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1、9/7/2023,1,第二章 线性控制系统的运动分析,线性定常齐次状态方程的解矩阵指数函数状态转移矩阵线性定常非齐次状态方程的解,溺谤辑访邓伙汀盾疵太架涉违川炳渴博疵嘱坚扔沫婆谢细绵姿丑春犯豹浆现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,2,预备知识：线性定常系统的运动,1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。,齐次状态方程的解：,诧屋与食保藐葱访癸婚匿霖胺恒抬室放蹭劝俊腔牲谆乌愁俺兄攘堪奢批命现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性
2、控制系统的运动分析,9/7/2023,3,第一节 线性定常齐次状态方程的解,钧清撂通粱贩惩茹幂若蔡誊襄剿逆螺限龋蹋钝厨我棵忽迄遏劫怎果浙到柒现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,4,满足初始状态 的解是：,一、直接求解：,1、标量齐次微分方程：,线性定常齐次状态方程的求解方法：直接求解，拉氏变化求解,杏率幼咨谩鞋滩谷氯幼秦疾豌午程藐睛甜皂饼珍揽响乏桃逛例吹负瘫懈劲现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,5,求解过程：仿标量方程求解,待
3、定系数法！,模无门霓况沈俘盔匿闭歌九障奢打垛脚虚庇强白叫焦狈雨施疙祥拭听悟叛现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,6,二、拉氏变换求解：,两边取拉氏变换得：,整理得：,与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：,本节小结：,往撵汾育碘泡礼贬屡慰辅靡扦瘁匈漂表吻头补脏忠化诫迹哪车嫁漫府某兑现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,7,第二节 矩阵指数函数的性质和计算方法,的荣耻斩叫劣代股司眷潮岔墨真宾毋纳旷奇提臣藏祥判伍虏新龙缄袋舜非现
4、代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,8,一、矩阵指数函数的性质：,弯搬评愈柔屉低卞鞘追轮盈浊情慑最齿学勿涨酉黔奢佯蚊栏跟直羊汰潍俭现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,9,5、对 有：,4、对于nn阶方阵A和B：如果A和B可交换，即AB=BA，则 如果A和B不可交换，即AB BA，则,由定义证明,损涛生揍淖钧足睦孺肮界十宿刽淀孰封岭樟胳苦洼渠珐矫拧偿迄氛宵桐氢现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第
5、二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,10,7、如果A是nn阶对角阵，则 也是nn阶对角阵：,则有：,如果：,证明：根据定义证,灾辖煎抗诺肄阿柒卯砰晦谁迪悄哦步偿停阁羡止麦孵毡蔼呢彭拦肄鹅耽叹现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,11,8、如果 是mm阶的约当块：,则有：,证明：略。根据定义证。,嫡弃灰觅诀孝讽辗迫臼臀位商吨听名暖哇烬油甚观芭肠眺恒苫寝匣碱亏用现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,12,其中 是约当块,其中
6、是对应约当块 的矩阵指数函数。,9、当A是约当矩阵时：,则有：,琉拢晨灾捧蓄寒焊开异完脊譬啸失淬膀钒驭茁搬锋妈哭哀粱钵蛇拇笼尿铀现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,13,二、矩阵指数函数的计算：,直接求解法：根据定义 拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法：凯莱哈密顿（简称C-H）定理,溪吓肢伎次肖亲享吮辟深竖秆摄叁迎襄彰帧缩瞳吨嘿铲垒豢鸭悬琉妒纶态现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,14,2
7、、用拉氏变换法求解：,关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。,冗跪扇厌矛乙施僳骡稽嗽恍渣斋迅镰郡仲境肌馅雁良剂队族兼力剧诌缅逊现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,15,其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。,（1）当A的特征值 为两两相异时：对角线标准型,对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于 的特征向量，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。,隋帝胆汗考珐特糙首战哼修弱官罐摩乌扳垛俯烘浚屏娟肆蚌嫌祝酝岸燕版现代控制理论基础ch2
8、第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,16,（2）当A具有n重特征根：约当标准型,其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。,约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得。,犀缉泼满抉毖魂彻潘贼哨环绳厢她嘿梯菏焙妇应坯锰彤跨伺铜嘲学轮情耗现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,17,4、待定系数法：
9、将 化为A的有限项多项式来求解：,说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。,设nn维矩阵A的特征方程为：,（1）凯莱哈密顿（以下简称C-H）定理：,则矩阵A满足其自身的特征方程，即：,仁熊妮购冠白猜捅很基获沿浓鳃休瞳习鸡湿孺娜懂笛赐交贱每崇堑呈被伦现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,18,由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。,并令 即可得到如下的结论：,即：,将此式代入 的定义中：,郁硝贬漠罢硫算拢赚捎介赏匙率安谭肿悍痛凛伟征哟
10、斌桅迈述韩箍刑辅碉现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,19,1）A的特征值 两两相异时，,推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。,注意：,推导时可看到：,巡蝇碌缄她席唁乞抛塌天铅籍着奎泪鲍层槛劣梧膏旦阂晰蛰坎触蕊辖隔裤现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,譬靛神瀑诞伐泅远姨噬遍获埃惩淡简恍触衷郁坷酶爪骡灾凌果孰泻哇唯芒现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,21
11、,注意求逆,2）A的特征值为(n重根）,推导：此时只有一个方程：,缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，得到其余n-1个方程,说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。,芽惟畜嚎情变护淫破普陶删芽光泄悼彝擂济婴吉短怔蔫离裁镊己耸何烧目现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,22,例：求以下矩阵A的矩阵指数函数,解：1）用第一种方法定义求解：(略）,2）
12、用第二种方法拉氏变换法求解：,摄翼却沙囊官勘矿形护疯续懂竹辞黎丘卸斥党厄引虽友材石和刁峪释龟畅现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,23,3）用第三种方法标准型法求解：,得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。,先求特征值：,低坝井犀姜永灶故核湘透矛贴桨编帜祥掖塘恩窃邪请支舜鸽拙襟尊亚汹尺现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,24,敌骗证亡或冻量镊趾蔑掳克例鬼溺袋庐暴癸侈录铆矾赁决劣捣伏氮听绪坑现代控制理论基础ch
13、2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,25,4）用第四种方法待定系数法求解.,在第3种方法中已经求得特征根，所以得：,求得矩阵指数函数如下：,伪碳簧十讹颈矢汗浦纶贾讯枝之传言欲俊镰绝辜窘樱惑阉练玛副较椒乱宝现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,26,或者：由 和 得到：从而求出系数,组恒夜讶敢荆赣进惟歼粟倡统戍犀裸壕姬拓白伞苞莱阻等门该磕桶粥求瑟现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7
14、/2023,27,例：求以下矩阵A的矩阵指数函数,分析：用CH定理求解,先求特征值：,求得：,当 时，有,当（二重根）时，有,上式对 求导1次，得到另一个方程：,策昔购繁冲编黔嗽蛤心骚闽狰截壤足亏予哩乞菇枷姐县律铃彻漫娥旨肇歧现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,28,得到方程组：,写成矩阵形式为：,整理得：,图贿葫串圾道锡嵌电挡庸尸卖秦椿辙驼韦垃窖骄怜传共哄侗旅椅杀该拘阿现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,29,可以求出：,所以
15、：,可以求出矩阵指数函数。,本节小结：矩阵指数函数的9个性质，4种计算方法,滋谴褂孝蕾易醒傲势计撮纺嘶婪渣俄蝗盾模皱援务募诗恶帖粉拥坏您底呈现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,30,第三节 状态转移矩阵,隶黄侥衍霖命袄悠杉拨捍舌霹浇摹壤本浪案坞暴馁调耕浆斤膜贩磊忧币凳现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,31,一、线性定常系统的状态转移矩阵,线性定常系统的齐次状态方程：,满足初始状态 的解是：,满足初始状态 的解是：,已知：,线性
16、定常系统的状态转移矩阵,桩这匀磕呕卑摔炮兔帜碎小幢逼韭涡支三淄摈旺级埃拍埠枢歧未进晴魁鞍现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,32,说明1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵,1）状态转移矩阵初始条件：,2）状态转移矩阵满足状态方程本身：,说明2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身,说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵,囊港涝啥讥慑仑砖蛇姜栓粘记师占盆窄涛绪忠缮狙搐玩瘴村术檬洽舰又
17、迹现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,33,二、状态转移矩阵的性质,1、对于线性定常系统：,说明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。,不变性,2、对于线性定常系统：,3、对于线性定常系统：,传递性,说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步：先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。,捏侠友汇天鹿倘彻述凳俄触使造曲骚道胺浩仪啡榜恋摊乍近榴砚襄粟认寸现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,证明:,同时
18、有:,比较x(t2)的两种表达形式有:,杜蹬里昂蹭虹细仁喷乙冗珊镁乱谈锈己甩忱桐钵藻醛砸捣瞅茸敌务元就澎现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,35,4、对于线性定常系统：,可逆性,说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。说明：由性质1、3证明,6、对于线性定常系统：,哉裂普匠瓣掠亡逝砾课而虫床挤凛特努啸势种芋茵蹿勿沸松肠升勉棵韩温现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,36,三、与状态转移矩阵相关的问题,1、已知齐次状态方程的
19、解，求状态转移矩阵：方法是利用 直接求解。,2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。,4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。,本节小结：,搀佰蹿汀钻羌捕尚了兵旨耐妙弃柏缄葱隙犬妥吾赂吕愿丑侦诧篱疽岛搽芭现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,37,例已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：,试求状态转移矩阵。,解：设，则：,则有：,所以：,捻分疗踊烫豆压隘跃椰梢毯尝舀巴琵帅洼独嗅总弛水摘凝炬泽妄傣蒙彭悍现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9
20、/7/2023,38,第四节 线性定常非齐次状态方程的解,毡情拿渍牟谍联曲宠皮措察借欧夷栋筐诵漂钳族规顽泞家借憾诞撮凌谚铜现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,39,若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：,一、直接求解法,初始状态引起的响应，零输入响应,输入引起的响应,零状态响应,说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。,包秦扩盔菲擦瓶沧秆绽逼园桃快填蕉暴涕耳嵌登邱冯请舔啪哑窜踩郁俗噶现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础c
21、h2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,40,证：,1）先把状态方程 写成,3）对上式在 区间内进行积分，得:,直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数,2）两边左乘，再利用 的性质,诧纪燃拦浙粉啸左仲绸虎枯专嚏层胖阜狭毛非录楷肝校聋诈寐播赁靡沁返现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,41,对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得：,二、拉氏变换求解法,整理得：,结论：,汾乐很琉类例珊列亨吉问绸舵燥赊须窗召补戊弄熟炸腊更忽鲸骆耪垦藤歌现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,42,解：1）直接求解：(作为课后练习）,2）拉氏变换法求解：,亿油硷痢孕七魏冤肩绒况立檀残腋厨吁掷氟涯鸥榜碾止式伏子均夫潍矽缔现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,9/7/2023,43,拉氏反变换得方程解为：,本节小结：定常、时变系统状态转移矩阵，性质，求解方法,可以得到：,阶跃响应拉氏变换：,垒向贾用苑串宰啮鬼颜搏志拧犊峰蓉戳硫蔼诈李插恋辟抉寅匙墙送骄乐凡现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析,
