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1、DE折叠，使点A落在BC边上的点F处.则下列结论成立的个数有()ABDF是等腰直角三角形；NDFE=NCFE;DE是aABC的中位线；BF+CE=DF+DE.2.已知，如图，在。ABCD中,AEBC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DFxEG、AG,zl=z2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的长；(2) Sffi:zCEG=-zAGE.23 .已知两个共Y顶点的等腰RtABC,RtCEF,NABC=NCEF=90,连接AF,M是AF的中点，连接MB、ME.(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF;(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,
2、ME的长；(3)如图2,当NBCE=45。时,求证:BM=ME.4 .如图，已知aABC是等边三角形，点D、F分别在线段BCxAB上，NEFB=60,DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF=EF,求证：AE=AD.5 .如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AB上，PE_LAC于E,PF_LBD于F,则PE+PF等于()6 .如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，A.B.6C.与Dq7 .骄ABCD中，ZB=60o,点EffiSBC上，点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点，ZAEF=60o,求证:BE
3、=DF;(2)如图2,若NEAF=60,求证：AEF是等边三角形.8 .已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE.(1)如图1,i三BG、DE.求证：BG=DE;(2)如图2,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CGBD,BG=BD.求NBDE的度数；(3)在(2)的条件下，当正方形ABCD的边长为2时，请直接写出正方形CEFG的边长.9 .已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点(M与点0,D不重合)，以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；(2)当点
4、M在线段OD的延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由.口DE折叠，使点A落在BC边上的点F处.则下列结论成立的个数有(B)ABDF是等腰直角三角形；NDFE=NCFE;DE是aABC的中位线；BF+CE=DF+DE.2.已知，如图，在。ABCD中，AEBCz垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DFxEG、AG,zl=2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的长；(2)Sffi:zCEG=-zAGE.2(1)解：VCE=CD,点F为CE的中点，CF=2,DC=CE=2CF=4,四边形ABCD是平行四边形，AB=CD=4,VAElBC,ZAE
5、B=90o,在RtZXABE中，由勾股定理得：BEW2_32(2)证明：过G作GM_LAE于M,VAElBE,GMJLAE,，GMBCAD,;在ADCF和AECG中，,Z1=Z2ZC=ZCCD=CEDCFECG(AAS),/.CG=CF,VCE=CD,CE=2CF,CD=2CG,即G为CD中点，VAD/GM/BC,M为AE中点，AAM=EM(一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等)，VGMlAE,AG=EG.ZAGM=ZEGM,：,ZAGE=2ZMGE,VGM/7BC,：,ZEGM=ZCEG,：,NCEGjNAGE.23.已知两个共T顶点的等腰RtABCzRt
6、CEF,NABC=NCEF=90,连接AF,M是AF的中点，连接MB、ME.(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证:MBZ/CF;(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长；(3)如图2,当NBCE=45时,求证:BM=ME.(1)证法一:如答图Ia,延长AB交CF于点D,则易知aABC与4BCD均为等腰直角三角形,AAB=BC=BD,，点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点，ABM为aADF的中位线，ABM/7CF.证法二：如答图1b,延长BM交EF于D,：ZABC=ZCEF=90o,/.ABCE,EFCE,，ABEF,ZBAM=ZDFM,TM是AF的中点，/.AM
7、=MF,在aABM和AFDM中，NBAM二NDFMAM=FM，Zamb=ZfmdABMFDM(ASA),AB=DF,VBE=CE-BC,DE=EF-DF,BE=DE,4BDE是等腰直角三角形，：,NEBM=45,Y在等腰直角ACEF中，NECF=45。,：,ZEBM=ZECf,MB/7CF；(2)解法一:如答图2a所示，延长AB交CF于点D,则易知ABCD与AABC为等腰直角三角形,AB=BC=BD=a,AC=CD=,点B为AD中点，又点M为AF中点,bm=1df.2分别延长FE与CA交于点G,则易知ACEF与aCEG均为等腰直角三角形，_CE=EF=GE=2a,CG=CF=2亚a,点E为FG
8、中点，又点M为AF中点，me=1ag.2_VCG=CF=22a,CA=CD=,.*.AG=DF=JBM=ME=l2a=X.22解法二：如答图1b.VCB=a,CE=2a,BE=CE-CB=2a-a=a,VABMFDM,BM=DM,又ZBED是等腰直角三角形,BEM是等腰直角三角形，.BM=ME=及BE二返1；22(3)证法一：如答图3a,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知aABC与aBCD均为等腰直角三角形,AAB=BC=BD,AC=CD,点B为AD中点，又点M为AF中点，,BM=IdF.2延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知CEF与aCEG均为等腰直角三角形,ACE=EF=EG,CF
9、=CG,点E为FG中点，又点M为AF中点，,ME=LlG.2在AACG与ADCF中，AC=CDNACG=NDCF=45，CG=CFACGDCF(SAS),DF=AG,BM=ME.证法二：如答图3b,延长BM交CF于D,连接BE、DE,YZBCE=45o,ZACD=45o2+45o=135o/.ZBAC+ZACF=45+135=180o,AB/7CF,ZBAM=ZDFM,.M是AF的中点，AM=FM,在AABM和aFDM中，NBAM二NDFMAM=FM，Zamb=ZfmdABMFDM(ASA),AB=DF,BM=DM,AAB=BC=DF,在ABCE和ADFE中，BODF,NBCE=NDFE=45
10、，CE=FEBCEDFE(SAS),BE=DE,ZBEC=ZDEf,/.ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEf+ZCED=ZCEF=90o,BDE是等腰直角三角形，XVBM=DM,.BM=ME=IbD,故BM=ME.24.如图，已知aABC是等边三角形，点D、F分别在线段BCxAB上fZEFB=60o,DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF=EF,求证：AE=AD.证明：(1)ABC是等边三角形，：,ZABC=60o,：NEFB=60,ZABC=ZEFb,EFZ/DC(内错角相等，两直线平行)，VDC=EF,，四边形EFCD是平行四边形；(2)连接BEVBF=EF,N
11、EFB=60。，EFB是等边三角形，EB=EF,ZEBF=60oVDC=EF,EB=DC,ABC是等边三角形，ZACB=60o,AB=AC,：,ZEBF=ZACb,AEBADC,：,AE=AD.5 .如图，磴巨形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AB上，PE_LAC于E,PF_LBD于F,则PE+PF等于(6 .如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG,PC.若NABC=NBEF=60。，贝!J丝二(B)7.菱形ABCD中，NB=60,点E在边BC上，点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点,NAEF=60。，求证：BE=DF;(2
12、)如图2,若NEAF=60,求证:ZAEF是等边三角形.证明：(1)连接AC,在菱形ABCD中，NB=6(T,AAB=BC=CD,ZC=180-ZB=120,ABC是等边三角形，.E是BC的中点，AEBC,VZAEF=60,.ZFEC=90-ZAEF=30,JZCFE=180-ZFEC-ZECF=180-30-120o=30,ZFEC=ZCFe,EC=CF,ABE=DF(2)AABC是等边三角形，AB=AC,ZACB=60,NB=NACF=60,VADBC,.ZAEB=ZEAD=ZEAF+ZFAD=60+ZFAD,ZAFC=ZD+ZFAD=60+ZFAD,ZAEB=ZAFC,在AABE和AAC
13、F中，NB二NACFCE.(1)如图1,i三BG、DE.求证：BG=DE;(2)如图2川各正方形CEFG绕着点C旋转至I某T立置时恰好使得CGBD,BG=BD.求NBDE的度数；(3)在(2)的条件下，当正方形ABCD的边长为2时，请直接写出正方形CEFG的边长.月IKD(1)证明：V四边形ABCD和CEFG为正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90o.：ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG,ZBCG=ZECE.在aBCG和aDCE中，BC=DCNbcg=Ndce,CG=CE/.BCGDCE(SAS).BG=DE;(2)解：连接BE.由(1)可知：BG=DE.VCGzBD,：
14、ZDCG=ZBDC=45o.：.ZBCG=ZBCD+ZGCD=90o+45=135.VZGCE=90o,/.ZBCE=360o-ZBCG-ZGCE=360o-135-90=135.ZBCG=ZBCE.VBC=BC,CG=CE,BCGBCE中，月IK)乂|.Nbcg=Nbce,l.GC=ECW尸/.BCGBCE(SAS).dL1/r2xV因VBG=BD=DE,图1ABD=BE=DE./.BDE为等边三角形./.ZBDE=60o.延长EC交BD于点H,BCEBCG中，rDE=BEDC=BC，CE=CEBCEBCG(SSS),：ZBEC=ZDEc,EH1BD,BH弓BDVBC=CD=2,在RtZXB
15、CD中由勾股定理，得bd=BC2+CD2=V(2)2+(2)2=2,BH=1.CH=1.在RIaBHE中，由勾股定理，得EH=3,/.CE=3-1.正方形CEFG的边长为我-1.9.已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点(M与点0,D不重合)，以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；图2(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立？请结合图解：BM=DF,BMlDF理由是：四边形ABCD、AMEF是正方形,AF=AM,AD=AB,ZFAM=ZDAB=9
16、0o,：,ZFAM-ZDAM=ZDAb-ZDAM,即NFAD=NMAB,;在aFAD和AMAB中,AF=AM Nfad=Nmab,AD=ABFADMAB,BM=DF,ZFDA=ZABD=45o,ZADB=45o,：NFDB=450+45=90,BMIDF,即BM=DF,BMlDF.(2)解：成立,理由是：四边形ABCD和AMEF均为正方形,AB=AD,AM=AF,NBAD=NMAF=90,：ZFAM+ZDAM=ZDAB+ZDAM,即NFAD=NMAB,在AFAD和AMAB中,AF=AM Nfad=Nmab,AD=ABFADMAB,BM=DF,ZABM=ZADf,由正方形ABCD知，NABM=NADB=45。，：ZBDF=ZADB+ZADF=90o,即BMDF,:(1)中的结论仍成立.
