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1、正弦定理教学设计颍上一中施培松一、教材分析本节内容支配在一般中学课程标准试验教科书数学必修5（北师大教A版）第一章，正弦定理第一课时，它既是初中解直角三角形在中学学问下的干脆延拓，也是对中学坐标和圆等相关学问的综合运用，是生产和生活中解决实际问题的重要工具。正弦定理给出了随意三角形边角的一个等量关系，它与后面即将要讲授的另一个边角关系一一余弦定理都是解三角形的重要工具。本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在实际教学中，正弦定理这部分内容被分成了三个层次：第一层次老师通过引导学生对实际问题的探究，并大胆提出猜想；其次层次由猜想入手，带着疑问，以及特别三角形中边角的关系的验证，
2、通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例,最终进行简洁的应用。学生通过对随意三角形中正弦定理的探究、发觉和证明，感受“视察一一试验一一猜想一一证明一一应用”这一思维方法，养成大胆猜想、擅长思索的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对我们高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等学问，有肯定视察分析、解决问题的实力，但对前后学问间的联系、理解、应用有肯定难度，因此思维敏捷性受到制约。依据以上特点，老师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后学问间的联系，带领学生干脆参加分析问题、解决问
3、题并品尝劳动成果的喜悦。学生通过对定理证明的探究和探讨，体验到数学理论发觉和发展的过程，进而培育学生提出问题、解决问题等探讨性学习的实力。三、设计思想：培育学生学会学习、学会探究是全面发展学生实力的重要方面，也是中学新课程改革的主要任务。如何培育学生学会学习、学会探究呢？这就要求在教学过程中以学生为主体，充分的发挥学生的主观能动性，也就是使学生在老师的指导下，自主进行思索和探究活动。本节课采纳的是探究式课堂教学模式，即在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为主，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应充分自由表达、质疑、探究、探讨问题的机会，让学生通
4、过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在学问的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。四、教学目标：1 .在创设日常生活的问题情境中，让学生从已有的几何学问和处理几何图形的常用方法动身，由简洁到困难，步步推动，探究和证明正弦定理。2 .通过对实际问题的探究，培育学生视察问题、提出问题、分析问题、解决问题的实力，增加学生的协作实力和沟通实力，发展学生的创新意识，培育创建性思维的实力。3 .相识数学学问之间的相互联系，体会数学学问的不断探究和发展的过程,同时培育学生严谨的数学思维。4 .培育学生合情合理探究数学规律的数学思想方法，通过平面几
5、何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的探究与证明；正弦定理的基本应用。教学难点：正弦定理的探究与证明。六、教学过程：（一）创立情景，导入新课师生活动：老师：展示情景图如图1,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为600例，船在港口C卸货后接着向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，假如船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？学生：思索提出测量角A,C老师：若已知测得N84C=75。，ZACB=45。，要计算A、B两地距离，你（图D有方法解决吗？学生：思索沟通，画一个三角形4?。，使得EC为6cm,N
6、BtACf=750,ZA,CB,=45q,量得4笈距离约为4.9cm,利用三角形相像性质可知AB约为490mo老师：对，很好，在初中，我们学过相像三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。O老师：引导，AABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？学生：思索，沟通，得出过A作AO_L3C于。如图2,把AABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，老师板书。解：过A作AOj.BC于。(图2)在RA8中，sinZACB=AC:.AD=ACsinZACB=60
7、0x=3()()2VZACB=45tABAC=75.ZBC=180-NACBNACB=60sinZABC=-ABAB =AD _ 3002 sin ZABC 5/3=2Q0ym老师：表示对学生赞许，那么刚才解决问题的过程中，若AC=b,AB=C能否用8、b、C表不C呢？老师：引导学生再视察刚才解题过程。学生：发觉SinC=sinB=bc:.AD=ASinC=csinB匕SinC:.c=sinB老师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发觉什么？学生：发觉即然有C=如工，那么也有C=竺羽2,4=史史2。sinBsinAsinB老师：引导C=12,C=竺贬，4=史见4,我们习惯写成对称形式
8、sinBsinAsinB=,=,=,因此我们可以发觉sinCsinBsinCsinAsinAsinB一=上=是否随意三角形都有这种边角关系呢？sinAsinBsinC设计意图：爱好是最好的老师。假如一节课有良好的开头，那就意味着胜利的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特别问题一般化，得出一个揣测性的结论猜想，培育学生从特别到一般思想意识，培育学生创建性思维实力。（二）数学试验，验证猜想老师：给学生指明一个方向，我们先通过特别例子检验/一=竺=一是否成立，举出特例。sinAsinBsinC（1）在A
9、ABC中，ZA,ZB,ZC分别为60。，60,60,对应的边长a：b：W,对应角的正弦值分别为曰，当,引导学生考察，一，上，的关系。（学生回答它们相等）sinAsinBsinC（2）、在aABC中，ZA,ZB,NC分别为45。，45,90,对应的边长a：b：C为1：1：五，对应角的正弦值分别为上，,1；22（学生回答它们相等）（3）、在AABC中，ZA,ZB,ZC分别为30。，60,90,对应的边长a：b：C为卜52,对应角的正弦值分另%,日（学生回答它们相等）（图3）（图3）老师：对于RA3C呢？设 BC=a, AC=b, AB=c,学生：思索沟通得出，如图4,在RtZXABC中,（图4）则
10、有Si五=刍,SinB=2,又SinC=I=ccc则，=上“sinAsinBsinC从而在直角三角形ABC中，=勺=SinJsn6sine老师：那么随意三角形是否有一心=2=呢？学生按事先支配sinAsinBsinC分组，出示试验报告单，让学生阅读试验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（假如学生没有问题，老师让学生动手计算，附试验报告单。）学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过试验数据计算，比较上、一丝、上的近似值。sinAsinBsinC老师：借助多媒体演示随着三角形随意变换，上、，值仍旧sinAsinBsinC保持相等。我们猜想：上二上二，si
11、nAsinBsinC设计意图：让学生体验数学试验，激起学生的新奇心和求知欲望。学生自己进行试验，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。（三）证明猜想，得出定理师生活动：老师：我们虽然经验了数学试验，多媒体技术支持，对随意的三角形，如何用数学的思想方法证明二二一=呢？前面探究过程对我们有没有启sinAsinBsinC发？学生分组探讨，每组派一个代表总结。（以下证明过程，依据学生回答状况进行叙述）学生：思索得出在用AABC中，成立，如前面检验。在锐角三角形中，如图5设BC=a,CA=b,AB=C作：ADlBCt垂足为O11在心A3O中，sinB=ABAD=ABsinB=csinB)在川APC中
12、，sinC=ACAD=ACsinC=AsinC.csinB=Z?sinCcbsinCsinB同理，在A8C中，_=sinAsinCabcsinAsinBsinC在钝角三角形中，如图6设Ne为钝角,作4。_LBC交BC的延长线于Dn在用AO8中，SinB=AB:.AD=ABsinB=csinB)在用AAOC中，sinZACD=AC.AD=ACsinZACD=/?sinZACB.csinB=bsinZACBcbsinZACBsinB同锐角三角形证明可知6w匕sinC600sin45。sinBsin60o（五）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成学问的完整性老师：一般地，把三角形的
13、三个角A、B、C和它们的对边。、b、C叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的学问，新的定理，解决问题更便利，更简洁，激发学生不断探究新学问的欲望。（六）运用定理，解决例题师生活动：老师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：探讨正弦定理可以解决的问题类型：假如已知三角形的随意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，OSinj4sin8假如已知三角形随意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如/a.Csin/1=-siob师生：例1的处理，先让学生思索回答解题思路，老师板书，让学生思索主要
14、是突出主体，老师板书的目的是规范解题步骤。例1：在A3C中，已知A=30。，8=45。，a=6an,解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为18（F求出第三个角NC,再由正弦定理求其他两边。例2：在ABC中，已知=2,7=23,A=45o,解三角形。例2的处理，目的是让学生驾驭分类探讨的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充沟通学生：反馈练习（教科书第5页的练习）用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热忱和动力，使学生体验到胜利的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要探讨”的主动学习。（七）尝试小结：老师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思索沟通，归纳总结。师生：让学生尝试小结，老师刚好补充，要体现：（1）正弦定理的内容（，_=丝二，=2R）及其证明思想方法。sinAsinBsinC（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类探讨的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培育学生的归纳总结实力和语言表达实力。（八）作业设计课本习题A组第1、2题。思索题：例2：在ABC中，已知=2,b=2币,A=45o,解三角形。例2中人=2分别改为八2#=火并解三角形,视察解的状况并说明出现一解,两解，无解的缘由。
