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1、第6章平面图形的认识（一）考点归纳知识梳理厂!基本特征：端点个数.延伸性IT些本事实：两点之间/短；两点-条直线卜线段大小的比较：便过法和法-I线段的中点：把一条线段分成两条的线段的点r余角：如果两个角的和是一个角,那么这两个题互余I姬、射线、直线平面图形的认识余角、补角、对项向平行同角（等角）的余角相等;同角（等角）的补用相等补角：如果两个角的和是一个角,那么这两个角互补对顶角：个角的两边是另一个角两边的对顶加相等慨念：在同一平面内的两条立线基本事实：过直线外点有旦只有一条直线与这条有线平行概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是那么这两条宜线互相垂直基本*实：过一点TnL只有条直线与
2、已知立线垂直点到直线的距离：直线外点到这条直线的的长度重难点分类解析考点1与线段中点有关的分类讨论【考点解读】当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分类讨论求解，将不同情况结合归纳得出正确结果.例1在一直线上有A8,C三个点，M为43的中点，N为BC的中点,若AB=a,BC=b,试用乃表示线段MV的长.分析:本题要根据A,B,C三点的位置关系分三种情况讨论.解答:如图，MN=J(A3+8C)=L(a+b)；22如图，MN=-(BC-AB)=-(b-a)(ba)；22如图，MN=-(AB-BC)=-(a-b)(ab).22AMBNCCNAMBA
3、MCNB【规律技法】解答本题的关健是搞清题意，以免分类不全面，造成错误.【反馈练习】1.已知线段AB=100Cm,M为A8的中点，在AB所在直线上有一点P,N为AP的中点,若MN=I5cm,求AP的长.考点2角的度量与换算【考点解读】1周角=360平角=180,1=60,1=60.例2计算：(l)77o42,-32o45r;(2)把56。24化为度；253612x4;(4)109o24,6;(5)把3.62。化为度、分、秒.分析:运用角的进制.角的加减:同位进行加减，满60向高一位进“1”，不够减向高一位借,“1”当“60”；角的倍数:将度、分、秒分别相乘再整理进位;角的百分之几计算(除法),
4、从高位往低位运算，不能整除的余值乘60加到下一级后再做除法运算.解答:77o42,-32o45r=42o57r.(2) 56o24,=56.4o.(3) 25。3612乂4=100o144/48*=102。2448.(4) 109o24,6=18o14z.因为因=60,所以0.62。=60X0.62=372.因为l=60,所以02=60x0.2=12，所以3.62。=3。3712.【规律技法】度、分、秒间的互化要遵循“从高位向低位化，用乘法;从低位向高位化，用除法”的原则.【反馈练习】2.用度、分、秒表示：44.16=；(55)=.(2)用度表示：3215=；68。4536=.点拨:满60进1
5、,借1变60.考点3方向角的应用【考点解读】我们常利用角的有关知识来解决实际生活中的应用问题，此类题目有利于培养我们联系生活实际的能力.例3测量员沿着一块地的周围测绘，从点向东走600m到点B,再从点B向东南走500m到点C,再从点C向西南走80Om到点。，用0.5Cm代表100m画图，求DA的长(精确到10m)和DA的方向(准确到1).分析:根据题意正确画出图形是解决此类题的关健.解答:根据题意画出图形，如图：用刻度尺量得DAn5.0cm,实际上D4=5.005X100=1000(m),用量角器量得点A在点。的北偏西23的方向上.【规律技法】北偏东45(即角平分线)方向也说成东北方向，西北方
6、向即北偏西45方向，西南方向即南偏西45方向，南偏东45方向即东南方向乂2)一般地，用角度表示方向时，在哪一点观测就在那一点重新画出互成直角的南北向的直线和东西向的直线，这是解决连续观测的关键乂3)无论观测点选在何处，所画的南北方向的直线都平行，东西方向的直线也都平行.【反馈练习】3.一只蚂蚁从点O出发，沿北偏东60方向爬行2cm,碰到障碍物3,又沿北偏西60方向爬行2cm到点C.(1)请画出蚂蚁的爬行路线；(2)点C在点。的什么位置?测量出点。离点。有多远?(精确到1cm)点拨:每一次变方向都必须画一个新的十字方向标.考点4与角有关的规律探索【考点解读】角的有关问题与线段的有关问题有许多类似
7、之处，如数线段的方法同样适用于数角，用方程进行线段的有关计算也同样适用于角度的计算等.例4如图，NAQB=90。,NAOC为NAOB外的一个锐角，且NAOC=30。，射线OM平分4B0C,0N平分ZAOC.B求NMON的度数；如果中NAQB=,其他条件不变，求NMQV的度数；如果中NAOC二/(夕为锐角)，其他条件不变，求NMoN的度数；从的结果中，你能得出什么规律？线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)一设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律.分析:此题是从特殊化的图形中寻求解题的思路，然后回到一般图形中，探求一般规律，这也是我们解决数学问题的
8、一种常用的思考方法.解答：(1)因为NAO3=90。,NAoC=30。，所以ZBOC=ZAOB+ZAOC=90o+30o=l20.因为OM平分ZBOC,所以ZCOM=-ZBOC=-120o=60o.22因为ON平分NAOC,所以NCoN=LNAOC=LX30。=15。.22所以NMON=ZCOM-ZCOn=60o-15o=45o.(2)当NAQ3=,其他条件不变时，仿可得/MON=2a.2仿可求得ZMON=NCOM-NCoN=90-幺=45。.22(4)从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律：NMoN的大小总等于NAQB的一半，与锐角/AOC的大小无关.(5)如图，已知线段A6=,点C
9、在AB的延长线上且8C=M是AC的中点，N是6。的中点，求MN的长.AMBNC规律：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关.【规律技法】根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以特殊化的图形为载体，把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照,依照猜想数式规律的方法得到最终结论.【反馈练习】4. (2017南京期末)如图，OM是NAOC的平分线，QN是230C的平分线.如图，当NAQB=90。，NBoC=60。时，ZMON=1；如图，当NAOB=,NBOC二/时，猜想：NMoN的度数是多少?为什么?点拨:当ZAOB=,ZBOC=用时，计算方
10、法与步骤和完全相同.考点5在网格中画平行或垂直【考点解读】利用构造直角三角形的方法或平移的知识来画网格中的垂线或平行线是行之有效的方法，比单纯观察再画线要显得更为有效.例5在如图所示的方格纸上，有两点P,Q和直线BC.(1)过点P画E尸BC；过点。画G”BC;直线所与GH有怎样的位置关系?说说你的理由.分析:在网格图中利用平移的知识画平行线.解答:如图所示:FI：PzxEFGH.理由如下:因为EFBC,GHBC,根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以EFGH.【规律技法】可以利用平移的知识来画平行线(要求具备一定的对应关系).【反馈练习】5. (2017徐州期末)
11、如图，方格纸中每个小正方形的边长为ICm,A,8,C均为格点.过点C画48的平行线CD,(2)过点C画48的垂线，垂足为E;连接CACB，则ABC的面积=cm2.点拨:通过平移画平行线;利用构造直角三角形的方法画垂线;利用割补法求面积.易错题辨析易错点1求线段长度时考虑不全面例1如图，已知线段AB=I0,C是AB的中点.(1)求线段BC的长；(2)若点力在直线48上，BD=2.5,求线段CO的长.IIACB错误解答：(1)因为线段48=10,C是48的中点，所以3C=a3=5.2如图：IIi-IACBD因为BC=5,BD=2.5,所以CD=8C+3Q=7.5.错因分析:没有讨论点D在线段AB上
12、和点。在48延长线上两种情况.正确解答：(1)因为线段48=10,C是48的中点，所以3C=a3=5.2如图，当点。在线段AB上时，I111ACDB因为BC=5,BD=2.5,所以CD=BC-3。=2.5；如图，当点。在线段AB的延长线上时，因为BC=5,BD=2.5,所以CD=BC+30=7.5.综上所述，线段CZ）的长为2.5或7.5.易错辨析:在求线段的长度时，若没有给出图形，则要注意分类讨论;若给出图形，就不需要分类讨论.易错点2角度计算考虑不全面例2已知NAQ3=90。，OC是从ZAOB的顶点。引出的一条射线，若ZAOB=IABOC,求NAOC的度数.错误解答:如图所示：因为ZAOB
13、=2ABOC,ZAOB=90,所以ZBOC=-90=45,所以2ZAOC=ZAOB-ZBOC=90-45=45.错因分析:没有考虑OC在ZAOB外部时的情况.正确解答:由题意可知ZBOC=45.如图，当OC在NAOB的内部时，ZAOC=ZAOB-ZBOC=90-45=45：如图，当OC在的外部时，ZAOC=ZAOB+ABOC=135.综上所述，NAOC的度数为45或135.易错辨析:当图形的位置不明确时（尤其是在没有附图的情况下），需要对可能的位置进行讨论,不能简单地根据数量关系就进行判断.如本题中的“OC是从NAQB的顶点。引出的一条射线“，这里有两种可能，即OC可能在NAoB的内部，也可能
14、在NAQ8的外部.易错点3互余、互补的概念理解不清例3若Nl+N2+N3=180,则NI,Z2,N3互为补角.这种说法正确吗?（说明理由）错误解答:正确.理由如下:因为这3个角的和是180.错因分析:互为补角的概念理解不清，互补是两个角之间的关系.正确解答:不正确，因为互补是两个角之间的关系，而题中给出的是三个角之间的关系.易错辨析:互为余角、互为补角是指两个角之间的数量关系，1个角或超过2个角不存在“互余”或“互补”关系.例4如图，已知。是直线AB上一点，OC是任意一条射线，E分别是NAoC和NCQB的平分线.图中NAOD的补角是,/AQE的补角是.错误解答：ZBODZBOE错因分析:漏找了
15、NAQE的另一个补角.正确解答：ZBODZBOE9ZCOE易错辨析:在解此类题目时往往会简单地写出NAQE的补角是/3。E就结束了，显然这是错误的，因为互余和互补是指具有特殊数量关系的两个角的一个定义，也就是说:如果ZA+ZB=180o,那么NA,NB互补，而与NA,NB的位置无关.因此，我们应通过数量关系来找互余和互补.本题中NCOE=N8QE,因此NAQE的补角还有NeOE.易错点4点到直线的距离概念理解不清例5下列图形中，线段PQ的长度表示点尸到直线。的距离的是（）ABCD错误解答:B或D错因分析:对于点到直线的距离的定义理解不清.正确解答:C易错辨析:本题其实可以转化为“找过点尸到直线
16、。的垂线段”，也就是找直线。的垂线段PQ,则垂足必然为点。，由此，则很容易地找出正确的选项.易错点5画图分析能力弱导致漏解例6在直线AB上任取一点。，过点。画射线OC,。，使OCj_。，当ZAOC=30时，NBQD的度数是.错误解答：60错因分析:没有考虑OGQQ在直线AB异侧时的情况.由于题目中没有明确给出OC,OD的位置，故需要分情况讨论：如图，当OeQO在直线AB同侧时，因为OC_LOQ,NAOC=30。，所以NBOD=180。-NCQD-ZAOC=60。；如图，当OeOo在直线AB异侧时，因为OC_LODtZAOC=30%所以ZBOD=180o-ZAOD=180o-（ZDOC-ZAOC
17、）=120.综上所述，ZBOD的度数是60或120.正确解答:60。或120易错辨析:在解没有给出图形的几何题时，需考虑图形位置的所有可能，确保不重不漏.【反馈练习】1 .若Nl与N2互余，Nl与/3互补，N2与N3的度数和等于周角的g,则N1,N2,N3的度数分别是（）A.500,300,1300B.700,20o,IlO0C.750,15,105oD.60,30,120点拨：N1+N2=9O0,N3+N1=18O0.2 .填空:23o3=0;（2）18.3o+26o34,=（用度、分、秒表示）.点拨:逢60进1,1。=6tfJ=60.3 .（2017无锡期末）如图，ZAOB=80o,ZAO
18、C=30%。平分N50C.请依题意补全图形，并求出NAQZ）的度数.AA备用图点拨:讨论当OC在ZAOB内部与外部两种情况.4 .如图，。为直线AB上一点，将直角三角尺OeD的直角顶点放在点。处.若NAOC的度数比ZBOD的度数的3倍多10,求ZBOD的度数；若OE。尸分别平分NBOO,NBOC,试说明：NE。F的度数是一个定值.点拨:第(2)问中，ZEOF=ZBOF-NBoE=-ZBOC-/BOD.225 .(2017徐州期末)如图，。是线段48上一点，B=20cmzBC=8cm.点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B;点。从B出发，以ICm/s的速度沿BA向左运动，终点为
19、A.已知P,。同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点P的运动时间为xs.(1)AC=cm;(2)当X=时，RQ重合;是否存在某一时刻，使得CP,Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的X的值;若不存在，请说明理由.点拨:第问应分3种情况：C为PQ中点；P为CQ中点;。为CP中点.探究与应用探究1数线段或直线的条数例1过平面内四点中的任意两点画直线，可以画几条?点拨:平面内任意四点的位置，可能有三种不同的情况，因此，需要分类讨论.解答:如图，平面内任意四点的位置有三种情况：如图，当四个点中没有三点共线时，可以画6条直线;如图，当四个点中有三
20、点共线时，可以画4条直线;如图，当四个点位于同一条直线上时，只能画1条直线.综上所述,过平面内四点中的任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线.规律提示“数条数”是初学几何时常碰到的题型，主要解题方法是分类讨论，在同一直线上有若干个点，要数线段条数常利用查字母排列的方法进行.【举一反三】1.已知线段48=10cm,AC+BC=12cm,则点C的位置在:线段48上;线段的延长线上;线段BA的延长线上;直线AB外.其中可能出现的情况有（）A.0种B.1种C.2种D.3种探究2握手、比赛问题例2A,8,C,Q,比厂六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A,B,c。,E五个足球队分别比赛
21、了5,4,3,2,1场，则还没有与B队比赛的球队是（）A.C队B.D队C.E队D.F队点拨:用算术或代数方法解，易陷入困境.如图，用6个点表示A3,C,。,瓦尸这六个足球队,若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，这样用图来辅助解题，形象而直观.解答:C规律提示利用“线段图”先将实际问题转化为几何问题，再用几何知识解题是常用的方法.【举一反三】2.陈聪同学热爱学习、肯动脑筋、善于研究，一天他在某课外读物中见到这样一个问题：“某次同学聚会中，共有45人参加，如果每两人都握一次手，那么共握几次手?”陈聪梢加思考后得出了答案，为了解答更一般的问题，他设计了下面的表格进行探究：聚会人数w=2
22、n=3n=4=5握手示意图ABd1.iCB握手次数加m=lW=3加=6m=请你补全上面的表格；猜想握手次数团与参加聚会人数之间的关系，并对你的猜想说明理由陈聪同学见到的这个问题的答案是多少？例3将一副三角尺如图放置，OM平分N4OC,ON平分NDOC.（1）求NMoN的度数；(2)若将含30。角的三角尺换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，中的结论是否改变?(直接写出结论，不必说明理由)点饭:由图可得角之间的关系：NCoM=-ZAOC,NCoN=-4JOD,/MON=ZCON-ZCOM=-NCOD-ZAOC22229由此解答即可.解答:因为QM平分/40。，所以NCoM=JZAoC.2因为ON
23、平分NCQZ),所以NCoN=LNCO。.2因为ZMoN=NCON-NCoM,由此解答即可.所以/MON=-ZCOD-ZAOC=-(NCoO-NAOC)=-ZDOA.2222因为NDQA=45。，所以/MON=-45=22.5.2(2)(1)中的结论不变.规律提示解答本题的难点是找出各角之间的关系，需要结合图形来计算，对画图、分析、计算能力要求较高，在计算过程中注意整体思想的运用.【举一反三】3 .在平面上画N40B=100,NBoC=60。，若OM平分/AOBQN平分ZBoC,则ZMON的度数是.4 .如图，QE平分/408,C为NAoE内一点，ZBOC=IZAOC,若NAOB=II4。，求
24、NEOC的度数.探究4旋转、翻折的角度问题例4如图，要用一张长方形纸片ABCD折成一个纸袋，两条折痕的夹角为70。(即NPoQ=70。)，将折过来的重叠部分粘上胶水，即可做成一个纸袋，求粘胶水部分所构成的NA。8的度数.D,C,点拨:折痕OP,OQ两旁的部分能互相重合，即OP平分NAoA,OQ平分NBQ?,利用此条件即可解答.解答:解法一:折叠后纸分三层.第一层NPOQ=70。；第二层NPoA与第三层NO。之和刚好为70；第三层还有ZAOff.而这些角展开之和为180,所以NAO9=180。-70x2=400.解法二:因为NAOB=180。,NpoQ=70,所以ZAOP+ZBOQ=ZAOB-A
25、POQ=180o-70o=110,即AAOP+ZBtOQ=WOo.所以ZAfOB,=ZA,OP-ZBfOQ-ZPOQ=110o-70o=110o.规律提示图形的折叠是指把某个图形沿一条直线翻折,翻折后的两个图形全等且具备轴对称图形的特殊性质，其折痕所在直线就是对称轴.【举一反三】5 .如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，则Nl=.探究5钟表的角度问题例5钟表在12点时三针重合，经过Xmin后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分,求X的值.点拨:把秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分所得的两个角用含X的代数式表示，通过解方程求出X的值.解答:因为秒针、分针、时针的速度分别为360min
26、,6mn05min,显然X的值大于1而14401440小于2,则有6x360(xl)=360(xl)0.5x,解得x=5,即X的值为一14271427规律提示解钟表上的问题，常用到以下知识:钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每一小格表示Imin,每一小格对应的角度为6,分针每分钟转6,时针每分钟转0.5;【举一反三】6 .某人下午6点多外出购物，表上的时针与分针的夹角恰好为110,下午回家时不到7点,发现表上时针与分针的夹角又是110,则此人外出用了多长时间？参考答案知识梳理线段确定叠合相等叠合射线直平反向延长线不相交一直角垂线段重难点分类解析【反馈练习】1 .AP的长为70Cm或30cm.2 .(1)44。936；55o40,.2 2)33.25；68.76.3 .(1)如图所示(2)点C在点。的正北方向，离点。为2cm.4.(1)45;(2)/MON=a；25.如图所示(3)5cm2.易错题辨析【反馈练习】1 .C2 .(1)23.5o(2)44o52,3 .NAQD的度数为55或25.4 .(1)ZBOD=20。；(2) NEO尸=45。(定值).5 .(1)12;(3)存在，x=4或X=或x=7.探究与应用【举一反三】1 .D2 .(1)10;2. )m=n(n-l)45人共握手990次.3. 20。或804. ZEOC=19.5. 156. 此人外出用了40min.
