《分布函数专题练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分布函数专题练习题.docx（23页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、习题二3 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；(3)133PX-,P1X-,P1X-,P1XC35XO12P22351213535(2)当XVo时，F(x)=P(Xx)=022当0vd时，F(x)=P(Xx)=P(X=O)=一3534当lx2时，F(x)=P(Xx)=P(X=O)+P(X=I)=35当x22时，F(X)=P(Xx)=1故X的分布函数O,XCOOxllx22235产(X)=I34351,x2P(1X)=F()-F(I)=MMo3312P(1X)=P(X=1)+P
2、(1X)=-341P(1X2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1-=0.4 .射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=O)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C；(0.8)2().2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数r0,x00.008,OxlF(X)=0.104,lx20.488,2x0为常数，试确
3、定常数（2）设随机变量X的分布律为PX=k=aN,k=,2,，M试确定常数【解】（1）由分布律的性质知OOQO2kI=XP(X=Z)=jt=ohoK.(2)由分布律的性质知NN,I=NP(X=k)=七=a*=lk=iN即a=.6 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.607,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令分Y表示甲、乙投中次数,则X1(3,0.6),yb(3,0.7)(1) p(x=y)=p(x=o,y=)+P(x=,y=i)+X=2,y=2)+P(X=3,y=3)=(0.4)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2GO.7(0.3)2+
4、C；(0.6)2o.4C；(0.7)20.3+(06)?(07)3=0.32076(2)p(xy)=P(x=,r=0)+P(x=2,y=0)+P(x=3,y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,y=2)=C;0.6(0.4)2(0.3)3+C(O.6)2O.4(O.3)3+(0.6)3(0.3)3+C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2+(0.6)3C0.7(0.3)2+(0.6)3C(0.7)203=0.2437 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某
5、一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X4(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(XN)0.01200即EGOo(0.02)a(0.98)2-a0.01JI=N+1利用泊松近似=np=2000.02=4.e-44*P(XN)邑Z30000)=P(X15)=1-P(X14)由于很大，P很小，儿=秋=5,故用泊松近似，有14p-515)1-0.000069jt=ok!(2)P(保险公司获利不少于100oO)=2(3000020OOX10000)=P(X10)IOe-5y0.986305k!即保险公
6、司获利不少于100(X)元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000)=P(30000-2000X20000)=P(X5)5y-0.615961Jt=OK.即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为/(x)=Ae-w,-+,求：(I)A值；(2)POX1);(3)F(x).【解】(1)由*)dx=l得1=AeTMdX=2AeTdX=2A(3)p(0Xl) = l;当 x0 时，F(x) = Ig当 入20 时，F(x) =x0A = L2F(x) =1 V2，-ex2017 .在区间O,上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在O,al
7、中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知XU0,小密度函数为/W = p,0,0x其他故当xa时，F(x)=1即分布函数O,F(x) = 0xax3)=C=I故所求概率为P =1-+ 3202719 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(1).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以V表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出V的分布律，并求PY21.【解】依题意知X,即其密度函数为一、-ex0/(x)=p0,x0该顾客未等到服务而离开的概率为P(X10)=ze7dx=e2y伙5,e-2),即其
8、分布律为p(y=%)=C：(e-2(l-e2)w=0,1,2,3,4,5P(r1)=1-P(y=0)=1-(1-e2)5=0.516720 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有F小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】若走第一条路,X-N(40,IO2),则(r-40604()、P(X60)=I=0(2)=0.97727若走第二条路，XN(50,42),则P(X60)=岂
9、.)=(2.5)=0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若XN(40,IO2),则(X-4045-40AP(X45)=2()J=0(0.5)=0.6915若XN(50,42),则4JX-5045-50、不/、P(X45)=P=(-1.25)I44)=1-(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21 .设XN(3,22),(1) 求P2X5,PT2),PX3);(2)确定C使PXc=PXc.(2-3X-35-3、【解】P(2X5)=PI222J=(1)-=(1)-1+=0.8413-1+0.6915=0.5328(-4-3X-3103、P(-4X10)=pm2)=
10、P(X2)+P(X3) = P(d-) = l-(0) = 0.5c=322 .由某机器生产的螺栓长度(Cm)XN(10.05,0.062),规定长度在0.050.l2内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P( X-10.051 0.12) = PX-10.05 0.12、0.060.06=1-0+(-2)=21-(2)=0.045623 .一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,/)，若要求P120VX20020.8,允许。最大不超过多少？【解】P(120X200) = Pf!20-160X-160200-1603);求分布密度/(x).(2)P(X2)=F(2)=l-
11、e-2zlP(X3)=1-尸=1-(1-e3zl)=e3zl f(x) = F(X) =e-x0,0 x025.设随机变量X的概率密度为X,2 xt0,0 x 1,1 X 2,其他.求X的分布函数尸(外，并画出了CO及尸Gr).【解】当x0时产G)=0当ox时F(x)=(r)dr=/(r)dr+j7(r)d/当1X2时F(x)=()dr=(0dr=(r)dr+7(r)dr=ordrv(2-r)drXC,=2x-l2当x22时F(X)=/山=1J-QOx0Oxllx0;bx,OX1,於)二,lx0x0Ze-ZlX2，即密度函数为fM=-ex12J1当XWO时F(X)=v/(x)dx=J：FdXJ
12、eZX当x0时F(x)=/(x)dx=J：IeZVdX+J；IeY”也= l-e 2-x故其分布函数1e,x0EV、2尸)二久%012由1=5/8让=【：&dx+J：gdx=g+；得b=即X的密度函数为X9Ox1f()=-,x2x-0,其他当0时F(x)=O当(Xx1时F(x)=/(x)dx=/(x)dx+JO/(x)dr当1x2时F(x)=f/(x)dx=J-COJ-OOOdr+xdx+-dx31=2%当x22时尸（x）=1故其分布函数为0,2XF(X)=32Xx0Oxllxz)=0.01l-(za)=0.010(Za)=O.09Za=2.33(2)由P(XZ)=0.003得1一0(Za)=
13、O.003即。(Za)=O.997查表得Za=2.75由尸(XZ42)=00015得1-(z2)=0.0015即(zz2)=0.9985查表得zff/2=2.9628.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9P(K=O)=P(X=O)=I117P(K=I)=P(X=-I)+P(X=1)=-+=61530P(y=4)=P(X=-2)=尸(Y=9)=P(X=3)=U故y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设PX=Z=(L汽七1,2,令2U1,当X取偶数时Y=U-1,当X取奇数时求随机变
14、量X的函数Y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=2k)+=(一)2+(g)4+(g)+30.设XN(0,1).(1)求Y=ex的概率密度；(2)求y=2X2+l的概率密度；(3)求Y=IXl的概率密度.【解】(1)当)W0时，Fy(y)=P(Yy)=O当y0时，Fr(y)=P(Yy)=P(eA0dyyy2P(r=2x2+i)=当y时F(y)=P(Y0时写(y)=P(Xy)=P(-yXy)=(x)dxJ-y故4(y)=；4(y)=A(y)+人(-y)ay=-=e-2,y0232.设随机变量X的密度函数为2x八,0X,於山20,其他试求y=sinX的密度函数.【解】P
15、(0ri)=当yWO时，F(y)=P(Yy)=O当0产1时，F(y)=P(Yy)=P(sinXy)=P(OXarcsiny)+P(-arcsinyX)parcsiny2x,12x,=dx+dxJQ兀-arcsiny兀，=-(arcsiny)2+1-!y(-arcsiny)2Tr2=arcsiny当y21时，F(y)=故y的密度函数为(21八I-*/Oyl(y)=-y0,33 .设随机变量X的分布函数如下： (1)x (3).1尸(X)=TTF，试填上,项.【解】由IimF(X)=I知填1。由右连续性IimF(x)=F(x0)=1知XO=0,故为0。-f从而亦为0。即F(X)=Jl+/1,x03
16、4 .同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设4=第i枚骰子出现6点)。(i=l,2),P（八）=L且A与A2相互独立。再设C=每次6抛掷出现6点。则P(C)=P(AiIJA2)=P(A.)+P(A2)-P(Ai)P(A1)1 - 61 - 3 -1 - 6X1 - 6故抛掷次数X服从参数为U的几何分布。3635 .随机数字序列要多长才能使数字O至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含个数字，则X加40.1)P(Xl)=l-P(X=0)=l-C(0.1)(0.9)0.9即(0.9)0.1得心22即随机数字序列至少要有22个数字
17、。36 .已知0,0,F(x)=X一,0X但是尸(X)在40处不连续，也不是阶梯状曲线，故尸(外是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37 .设在区间4力上，随机变量X的密度函数为贝X)=SiIu,而在。力外，/(x)=0,则区间等于()（八）0,2;(B)O,；3(O-2,0;(D)0,-.272【解】在0,5上SinXe0,且J。SinXdX=I.故x)是密度函数。在0,兀上J：SinMir=21.故危)不是密度函数。在-,O上SinX0,故/()不是密度函数。33在0,5兀上，当兀x兀时，SinXVo,./(%)也不是密度函数。故选（八）e38 .设随机变量XN(0,。2),问：
18、当。取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大？【解】因为XN(O,/),P(l3)=P(l-)=(一)-(一)()=利用微积分中求极值的方法，有g(b)=(-)-)z(一)b31-92211-l22Jl2令e-,z22l-3e-8z22=0得而哈则g(o)02故(O00,x0由于P(X0)=1,故0l-e-2x,即P(0y)=I当y0时，F(y)=O当y21时，F(y)=1当0产1时，Fy)=P(Yy)=P(e-2xl-y)=P(X-lln(l-y)=0-n2e-=y即y的密度函数为”、0y启四寸。，其他即Y-U(0,1)41 .设随机变量X的密度函数为3 29, O,Oxl,3x6, 其他.
19、若女使得PX2&=2/3,求2的取值范围.(2000研考)21【解】由尸(X2A)=一知P(Xk)=-33若D,P(Xd)=OMlk1若0W1,P(X4)=-dx=-当上1时P(Xk)=-3若1W&W3时P(XVk)=11+/0(1=!JO3Ji3若32W6,则P(Xk)=fLdx+f-dx=-J。3人9933若Q6,则P(Xk)=12故只有当1W2W3时满足P(X2A)=-.342 .设随机变量X的分布函数为0,x-l,0.4,-1x1,F(X)0.8,1X3,1,x3.求X的概率分布.(1991研考)【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40
20、.40.243 .设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设尸（八）=P,则Xb(3,p)198由P(X21)=一知P(X=O)=(I-P)3二一2727故p=g44 .若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+l=0有实根的概率是多少？【解】2/(x) =，5 O,1 x6其他P(X240)=P(X2)+P(X-2)=P(X2)=45 .若随机变量XN(2,。2),且P2X4=0.3,则PX0=.【解】0.3=P(2X4)=P(小)22=(一)-(O)=(一)-0.5
21、2故(一)=0.8因此P(XO)=P(240)=1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有3a=P(B)=ZP(Ai)P(BAi)=0.0642Z=I由贝叶斯公式有=P(B)=.&)P&)0.009P(B)49.设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布，试求随机变量N=e2x的概率密度加），）.rftelr/J1，12【解】()=b其他因为P(1X2)=1,故P(e2re4)=1当ye2时&(y)=P(Fy)=O.当2勺44时，F(y)=P(Yy)=P(e2xy)=P(lX-lny)=rdx=giny-l当时，Fy(y)=P(Yy)=lO=. Jn)Tye224yeye40, 其他
22、50.设随机变量X的密度函数为fx(x)=tex, %o,O, x 时，(y) = P(Y y) = P(ex y) = P(X In y)1,y1即6(y)=JyO,y故r(y)=5yO,yl51.设随机变量X的密度函数为求K=I-Vx的密度函数力3).【解】F(y)=P(Yy)=P(-ifxy)=P(X(-y)i)=CJ(5 (l + x2)dx = -arctgx1 zl=二-arctg(l-y)一、,、_3 (S /,)l + (l-y)652.假设一大型设备在任何长为，的时间内发生故障的次数N(Z)服从参数为Q的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔7的概率分布；(2)求在设备已
23、经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q. (1993 研考)【解】当0时，F(t) = P(Tt)=0当20时,事件7f)与M0=0等价，有F (0 = P(Tt) = -P(Tt) = -P(N(t) = O) = - ezx耳=l-e2 00,t6TS) = P(T6)/P(TS) = r = e C53.设随机变量X的绝对值不大于1, PX=T=1用，HX=I =14.在事件-lXl出现的条 件下，X在-1, 1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数尸(x) =PXx).【解】显然当T时F (x) =0；而工力时F (x) =1由题知 P(lX
24、l) = l-!- = 28 4 8r +1 当Trl 时，P(Xx-lXl) =(1997研考)此时 F(x)P(Xx)=P(X,-lXl)+P(Xx,X=-l)+P(Xx,X=l)=P(Xx,-lXl)+P(Xx,x=-l)=P(Xx-lX1)P(-1X1)+P(X=-1)xl515/八1-+-=(+1)+-88168当=T时,故X的分布函数80,x-(xl) + -, 168-lxl1,x/(X)=54.设随机变量X服从正态分N(,2),Y服从正态分布M2,疗)，且PUX-PK-2),试比较6与6的大小.(2006研考)解：依题意三二公7V(0,l),上及N(0,1),%2PX-l=P-XfP(Y-2py-闯vi,即RAZ国j尸I丫一4/,即(TG.2
