统计的全过程，如果缺失“思想”，充其量只是扎实了统计的“双基”，并不能自动转化、升华为数据分析观念。3航末，除了随机思想，驾驭统计过程、方法的内在思想观点还有什么呢？2 .思想观点层面的内涵进一步，在思想观点层面上，数据分析观念的实质是三个相互密切相连的思想：整体思想、随机思想、相对思想。所谓整体思想，是指无论是统计，还是概率，都需要从总体上加以观察、研究、把握。在这过程中
22、，自然而然将更多地依靠归纳思维，而不是演绎思维。整体思想贯通了统计的始终，因为统计的根本任务就是通过样本来描述、判断总体，所以从数据采集开始，就要考虑样本能否能够较好地代表、反映总体。所谓随机思想，“课标2022年版”在数据分析观念的界定中，己有两个方面的描述，这里再也不重复。总的来说，就是认识不确定性的普遍存在，承认例外，知道可以透过偶然发现必然。所谓相对思想，主要是指统计与人们的认识一样，无论多么科学、合理，都受到条件的制约，具有近似、相对的性质。从评价角度通俗地说：统计方法没有简单意义上的对与错，惟独“好”和“不好”7。显然，这里的统计方法也涵盖了统计结果。此外，事物总是处在发展、变异过
23、程中，因此统计具有时效性。用发展的眼光，看待运动、变化的事物，也是相对思想的题中之义。这三个“思想”，也可以说是统计的三个特性，即整体性、随机性、相对性。它们对小学生来说，只是启蒙，只要求初步感知，但其价值不容低估。特殊是随机思想的感知，一方面，它是学生从“确定性数学”进入“随机性数学”的重要铺垫、台阶；另一方面，随着量子力学等科学前沿理论的日益普及，随机思想将成为人们不可或者缺的基本素质O这些思想相互渗透、三位一体。在教学实施中，可以有所侧重，更宜整体落实。例如，让学生用自己的尺测量课桌的长（精确到厘米），4个同学的测量结果（单位：厘米）是：119,120,120,121o经过小组讨论，形成
24、共识：课桌长在119至121厘米之间，最有可能是120厘米，因为平均数是120厘米，而且有两个同学测得120厘米。这样的小组汇报理所固然获得教师的表扬，同学的掌声。这一测量活动使学生在课堂上，亲临了比较原始的随机环境。他们不仅自己生成为了随机数据，计算了平均数，还自发地通过数据的总体观察，用上了“极差”与“众数”。学生并不知道这两个名词，但他们能用通俗的语言，如“测量结果的范围”、“浮现次数最多的厘米数”等等来表达。由此得出的多样性结论，是对数据的领悟与整体把握。又如，布置学生每人准备3种花色的扑克牌各一张，实验时反面朝上，洗牌,铺开在桌上，任意抽取一张，举手统计：81715817158171
25、511121711121719293219156384438第一次.第二次一第三次学生惊奇地发现，每一次的统计数据都不同，随着数据的累加，3种花色抽到的总数呈现接近的趋势。同样是等可能事件，这里，将实验器具改为扑克牌，避免了硬币、骰子抛掷高度、落点难以控制等麻烦。同时着眼于课堂效率，将“先小组统计、再全班汇总”的“时髦”统计方式，改为全班举手统计。更为重要的，逐次累加，让学生看到了数据波动的变化状况，从而有利于学生感悟足够多的数据蕴含着统计规律。3 .价值观层面的内涵再提升到价值观层面，数据分析观念的灵魂无疑是实事求是的科学精神。具体说来，包括调查研究的意识，对数据的来源、处理、结果进行合理质
26、疑的意识，以及尊重事实的态度，用数据说话的习惯。教学永远具有教育性，科学精神是小学数学教学不应忽视的教育内涵。统计与概率自身的特点，决定了它在培养学生的科学精神方面，具有得天独厚的有利因素。举一个反例：常态调研听课，进行到抛硬币实验，第一个汇报结果的学生说，我抛了10次，5次正面朝上，受到教师的表扬。于是，接着发言的学生，抛的次数都是偶数，且一半正面朝上。可能是有人旁听的缘故，教师没有干预，最后小结道：“今天小朋友们的运气真好”。数据允许有误差，但必须真实。人为编造数据，统计便失去了意义。渗透诚信教育，从小教育孩子不造假，也是统计教学应当守住的底线。统计的方法与结果可以放宽评价尺度，但在统计的
27、科学精神上，对与错依然是分明的。求实精神为求直观，三个层面的内涵粗略图示如右。观、随机观、相对海、x篇据采集一整理、描述一分析判凉大致对应了课程的三维目标，以便于教学这里，分解是为了讨论、叙述、图示的方便，内涵之间，都是“水乳交融”的，应当视为一个有机的整体。以上关于数据分析观念内涵的阐述，作为课程标准界定的补充与展开，实践参照。参考文献1赵迪.小学数学统计课程教学内容研究D.吉林：东北师范大学,2022(5).2陈希孺.机会的数学IM.北京：清华大学出版社，2000.60.3张增杰等.515岁儿童掌握概率概念的实验研究一儿童认知发展研究(H)LJ.心理科学，1985(6).4曹培英.小学数学教师木体性知识的缺失及其对策研究J.课程.教材.教法，2022(6).5范燕.小学数学统计教学的问题与策略研究D.上海：华东师范大学,2022(4).6李俊.中小学概率的教与学M.上海：华东师范大学,2002.11.7史宁中等.“数据分析观念”的内涵及教学建议J.课程.教材.教法，2022(6).
