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1、锐角三角函数一一正切（义务教化数科书北师大版九年级下录第一幸第一节）一、本课教学内容和内容解析（一）教学内容：本节课是北师大版教材九年级（下）第一章直角三角形的边角关系第一节锐角三角函数的第一课时正切.（二）内容解析1 .教学内容的本质本章内容是三角学中的基础内容.锐角三角函数与以前学过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，并且用符号来表示一种函数对学生来讲还是第一次.本节课主要是介绍锐角三角函数中的正切，其中渗透着转化、分类、数形结合、建模、函数等数学思想和方法.锐角三角函数与勾股定理一样都是解直角三角形很重要的学问内容之一，它揭示了直角三角形中边与角之
2、间的关系，被广泛应用于测量、建筑、工程技术和物理学中，主要是计算距离、高度和角度.正确相识锐角三角函数，是学好解直角三角形的关键，也将为以后接着学习三角函数奠定必要的基础.本章内容恰好是进行数形结合的志向材料.而数与形的结合不仅是数学自身发展的须要，也是加深理解数学学问，发展数学实力的须要.在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都应要求学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解.2 .教材的地位以及作用从数学课程标准看，本节是“空间与图形”领域的重要内容.驾驭锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法是学习三角函数和解斜三角形的重要基础.同时，锐角三角函
3、数建立了锐角与比值之间的一一对应关系，通过学习可以使学生对函数的定义域、值域有进一步的相识，对函数的基本概念有了更深刻的了解.本节正切函数的学习是学生探讨锐角三角函数的起点，正切函数的概念为后面学习正弦函数和正切函数的概念供应了思想上和学习方法上的引导.二、教学目标和目标解析（一）教学目标1.学问与技能（1）经验探究直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.(2)能运用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够运用正切概念进行简洁的计算.3 .过程与方法(1)经验探究直角三角形中的边与角的关系，培育学生由特别到一般的演绎推理实力，逐步学习利
4、用数形结合的思想分析问题和解决问题.(2)通过学生自我发觉培育学生的自我反思实力，通过提出困惑提升学生发觉问题的实力.4 .情感看法价值观(1)在主动参加探究概念的过程中，发展学生的合情推理实力和合作沟通、探究发觉的意识.(2)培育学生独立思索的习惯、合作探究以及使学生获得胜利的体验，建立自信念.5 .教学重点：正切概念的探究6 .教学难点：(1)在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；(2)理解正切的概念.(一)目标解析新一轮课程改革明确地指出数学教学要达到三维目标的统一，即学问与技能，过程与方法，情感看法价值观的统一.教学
5、目标的重新定位，不仅是关注学问技能的获得，更留意学生经验体验学问的产生、形成、发展的过程和留意对学生情感看法价值观的培育，从而培育学生发觉问题解决问题的实力，以及创新思维，基于如上考虑，我将本节课的教学目标设定为有机联系的三个层次.1.将“学问与技能”中的“理解正切的意义、能运用tanA表示直角三角形中两直角边的比，能够运用正切概念进行简洁的计算”定为本节课必需达成的目标；2,将“过程与方法”中的“经验探究直角三角形中的边与角的关系，培育学生由特别到一般的演绎推理实力”和“情感看法和价值观”中“在主动参加探究概念的过程中，发展学生的合情推理实力和合作沟通、探究发觉的意识”定为一个中期目标，按部
6、就班的达成；3.将“情感看法和价值观”中的“在探究概念的过程中培育学生独立思索的习惯、合作探究的习惯以及使学生获得胜利的体验，建立自信念”以及“过程与方法”中的“通过学生自我发觉培育学生的自我反思实力，通过提出困惑提升学生发觉问题的实力”定为一个长期目标持续坚持下去，从而内化成学生自身具备的一种习惯.三、教学问题诊断分析学生已经学习了三角形、相像三角形、勾股定理以及函数相关学问，为学习锐角三角函数奠定基础的同时具备了肯定的逻辑思维实力和推理实力.在学习过程中学生可能遇到一些困难，下面我将学生可能遇到的困难以及应对措施叙述如下：困难:本节学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，学生很难想到在直角
7、三角形中，用边的比来刻画梯子的倾斜程度，锐角的增大，这个角的对边比邻边的比值就增大应对措施：实行试验探究的方式学生在试验探究的过程中经验自己独立感受并思索，小组合作沟通，老师指导的过程逐步理解，然后在通过由特别到一般（锐角的对边相等邻边不同，锐角的邻边相同对边不同，锐角的邻边对边成比例，锐角的对边邻边不同且不成比例四个例子）方法进一步感受。这种由特别到一般的过渡，可以使学生有较多的机会体验：对边和邻边的比可以刻画梯子的倾斜程度即锐角增大，这个角的对边比邻边的比值就增大。这为相识正切函数的概念铺设了必要的台阶.困难：对正切概念的理解.学生能理解在直角三角形中，当锐角固定时，其对边与斜边的比值就固
8、定，但将这一过程与改变的过程联系起来有一困难，也就是与函数联系起来有肯定困难，因此对正切概念的理解存在困难.应对措施：在第一个探究活动理解锐角增大，这个角的对边比邻边的比值就增大的基础上，引入其次个探究活动，让学生利用相像的学问体会改变过程中体会：无论直角三角形的大小如何，每固定一个角度，都有唯一的一个比值与之相对应.从而建立直角三角形中锐角与比值之间的对应关系.在这个过程出奇妙地设计问题引导学生将新知与旧知（函数学问）联系起来，从而更好的理解锐角三角函数中的正切概念.四、教学支持条件支持分析在教学中实行才智教室系统软件，可以实现电脑自动挑人，学生抢答，即问即答，并且可以干脆显示学生的答题状况
9、，每小组一本平板电脑用于接收老师传给的文件或图片也可以上传自己小组的作品，有效实现师生互动、生生互动，老师的手机可以和才智教室系统连接,可以操控整个系统，并且可以通过拍照实时上传学的作品或是学生现场活动的视频。我校硬件设施齐全，条件基础良好，在教学中能充分发挥多媒体技术的优势，因此所设计方案具有可行性并达到预期的教学效果。五、目标检测设计1 .通过电脑随机选人，学生的抢答，检测学生的学习目标完成状况.2 .通过即问即答，电脑干脆生成条形统计图显示学生的答题状况，并且可以细化到每个学生的选项，更加干脆的了解了学生的学习目标完成状况3 .通过组内选择优秀作品上传，实现组内评价目标完成状况4 .借助
10、于遥控器，让学生给自己的学习打分了解学习自己对自己的评价，从而了解整节课的目标达成状况六、教学过程锐角三角函数一一正切一、创设情境、引入新知（一）回顾旧知1.在以前的学习中咱们探讨了三角形，探讨了特别的三角形，特别三角形中等腰三角形已经探讨透彻了，但是直角三角形咱们还探讨的还不够，从这节课起先咱们就借助于三角函数来接着探讨直角三角形。问题：（1）同学们还记得咱们学过了了哪些与直角三角形的有关学问吗？请同学们思索一下！（2）在以前以前学习中我们学习了直角三角形中边的关系，学习了直角三角形中角的关系，那么直角三角形的边与角有没有关系呢？5 .从这节课起先咱们就借助于三角函数来探讨直角三角形边角关系
11、，老师出示课题老师活动：提出问题，展示学问树，用才智教是系统挑人功能找学生回答问题学生活动：主动思索回答老师提出的问题，总结旧知，为新知的学习打下基础设计意图：让学生整体了解三角形的学问体系，领悟学习三角函数的必定性（二）创设情境，引入新知1 .老师用多媒体展示生活中梯子的图片2 .问题1：梯子是我们日常生活中常用的工具，你能从这幅图片中抽象出直角三角形吗？问题2：在运用梯子的时候，有时须要放得陡一些，有时须要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？老师活动：1.运用才智教室抢答系统确定学生2.说明抽象出的直角三角形：墙和地面看成是直角边，梯子看成是斜边。从梯子的顶端到墙角的距离，称为
12、梯子的铅直高度，从梯子的低端到墙角的距离，称为梯子的水平宽度梯子与地面的夹角称为倾斜角学生活动：依据老师提出问题构建数学模型，能从模型中找出知道铅直高度，水平宽度,倾斜角设计意图：由学生熟识的梯子入手引入新课，激发学生的学习爱好，体现数学源于生活,同时紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究中让学生整体了解三角形的学问体系，领悟学习三角函数的必定性。在这个过程中发展学生的建模思想二、探求新知，发觉规律（一）探究试验试验工具：课本、直尺试验过程：用课本做墙壁，尺子当梯子，进行模拟探究.模拟梯子由“缓”变“陡”的过程。试验思索：1、梯子在上升变“陡”的过程中，直角三角形中哪些量发生了改变？2、什么量确定
13、梯子的倾斜程度？结论：1.倾斜角越大，梯子越陡.2.铅直高度与水平宽度比值越大，梯子越陡.老师活动：1老师巡察学生的试验状况给与帮助指导，帮助学生建立倾斜角和水平宽度与铅直高的比值可以刻画梯子的倾斜程度学生活动：1.依据老师提出问题构建数学模型，把梯子的倾斜程度问题转化为与铅直高度，水平宽度，倾斜角有关的问题2.独立动手试验并思索后，与组内同学沟通自己的发觉，最终小组达成共识设计意图：在试验探究的过程中让学生去体会量改变，感受倾斜角和铅直高度与水平宽度比值可以刻画梯子的倾斜程度，同时为三角函数的讲解和正切的定义打下基础（二）做一做1.老师多媒体展示图1图1中，梯子AB和EF那个更陡？你是怎么推
14、断的？（老师用才智教是系统复制进行平移）2 .老师多媒体展示图2图2中，梯子AB和EF那个更陡？你是怎么推断的？3 .老师多媒，力/图3中，梯5m/6n走？你是怎么推断的？4 .老师4E/P图4中/I/更陡？你是怎么推断的？5结论，倾4Fl金一。与邻边之比越大图3老师活动：1.依据学生的回答赐予点拨和评价，引导学生感受由特别到一般的过程，并引导学生用平移和相像解决等数学方法来问题，使学生能够理解可以角和对边和邻边的比来刻画梯子的倾斜程度2.运用才智教室系统的抢答功能挑取学生会答问题学生活动：1.主动思索，用不同的方法解决问题，感受由特别到一般的过程，明白多种数学方法2.通过独立思索，合作沟通明
15、确结论设计意图：从图1到图4,四个问题由浅入深，由简洁到困难，步步深化，环环相扣，引人入胜.学生们在用试验结论和有关学问解决问题时，特别自然地感悟了用“铅直高度和水平宽度的比值”来刻画梯子的倾斜程度，并逐步升华为倾斜角越大，角的对边与邻边之比越大,为三角函数的学习进一步打好基础.（三）想一想1 .如图,小明想通过测量Be及AClt算出它们的比,来说明梯子粉的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量BG及AC2i算出它们的比,也能说明梯子ABl的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？2 .结论：当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这个比只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关老师活动：启发学生用相像的学问来
16、解决问题，引导学生用精确的语言归纳猜想.学生活动，通过相像去证明角确定，角的对边与邻边之比也就随之确定活动目的：培育学生的论证意识，提高学生自己设计探究活动的实力，通过证明相识到“在直角三角形中，当锐角A的度数肯定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与邻边的比也是一个固定值”的结论，从而引出“正切”的概念，突出重点.三、给出概念1.请同学们自学课本第4页第1段，尝试驾驭角的正切的符号、读法及表示的意义.3 .正切：在RtAABC中，假如锐角A确定，那么NA的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做NA的正切(tangent)记作tanA.驾驭tan留意的问题：(1) tanA中常省去角的符号。(2
17、) tanA没有单位，它表示一个比值。(3) tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。(4)在初中阶段，tanA中，NA是一个锐角。老师活动：明确三角函数定义，教会学生正确读出tanA学生活动：自读课本，在前面学习的基础上理解定义，会写，会读tanA,驾驭tanA留意的问题，活动目的：概念的引入已是水到渠成，让学生在一系列的问题解决中，经验一个数学概念形成的一般探讨过程.通过学生的自学，培育学生的自学实力以及小组合作学习的意识，同时相互补充驾驭正切的相关学问.3 .三角函数的由来：16世纪，德国数学家雷提库斯把锐角三角函数定义为直角三角形的边长之比，并采纳了六个函数(正切、正弦、
18、余弦、余切、正割、余割)。三角函数在建筑,航海及天文等方面测量、计算中有着重要的作用.活动目的：渗透数学文化4 .议一议前面我们探讨了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？N4越大，tar“越大，梯子越陡.活动目的：活动的设计意在通过学生的充分沟通探讨思索，进一步加深学生对正切值与梯子的倾斜度之间关系的理解.四、跟踪训练练习1.如下三幅图，在RtABC中，N90,求tan4和tan8的值.2 .推断对错:如图1:(1)tanA=()AC如图2：(2)tanJ=0.7m()3 3)tan庐W()73.如图,在Rt中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,IanA的值()4扩大100倍笈
19、缩小100倍C不变不能确定老师活动：1.多媒体展示题目并传到学生的平板电脑上，老师巡察关注基础薄弱学生指导他们正确解题2 .通过题目的讲解让学生进一步明确所学学问，驾驭解题方法，3 .操作好才智教室系统4 .在巡察的过程中发觉典型作业即运用手机拍照传到才智教室系统中，在讲解时提示学生留意学生活动：仔细思索规范书写，进一步理解本节课所学学问和解题方法设计意图：为了让学生真正理解、精确运用正切，还是须要进行适量的训练，因此支配了这样的练习，通过推断是非加深学生对正弦概念的理解，随着问题的解决更加深了学生对角度与比值的对应关系的关注，进一步的渗透了函数思想.为学生供应自主探究的空间，学生既能独立思索
20、，又能相互合作，在沟通中学生解决问题的实力得到了提升.巩固正切的概念,形成实力.规范学生的解题格式，为学生完全独立的解决问题尽可能的解除了障碍.通过才智教室系统的刚好反馈了解学生的对本课学问的驾驭状况.6 .坡度(1)正切也常常用来描述山坡的坡度.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度.即：坡度是坡角的正切.（2）例如：如图，有一山坡在水平方向上每前进100nl就上升60m,那么山坡的坡度（即tana）詹出.老师活动：在例子的基础上补充铅直高为70米，80米时坡度力学生理解坡度学生活动：学生自主学习教程中坡度的定义，思索老师提出的问题设计意图：从不同的方面加强学生对坡度的理解和驾驭，同时让学生相
21、识到今日学习的正切在生活中的普遍存在，感受到数学的生活化.五：巩固提升1 .下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡？2 .某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰，请你依据图中数据算出这一楼顶坡度？老师活动：1.巡察指导学生，帮助学生基础薄弱的学生2 .收集各小组上传的优秀作品，再传给学生共享沟通3 .讲解题目，规范要求，讲解建模的思想和构造直角三角形解决三角函数问题学生活动：仔细答题独立思索，合作沟通，组织语言叙述解题的过程.订正完善，上传作品，对其他小组的作品做出评价设计意图：为学生供应自主探究的空间，学生既能独立思索，又能相互合作，在沟通中学生解决问题的实力得到了提升.巩固正切、
22、坡度的概念，使学生对学问的理解与应用螺旋上升,形成实力，达到了较高要求.体现了“实际一一理论一一实际”的过程，帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，得出结论，再用来解决实际问题的学习数学的思路，符合新课程标准要求的“实际问题一一建立模型一一说明、应用与拓展”的思路.六、课堂小结：1 .你学习了什么学问？2 .你运用了什么数学方法？3 .你还有什么想法或怀疑？先想一想，再共享给大家.（二）自我评价:我评价得分设计意图:样化设计意图，课堂总结是学问沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培育自我反馈，自主发展的意识.在驾驭学问的同时驾驭解决问题的思想方法七、课堂评价:（一）用题目评价自己给自己打分，打分范围1-5分，学生用遥控器打分，现场显示同学自八、布置作业:书面作业：习题Ll第1,2题;通过两种方式评价学生，一种是客观形式，一种主观形式实现评价方式多弹性作业：1.对于自己还存在的怀疑利用业余时间查阅书籍或者上网查寻或是和同学老师沟通；2.习题Ll第3题.设计意图：如此布置作业，既巩固学问技能，又减轻学生负担九、板书设计L1正切一、正切/4的对边角大比值大NA的邻边4的邻边角固定比固定二、坡度i=tan4
