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1、第一章概率论的基本概念确定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象随机试验：具有下述三个特点的试验：1 .可以在相同的条件下重复地进行2 .每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果3 .进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本点：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件：一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样
2、本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集中不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的关系与运算：设试验E的样本空间为S,而A,B,(k=1,2,)是S的子集。1 .若Au8,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必然导致事件B发生。若AuN且3uA,即A=B,则称事件A与事件B相等。2 .事件AUB=xIx4或XW瓦称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件ADN发生。类似地，称64
3、为事件A，4,，A,t的和事件；称IAa为可列个事件A，4,A=IJt=I的和事件。3 .事件4cB=xIx4且x8称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件AC5发生。ACB记作AB。类似地，称为n个事件A1,4,，4的积事件；称为可列个事件=l=14 ,A2,的积事件。4 .事件A-8=xIA且不任8称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生。5 .若ACB=,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。6 .若ADB=S且ACB=,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件
4、。这指的是对每次试脸而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件彳.A=S-A.设A8,C为事件，则有交换律：AuB=BuA;AnB=BryA.结合律：Au(BuC)=(AuB)UC;AC(BCC)=(ACB)Ce分配律：Au(BcC)=(AdB)C(AuC);An(BuC)=(AnB)U(AnC).德摩根律：ADB=AC5;AnB=AuB.须率与概率须率：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数八，称为事件A发生的频数，比值%/n称为事件A发生的频率，并记成力（八）频率的基本性质：1.0（八）12(5)=13.若4,4,，Ar是两两互不相容的事件，则fn(AiOA2U
5、-OAa)=fn(Al)+w(Ai)概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（八）,称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：1 .非负性2 .规范性：对于必然事件S,有P(三)=I3 .可列可加性：P(AiuA2u)=P(A1)+P(A2)+-概率的性质：1 .P()=02 .(有限可加性)若A，A2,，A”是两两互不相容的事件，则有P(A1uA2uuA,)=P(A1)+P(A2)+P(An)3 .设A,B是两个事件，若AuB,则有P(B-A)=P(B)-P（八）,P(B)P（八）4 .对于任一事件A,P（八）15 .对于任一事件A,有P(X)=
6、I-P（八）6 .对于任意两事件A,B有P(ADB)=P（八）+P(B)-P(AB)一般地，对于任意n个事件4,4,，A“，可以用归纳法得出P(AiuA2uuA,)=YP(Ai)-YP(AiAj)+ZaAJA+=1lijnij0,称P(BIA)=P(AB)/P（八）为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率P(IA)的性质：1 .非负性:P(BIA)02 .规范性：对于必然事件S,有P(SlA)口3 .可列可加性：设片,鸟，是两两互不相容的事件，则有00OOBiIA)=ZP(BjIA)Z=I对于任意事件B,C,有P(BUGIA)=P(BIA)+P(CIA)-P(BCIA)乘法定理：设
7、P（八）0,则有P(AB)=P(BIA)P（八）一般，设1,4,，A”为n个事件，n22,且P(A4八A-)。，则有P(A1A2aAzj)=P(AIA1A2-i)(4-iA4-2)A)P（八）划分：设S为试验E的样本空间，片,与，八纥为E的一组事件，若1. BBj=,i手=2. BBzSBft=S,则称男,与,八纥为样本空间S的一个划分全概率公式：设试脸E的样本空间为S,A为E的事件，综八纥为S的一个划分，且P(Bi)0(i=l,2,n)f则P（八）=P(AIBl)P(Bl)+P(AIB2)P(B2)+P(AIBn)P(Bn)贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2,为S的
8、一个划分，且P（八）0,P(8j)0(i=l,2,3%则PB,IA)=P(AIBjP(Bj)/NP(AIBj)P(Bj)尸先验概率：根据以往数据分析得到的概率后验概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性：设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P（八）P(B),则称事件A,B相互独立，简称AB独立定理一：设A,B是两事件，且P（八）0,若A,B相互独立，则P(BlA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与万，,与B,与万设A,B,C是三个事件，如果满足等式：P(AB)=P（八）P(B)P(AC)=P（八）P(C)P(BC)=P(B)P(C)P
9、(ABC)=P（八）P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。一般，设4,A2,，A”是n(n22)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个，,任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件44,4相互独立。推论：1 .若事件i,A2,，A“(n22)相互独立，则其中任意k(2WkWn)个事件也是相互独立；2 .若n个事件4,4,，A(n，2)相互独立，则将44,，A”中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立(1)排列组合公式匕=3从m个人中挑出n个人进行排列的可能数(tn-n)lC：=-从m个人中挑出n个人进行组合的可能数nl(m-n)!(2)加法和乘法原理加法
10、原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和
11、事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用。来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由C中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母人B,C,表示事件，它们是的子集。C为必然事件，0为不可能事件。不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如荣事件A的组成部分也是事件8的组成部分
12、，CA发生必有事件9发生)：AUB如果同时有4uB,BnA,则称事件力与事件8等价，或称力等于B：A=B0A8中至少有一个发生的事件：力U民或者小民属于力而不属于3的部分所构成的事件，称为力与8的差，记为A-Bt也可表示为HT8或者AB,它表示A发生而不发生的事件。A.5同时发生：Hn6,或者4氏AB=0,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为司。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)(BUC)(AUB)C
13、=(AC)U(BC)88_A,=IJa_德摩根率：=1i=AUB=AnB,A11B=AJB(7)概率的公理化定义设C为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（八）,若满足下列三个条件：lo0P（八）l,2oP(C)=13对于两两互不相容的事件A,4,有AP（八）3=JZ=I常称为可列(完全)可加性。则称P（八）为事件A的概率。(8)古典概型1oQ=幼ico2G.，2P)=尸(0)=P(%)=Ln设任一事件A,它是由叼2例”组成的，则有P（八）=(1)U(0,则称些为事件A发生条P（八）件下，事件B发生的条件概率，记为尸(8/A)=婴兽。P（八）条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适
14、合于条件概率。例如P(。/B)=InP(万A)=I-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P（八）P(BZA)更一般地，对事件A,A2,-An,若P(AAE)0,则有P(AlA2.AQ=P(ADP(A21AI)P(A31AiA2)P(AnAiA2.4)。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、3满足P(AB)=P（八）P(B),则称事件A、8是相互独立的。若事件A、8相互独立，且P（八）,则有P(BIA)=迹=P（八）P(B)=P（八）P（八）若事件A、8相互独立，则可得到K与8、A与豆、可与否也都相互独立。必然事件C和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件
15、的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P（八）P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P（八）并且同时满足P(ABC)=P（八）P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件以&,B”满足1oBhBa,Bl两两互不相容,P(Bi)0(/=LZM,AUoB2o,(分类讨论的则有P（八）=P(B)P(AlBi)+P(B2)P(AB2)+P(B)P(ABQo(16)贝叶斯公式设事件B,Ih,&及A满足loBi,A，&两两互不相容，P(Bi)0,i=if2,，AUUB2。日,尸（八）,(已经知道结果求原因则尸5,公P(Bi
16、)P(A/Bjroj/A)=9119乙，IloXP(By)P(AZBy)此公式即为l叶斯公式。P(Bi)f(/=1,2,n),通常叫先验概率。P(BiZA)9(/=1,2,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足7 .每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；8 .次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；9 .每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则N发生的概率为=用仆)表示重伯努利试验中A出现AK)次的概率，P(k)=CXPFj,Z=O,1,2,0
