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1、第5讲正交小波构造5.1正交小波概述5. 2由4()递推求解阿)的方法。5.3消失矩、规则性及支撑范围5.4Daubechies正交小波构造5.5接近于对称的正交小波及Coiflet小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间吃中存在正交归一基加-幻次Z,由。作尺度伸缩及位移所产生的WjJi3,Z是匕中的正交归一基。是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定匕的正交补空间中也存在正交归一基%),ZeZ,它即是小波基，Mf)为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波以。所谓“正交小波”,指的是由(t)生成的(t-k),k三Z,或
2、以空间中的正交归一基,j,ksZ。Daubechies在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。5.1正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求，一是Haar小波，二是ShannOn小波。1.Haar小波我们在4.1节中已给出Haar小波的定义及其波形，Haar小波的尺度函数。重写其定义，即10rl2(，)=1121(5.1.1)0其它。=LOf1n.X其它(51.2)显然，/)的整数位移互相之间没有重叠，所以Mt-DM1=/1),即它们是正交的。同理，)=b(Z-1)。很容易推出和。的傅里叶变换是(7)=jM2S
3、liL0/44不/、-i2sin2()=ej2注意式中。实际上应为。由于Haar小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。上一章指出，Haar小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是:%)()= ,1 1,2,2jJ hi(n) = 2j(5.1.5)(5.1.6)(69) = V1网乃0其它(5.1.7)它们是最简单的两系数滤波器。2.Shannon小波、Sin加(Kt)=t由于晒k),帕k、=(0k(),k()d(5.1.8)e-j-dk-k)2j-ZT所以的a-A),%wZ构成匕中的
4、正交归一基。称为Shannon小波的尺度函数。由于垢e%,voo=v,由二尺度性质，(2t-k)cV,因此3)= Id 2其它(5.1.9)这样，对犷叱,，有(g)= a2其它(5.1.4.)于是可求出/、/SinR/2、C、(t)=()cosG加/2)E/2读者可很容易验证(t-k),(t=(k-k)(5.1.12)也即3f-Z),AZ构成WO中的正交归一基。其实，从频域可以看到，甲(M和中各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图5.1.1所示。AAf(o)一2rrl图5.1.1ShannOn小波及其尺度函数度频域波形显然，Shannon小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域
5、有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为SinC函数。这样，ShannOn小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中两个极端的例子。自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。以前给出了能作为小波的函数()的基本要求，即：-(，)应是带通的；由于JV(E)流=0,因此它应是振荡的；P()应满足容许条件；乎(C)还应满足稳定性条件；此外，(t)VP(C)最好都是紧支撑的。由二尺度差分方程，(。)、中(。)均和H。(、乜(M有着内在的联系。重写(4.4.14)式和(4.4.15)式，有(5.1.13)=立“。*2J)=fHo(2-
6、j)(?) =H1(2)H.(2j) 2 jJ2J=I2J=I=%32)点为(2-%)(5114)7=2这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如5.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(5.1.13)和(5.1.14)式递推求解中(M和平(的问题，并说明其中可能存在的问题。5.2由治5)递推求解阿)的方法。(4.4.4)式给出了由为(n),h15
7、)递推求解。(。和犷)的方法。即(5. 2.1a)(5. 2.1b)(t)=41E4)5)0(2,一)H=-CO(t)=41EhI(n)(2t-n)H=-CO此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(5.1.13)和(5.1.14)式给出。假定和WQ)事先是未知的，当然(5.2.1)式无法利用，这时可用(5.1.13)式或(5.1.14)式递推求解)和夕)。若令%=行O(J)J=O(5. 2. 2a)并用它来近似(0)，那么(5.2.2a)式对应的时域关系是(5. 2. 2b)%)5)=)(n)*%5)*%*T)5)式中?）=%（），%是由每两点插入一个点所得到的新序列。同理，为是将为2）每两点插
8、入22-1=3个零所得的新序列。假定%?）=%5）的长度为N,则%5）的长度为2N-1,%?）*%5）的长度为3N-2,%的长度为3N+1、,其余可类推。由此可以看出，（5.2.2）式卷积的结果将使为伽）的长度急剧增加。例如，若令%（）=争1,3,3,1,则O5%）（）=（213,1*l,0,3,0,3,0,1O21,3,6,10,12,12,10,6,3,1%5)=(当1,3,6,10,12,12,10,6,3,1*1,0,0,0,3,0,0,030,0,0,1如此，当J趋近于无穷时,%（Mil近3）,“逼近”连续函数始），但这一“逼近”，需要将接近于无限长的%5）压缩回到有限的区间内。由于
9、%（）的长度为N,我们假定。的“长度”也为N,只不过此处范围。N-1代表的是连续时间的序号。也即，。的时间持续区间是。N-1,在这一范围内应包含为）（）的所有点，压缩比等于）（）的长度/N。MATLAB中的wavefun.m文件可以实现上述的递推算法。对（5.2.1a）式，若令xf+(0 =叵 f%5)Xj(2f - )(5. 2. 3)(5. 2. 4)10=oO(53.3)OO则mk=ftk(t)dt=O,=04p-l(5.3.4)我们说小波函数少具有P阶消失矩。显然，若左=。，这即是容许条件。假定信号X为一个P7阶的多项式，即PT,x(0=Zakt(535)A=O再假定有阶消失矩，由(5
10、.3.4)式，显然.(x(t),(t)=O也即,X(t)的小波变换恒为零。若*)可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N阶,Npo那么其中阶次小于P的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于，的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。从这个角度讲，我们希望-)能具有尽量高的消失矩。消失矩越高，乎(0)在60=O处越平滑地为零，越具有好的带通性质。由(4.3.17)式dj(k)=(x(t)Wj,k(ti)正是信号XQ)的小波变换，d(女)是在尺度/时的小波系数。当我们将小波变换用于实际的信号分析和处理时，不论是从数据压缩
11、的角度，还是从去除噪声的角度以及从突出XQ)中的奇异点的角度，我们都希望小波变换后的能量集中在少数的系数，也即d(R)上。也就是说，我们希望dU)的绝大部分能为零，或尽量地小。这一方面取决于信号x)本身的特点，另一方面取决于沙)的支撑范围，再一方面即是取决于-)是否具有高的消失矩。由(5.1.14)式，平(切取决于M(M和。(。因此，+3)是否具有高的消失矩取将取决于式(。)和“。3)。我们希望甲3)在G=O(即Z=I)处具有阶重零点，这等效地要求d(z)在Z=I处有P阶重零点。由(4.5.5b)式，即Hl(Z)=ZTHO(T),这等效地要求Ho(Z)在Z=-I处有夕阶重零点。例如，若令1 T
12、HO (Z) = (匕)P0(z)(5. 3. 6)则/(Z)在Z=T处有P阶重零点。这为我们设计具有高阶消失矩的小波提供了一个切实可行的方法。下面的定理进一步明确了有关消失矩的几个相关概念。定理5.1如果甲3)在。=0处是、阶连续可微的，则下面三个说法是等效的：小波-Q)有P阶消失矩；(2) VP(O)和它的前-1阶导数在0=0处恒为零；(3) 8o()和它的前夕一1阶导数在G=乃处恒为零，即dkH.()dk0kp(5. 3. 7)证明：因为OO(6y)= (t)e-j,dt-OO所以”3) =dk()dk00-00在G = O处，有00)(0)=(-l)yJrV(Z)Jr-OO于是和等效。
13、由(44.8)和(45.5b)式，有(2y)=H,(ty)(ty)=-e-iH+)()(5.3.8)由于W)是低通的，即(。)不等于零。对上式连续微分，可证明等效于(3)。证毕。(53.1)及(5.3.4)式有关消失矩的定义也适用于离散信号。例如，令“1(0)=2似)加n则dkH)=Z(0y4s)e-w(5.3.9)dT所以，如果C)在Z=I处有P阶重零点，则()具有P阶消失矩：(5. 3. 4.)Z/%()=02.规则性规则性(regularity)又称正则性，在数学上是用于描述函数局部特征的一种度在信号处理中，用于描述信号在某点，或某一区间内的平滑性和奇异性。给定信号，假定X在f=f0处是
14、7次可微的，令m1”)仇)k(，_()(5. 3.11)显然，纭是E)在乙)处的前，”1阶台劳多项式。对Nf)的近似误差为eto(t)=x(t)-Pto(Z)台劳级数理论证明了t_tmr0-0+,有分Q)-二supx(mu)(5.3.12)加！m0-0+这样，当时，X的连续历阶可导性产生了气的上界。LiPSChitZ规则性用一非整数的a来定量描述这一上界，所以。又称LiPChitZ指数。对给定的信号双明如果存在常数K。及阶次的多项式”，使得vr,-)|同一0(5.3.13)则说MD在处的Lipschitz指数为1,且a0;若对所有的“卜”，(5.3.13)式都可满足，则说M)在区间LU上有均匀
15、的1.ipschitz指数;X在K或在区间LU内的规则性定义为Lipschitz指数。的上界。在2处一次可微，但一阶导数不连续的分段线性函数，在拐点处的=1,阶跃函数在阶跃点的=09而在/。处的=T。由上面的讨论可知，和信号X在3或在区间上的可微性有关。若YQ)在此处的导数阶次越高，相应的越大。反映在信号的特性上，X在此处越平滑。Daubechies将此规则性的概念用于尺度函数平滑性的测,定义1.iWF1时的的最大值为。的规则性。式中，为常数。此式意味着。是次可微的，壮相。显然，越大,阿何衰减的越快。其衰减的速度决定了。的平滑程度。由图5.2.1和图5.2.2,不同的儿所递推求出的。具有不同的
16、“平滑性”。图5.2.1中，。是平滑的，当然递推是收敛的，在图5.2.2中，递推是不收敛的，因此得不到平滑的。，现在从规则性的角度来讨论一下这个现象。由于4(Z)是低通滤波器，所以它在Z=-1处至少应有一个零点。现设儿在”-1处有个重零点，如(53.6)式所示，对应的频率响应是风=CoSQ03),(r)O(5.3.15)若%(z)的阶次为N,则。(Z)的阶次为N-1-，。由(5.1.13)式经推导，有3)=(11CoS弁叵)。(5.3.16)(5. 3.17)|(G)I =Q()sin69/22式中第一项M羡/刍是SinC函数，随着”的增大它是衰减的，越大，衰减的越快。从而(M衰减的也越快。若
17、式中supQ()2l,-(5.3.18)0y2则可保证由&()递推卷积求出的。是收敛的。如果。(再满足SUPIQ(M2-=1,所以该例的QSa)不满足(5.3.19)式。因此该图中的。不收敛。3.支撑范围由(5.2.1)式，。和均可由。()、45)递推得到,所以，4的支撑范围取决于为()和似)的长度。若为()和似)均是FIR的，则。和Wf)是有限支撑的。下面的定理更准确地回答了这一问题。定理5.2如果%()(或()是有限支撑的，则尺度函数。和小波函数Mr)均是有限支撑的。若力。()和似)的支撑范围是MN贝I。的支撑范围也是山”，而的支撑范围是m7+i,n2-j+i证明：因为=应05)0Q)(5
18、.3.20a)乙n45)=击,(夕，。()(5.3.20b)所以，如果。是紧支撑的，则火夕也必然是紧支撑的，由(5.3.20b)式，%5)是紧支撑的。反之,若力。()是有限支撑的，由(5.3.20a)式“也必然是紧支撑的。由于()和%()有着同样的长度，由(5.2.1b)式，也必然是紧支撑的。若为()在此,小的范围内非零，。在及勺的范围内非零，则岭应在2%,2a的范围内非零。但(5.3.20a)式右边的求和范围是&+乂,匕+忆。由于(5.3.20a)式两边的支撑范围应该一样，所以必有K=N,K2=N2o所以。和。()有着相同的支撑范围。由(5.2.1b)和(45.6)式，有()=应(T)%(i
19、-)阿一)乙H因为为()和。的支撑范围都是所以(5321)式右边求和后的范围是+。考虑到该式右边是吗)，所以甲Q)的支撑范围是,于是定理得证。5.4Daubechies正交小波构造Daubechies提出了一类正交小波的构造方法，其思路即是本章前三节所述的内容。具体地说，即首先由共扼正交滤波器组出发，先设计出符合要求的“。，然后由/(Z)构造。和“。和“要有限支撑，且Wf)有高的消失矩和高的规则性。将这些要求落实到“。(叽则是要求：(1)名是FlR的，且HO(Z)L=I=Vi;(2)Ho(Z)在Z=T处应有阶零点，从而保证以力具有阶消失矩。为做到这一点，假定Ho(Z)可作如下式的分解：Ho(Z
20、)=J2(*)P0(Z)(S)(3)上式中Q(Z)是辅助函数，要求：z=-;Q(Z)Ie=I;丁;Iw)I0。2万Q(Z)的系数是实的，即Iaea)I=Iae於)现在的问题是，如何求出具有最小阶次，且满足上述要求的多项式。(Z),使得H0()2+H0(+)2=2(5.4.2)这样，”0(Z)的阶次N=机+。Daubechies证明了满足要求的Q(Z)的最小阶次根=PT。这样，()将有N=2p个非零系数。现证明这一结论导出的过程。I.2Ho(T)I2(O,pj2=2cosQ(e,)由于的系数是实的，所以/(*)是。的偶函数，因此，%()f可以表为es/的函数。那么，Q()2当然也可表为CoSG的
21、函数。由于(cosM2=si22,所以侬/)可改为IQ(Sin%/2)/的形式。这样，继续上式的推导，有. 2 % (i)(5. 4. 3)令并记j = sin2 A 9lP(y)= 2(sin2(5. 4. 4a)(5. 4. 4b)这样IHO(/)=2(l-P(y)(5.4.4c)同理可得Wo(C9+)广=2yPp(l-y)(5.4.4d)将(b),(C)两式代入(5.4.2),有(1-y)pP(y)+ypP(l-y)=l4.5)该式称为BeZoUt方程。显然，当0小时，多项式尸(y)=Q(y)应非负。我们现在的任务是寻求这样的多项式a，)。BeZOUt定理指出，若0(y)和。式,)是两个
22、阶次分别为和2的多项式，且二者之间没有共同的零点，那么，唯一地存在两个阶次分别为2-1,-1的多项式4(y)和8(y),使得。1()尸1(9)+。2(乃尸2(30=1(5.4.6)比较(5.4.6)和(5.4.5)式，若令Q(y)=(l-y)即F=P,令0(y)=y也即%=P,显然，。)和。2。)间无共同的零点。那么，必有6(y)=P(y),6(y)=P(i-y).且尸。)的阶次为-LP(y)的阶次也是，-1。这样(5.4.5)式左边两项的阶次都是2p-i。因此,碌)至少有2p个非零系数。Daubechies提出满足(5.4.5)的多项式2)，)可取如下形式：p，+一1、P(J)=Zyn+yp
23、R(l-2y)(5.4.7)=01y式中R(y)是一奇对称多项式，即R(y)=Y(Jy)。Ry)保证P(y)o对yo,对Ry)的不同选择可构造出不同类型的小波,在构造正交小波时，DaUbeChieS选择Ry)=。，于是仁Irp+n-lP(y)=J(5.4.8)7=0J由(5.4.4)式，(5.4.8)式的含意应是I22(5. 4. 9)有(5. 4. 4.)Q(Sm29=W=Q(ej)Qej)我们的目的是求出(5.41)式中的。，从而得到H(z)。由(5.4.9)式，I仁/P+w1、2zZT。(ZT)=/=(n)4对于给定的P,我们可求出上式右边的多项式，其所有的零点应共同属于。和Q(Z7)。
24、此时，我们自然会想到在第七章用过的谱分解。我们可将单位圆内的零点赋予。，将单位圆外的零点赋予Q(ZT),这样，Q(Z)是最小相位的，于是符合共扼正交条件且具有P阶消失矩的”。可以求出。从而。和也可递推求出。现举例说明DaUbeChieS小波设计的过程。例5.4.1令P=L求DB小波”及对应的尺度函数”。解：由(5.4.4.)式，因，=1,所以=0,故Q(Z)=再由(5.4.1)式，有4HO(Z) =万(1 + 尸)即/(0)=22,(l)=22o由5.2节由力。()求阿)的方法，我们有%5)=(y)2l,l*l,0,l=(y-)2l,1,1,1%5)=0()*曰1,0,0,0,1=(曰)31,
25、1,1由定理5.2,。和力。()有着相同的支撑。在本例中，%()的支撑是。吐所以阿)的支撑范围是y01。将()除以(祀/2)、让f=0l内的分点数等于的长度，于是得4)=10zl0 其它由(45.6)式，可求得似外=由=叵%(n)t-n)=(t)-(t-l)10rl2次)=11l2r6时，直接求解出Ho(J)是相当困难的。Daubechies给出了N=2K时Q(V)的求解方法：Q(ej)=X(K+n+1Ysin2打+fsin2)5.9)”=01J2/12J式中/(/)的选择是保证求出的(小)要满足(5.4.2)式的功率互补关系。mCoifNh小波对应的”。的系数见文献5,图5.5.2给出了N=4,6,8,10时。和的波形。将这些波形和图5.4.1相比较，可以发现CoifN小波的支撑范围变宽，但具有更好的对称性。UCIl/1卜图5.52N=4,6,8,10时“CoifN”小波对应的火。和的波形
