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1、正弦定理教学设计一、教材分析正弦定理是中学新教材人教A版必修第一章1.1.1的内容,是使学生在已有学问的基础上，通过对三角形边角关系的探讨，发觉并驾驭三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探究愿望，激发学生学习的爱好，并指出解决问题的关键在于探讨三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特别状况发觉结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：(1)已知两角和一边，解三角形；(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修基本初等函数!和三角恒
2、等变换的基础上，由实际问题动身探究探讨三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感受好，由实际问题动身可以激起学生的学习爱好，使学生产生探究探讨的愿望。依据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点。三、教学目标：1.学问与技能：通过创设问题情境，引导学生发觉正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。2 .过程与方法：引导学生从已有的学问动身,共同探究在随意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培育学生通过视察，猜想，由特别到一般归纳得出结论的实力和化未知为已知的解决问题的实力。3 .情感、看法与价值观：
3、面对全体学生，创建同等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的沟通、合作和评价，调动学生的主动性和主动性，给学生胜利的体验，激发学生学习的爱好。四、教学重点与难点：重点：正弦定理的探究和证明与其基本应用。难点：正弦定理的证明；了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的状况不唯-AO五、学法与教法学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：a_b_CsinJsin8sin。接着就一般斜三角形进行探究，发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发觉向量学问的简捷，新奇，培育学生“会视察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的实力。教法：运用“发觉问题一自主探究一尝试指导
4、一合作沟通”的教学模式(1)新课引入提出问题，激发学生的求知欲。(2)驾驭正弦定理的推导证明分类探讨，数形结合，动脑思索,由特别到一般，组织学生自主探究,获得正弦定理与证明过程。(3)例题处理始终从问题动身，层层设疑，让他们在探究中自得学问。(4)巩固练习深化对正弦定理的理解。六、教学过程创设问题情境：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出两点间A、C的距离55m,ZACB=6Oo,NBAC=45。求A、B两点间的距离。引导学生理清题意，探讨设计方案，并画出图形，探究解决问题的方启发学生发觉问题实质是：已知AABC中NA、NC和AC
5、长度，求AB距离.即：已知三角形中两角与其夹边，求其它边.新知探究1.提出问题：我们知道，在随意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的精确量化的表示呢？2.解决问题：回忆直角三角形中的边角关系：AN依据正弦函数的定义有：sinA=,sinB=-,SinC=IOCCk经过学生思索、沟通、探讨得出：CaBsinAsinBsinC问题1：这个结论在随意三角形中还成立吗？（引导学生首先分为两种状况，锐角三角形和钝角三角形，然后依据化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。）当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,依据锐角三角函数的定义，有。=asin8=匕
6、Sin4。由此，得sin/1 sin ,同理可得SinC sin6sinJsin6SinC从而这个结论在锐角三角形中成立.当AABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,依据锐角三角函数的定义，有Q=asinN渤=asin4纪，CD=Z?sino由此，得aSin力bSinZABC ,同理可得c _ b sin6, SinAABC故有sinJ sinZ.ABC SinC由可知，在ABC中,sinJb cSinB sin。成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即(/bCsinJSinSSinC.这就是我们今日要探讨的正弦定理思索：你还有其它方法证明正
7、弦定理吗？（由学生探讨、分析）S AABC=证明一：（等积法）在随意斜aABC当中a = b = C sin A sin B sin C-bsinC=acsinB=ZcsinA222两边同除以飙C即得:证明二：（外接圆法）如图所示，ZA=ZD同理工=2R,smB证明三：（向量法）A过A作单位向量垂直于AC由AC+CB=B两边同乘以单位向量j得J（AC+C）=.AB贝Ij获+而=J诟I7IIACIcos90+jCBcos(90C)=jABcos(90A) CAUL .asmC=csn-sinAsinC同理，若过C作垂直于与得：-=-snCsinBa_h_cOsinAsinBsinC正弦定理：三=
8、刍=-=2R(R是A8C外接圆的半径)sinAsinBsmC变形：a:/?:C=SinA:sin8:SinCo接着给出解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、C叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.问题2:你能否从方程的角度分析一下，解三角形须要已知三角形中的几个元素？问题3:我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？(1)已知三角形的随意两个角与一边，求其他两边和另一角。(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。3.应用定理：例1.应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.题日见
9、创设问题情境，引导学生给出解决方法例2.(1)在A45C中，8=百,3=60,C=I,求a和A,C.(2)在ABC中，0=7,4=45,0=2,求6和3,。.解：-=*SinC=曾=片=9SinBsmCb32bc9B=60,/.C18Oo)(2) .4 sin Asui Csin C =csin A6sin450 _ 322CSinAVaVc9.C=60或120,当C=60。时，5=75%=3=小邛=5+l,SinCsin6Oo.当。=120时，3=15为=三史&二五四=61sinCsin60nj=3+1,B=750,C=60或b=6-l,B=150,C=120变式训练：依据已知条件,求解三角
10、形(l)=6=5tZX=45o(2=2,A=3,Zl=45o(3)=-,=3,ZI=45o3七、课堂小结：(学生发言，相互补充，老师评价.)1 .用三种方法证明白正弦定理：(1)转化为直角三角形中的边角关系；(2)利用向量的数量积.(3)外接圆法2 .理论上正弦定理可解决两类问题：(1)两角和随意一边，求其它两边和一角；(2)两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.八、布置作业：1思索：已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的状况可能有几种？试从理论上说明.2Po.习题LLA组：1,2.九、教学反思：本设计通过解斜三角形的一个实际问题引导学生发觉三角形的边角关系，将斜三角形
11、的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，思路自然，学生乐于接受。通过引导学生发觉直角三角形中的正弦定理，进而探究在随意三角形中是否还成立？将学生带入探究新知的氛围，学生从已有的学问阅历动身，探究得出新结论，体验了胜利的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，相互评价，最终得到完善的答案.这样做，可以熬炼学生的语言表达实力，这也体现了一个人成长、发展所必需经验的过程，对于培育意志品质起到了重要作用.本节课采纳探究式课堂教学模式，即在老师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应表达、质疑、探究问题的机会，让学生在学问的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力。一点感悟：新课标下的课堂是学生和老师共同成长的舞台！
