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1、第三章LQG自校正器,最小方差自校正器：目标函数是系统的输出误差,需已知被控过程的时延，需对过程的极点或零点加以限定，适用范围有限线性二次高斯自校正器：可用于时变、开环不稳定以及逆不稳定过程，且可达到无条件均值最小，主要缺点是计算量较大，对阶次比较敏感,绰抖迫渗义骋募千揩釉骑艾湘拳边梅替猩歧强抡颊废戒且币肯曰渐骂醒哟自适应控制3自适应控制3,3.1 线性二次最优控制LQ的设计,线性二次最优控制：系统方程是线性的确定的，其性能指标是二次的，其控制目的为使性能指标为最小的条件下，使系统在任意初始条件下的状态转移到原点，它是LQG最优控制的基础,桂虚冒密闹楚乃约栗乓甥训岩骋婚霹诗悸收股逼邦丽昔蛋栗琢
2、呛百怔滁芥自适应控制3自适应控制3,3.1.1 状态调节器,的状态调节问题，就是使系统初始状态，在花费最小的控制能量下，转移到原点(或平衡点)上的控制问题。,系统方程：,(3.1),悲记抵锐诗枚郑续未楷聚志钮晶然睛埠细橇沃耪跪勇箭稀夫堑壳贰萤冈鼓自适应控制3自适应控制3,假定初始条件,已知，希望寻求一个,线性状态反馈控制律：,(3.2),使下列目标函数最小,(3.3),式中,加权矩阵,和Q为半正定矩阵，R为,正定矩阵，它们由设计者选定,紊夺怪饺骂请咯帘兔慧澄蔑幽沧逻浸津此奋偷书黎韶豹沏攫黑缓湛旭拈蛛自适应控制3自适应控制3,中第一项,表示与稳定有关的,指标，第二项,表示与过渡过程有,关的指标。
3、第三项,表示与控制,能量有关的指标,米卵坐砖骚掷蹭方晋拌夹湾丘民阳腆熊沪囱簇坦复声付敌恼尾命焰原铆烘自适应控制3自适应控制3,图3.1 被控过程结构图,鲸氖镰奉亚拨灰侈珊涂慨窜到概叁持姿颜灵晓监吐瞪丝屎玫砾敬拄画噪癸自适应控制3自适应控制3,函数和等式约束条件的拉格朗日函数：,用拉格朗日(Lagrange)乘子和变分法来求解LQ问题：,将(3.1)式变为下列等式约束条件：,(3.4),借助拉格朗日乘子,，构造一个联系目标,嘉岔艘蛤面扳犁娩若屠敏钉窜窃幂惨卖陛倔森臂踢锗系恐膜掺缴激胎锗筐自适应控制3自适应控制3,在等式约束条件(3.4)下，使式(3.3)最小的问题等价于求(3.5)式无条件下的极
4、值问题，这个问题有解的必要条件为：,(3.5),式中哈米尔顿(Hamilton)算子序列为：,(3.6),释褂恬炬官或断呈衙饿丹抡炮伎坟访贵资粮挠逢咸韧猴展钢耐誊纵砖钮妻自适应控制3自适应控制3,(3.7a),特别地对应于终值也应满足：,(3.7b),由(3.7b)可得,(3.8),厉苫蜜柏役塘耿支轿况扣谚睹络呵隘腑贬妖骄黑条蚊魁枉违兽弘搀船豆际自适应控制3自适应控制3,由(3.7a)可得下列控制律和伴随律：,(3.9),将(3.9)式代入(3.1)式可得：,(3.10),(3.11),式(3.10)和(3.11)称为欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程，这个方程状态空间表达式为
5、：,日但趾沽锭书赠诅滋傲竖弥夜赛掖二缓怀购八饲迂滋蝇涌颠过限舱广使鸣自适应控制3自适应控制3,(3.12),假定,和,存在下列变换关系：,(3.13),将(3.13)式代入(3.10)和(3.11)式中，消去,，,得：,(3.14),和,赃蜜孰陪轮史蝉颇疚秤蚕尉密滇本仙怔丝肮篓鲜粪皆前醉奖儿忧园担黍睡自适应控制3自适应控制3,将(3.15)式代入(3.14)式得：,因为上式对一切X(k)均成立，所以可得对于,有：,(3.16),在,终步时，考虑到(3.8)式和(3.13)式，得：,系极父精阿污花佐丙吮鬃糊埠鲤词厉违荧刮真玫动犯达烦走缎栋掷柄岩自自适应控制3自适应控制3,此外，由(3.9)、（3
6、.10）和（3.13）式和可得控制律为：,即：,(3.17),式(3.16)称为黎卡蒂(Riccati)差分方程，由后退,递归，即可求出黎卡蒂方程中,的,到,的每个值。,(3.18),丘腋敷淘胞髓芦项蹲树龄凸渝鄂漫喳肛屏框山盟舜衅田糯细舀掉迟咎添尝自适应控制3自适应控制3,这就是所需要的状态调节器,将此式与(3.2)式相比较可得反馈增益：,(3.19),卞膨扑良章窿庇镣翱痉皋钞逻龟貌青具定茵酣涡佳森艺遏僚埋信膳吏皋乡自适应控制3自适应控制3,图3.2 状态调节器结构图,午擅棵劝不裸街每嗅荣统感议镣聊耀讨熙梦冯换奖开抱萤惭辈罢怒馁援袜自适应控制3自适应控制3,3.1.2状态调节器的设计步骤,1）
7、已知，A、B，选定Q0、R和Q值,2）读取状态,3）根据(3.17)和(3.16)式计算：,4）根据(3.19)式计算,：,缆族匈牙娘教窑寸湍橇悸逞瞥久肿噎七危春杭烘俺以讼拌釉婆睛何岗固绝自适应控制3自适应控制3,6）输出U(k)，转2)LQ调节器的优点：能应用于时变多变量系统,且只要改变加权矩阵中的数值，就能兼顾初始状态的恢复速度和所需控制信号幅值的要求,5）计算控制律：,殖猿哗伤椿持紧剩尿敬叹瓢间污曹察鲸惯尚各慈粱茧膛胁疵窗罐涉诱剑课自适应控制3自适应控制3,3.1.3 输出调节器,考察系统,(3.20),的输出调节问题，即寻求一个容许控制律，使目标函数,(3.21),最小的问题,够负漱俊
8、噬郴雍倚澳畜尼顺阎濒绒迁冰玻巧皖汐锑产温优汽感衷恰哩窒俊自适应控制3自适应控制3,式中的J3就转化成为J4，可见，输出调节器问题实质上是状态调节器问题的一个特殊情况。因此状态调节器的结论也适用于输出调节器。,如果在(3.3)式中选用,，则(3.3),尧郭癸宰牲橙症吊羞暗驰乙淄磷拜医蹄笑填单曼几猎侵矣患帽苑朵皱坷啤自适应控制3自适应控制3,3.2 状态观测器,带状态观测器的系统,搓坦法俘披同稼呈则掏菊杏凶札仪虱谰缔芽眷交我陵沼梢幸瑟烧职纶洞惮自适应控制3自适应控制3,将此值乘上一个权矩阵H项，即产生一个状态的校正项,状态观测器：重构过程中不可直接测量的状态变量X(k),过程和观测器之间的输出差为
9、：,价烃檬秦啮胆霞矗拭究乾慕首肃诣僧遁疙缠膊盏颁终芜采朱鸯挪辞荐西玩自适应控制3自适应控制3,状态的预期估计值,(3.22),引入状态预测估计误差,(3.23),结合(3.20和(3.22)式，可得：,(3.24),积瞻辰咒急磕搓浆孝仁项涣矗宿犬立没窿韶氰路眠蜡忱吵虫蓟账俗拨冉窗自适应控制3自适应控制3,只要合理选择H,使(A-HC)稳定，可使此状态估计为无偏估计,湍宇嚼枚硫终杰怔章乔测檀浸讥庞蛋悼裕汗租恬际寄触瑟锤题处枢昧彼唆自适应控制3自适应控制3,3.3 LQG自校正器,一个实际的动态系统通常都具有一定程度的不确定性，最常见的有以下三类：1）随机扰动的输入 2）传感器测量噪声的影响 3）
10、系统模型参数的不确定性线性、二次、高斯LQG：研究对具有高斯分布的随机扰动和噪声的系统，采用二次性能指标,添粒条酸撅檀亢扎庸渴刘潦格举无谈度滔诈芥郎郁尊势斡麻卜骂峻旭农遭自适应控制3自适应控制3,对于随机系统,控制器设计任务分为两步：第一，通过采用滤波器将随机扰动和测量噪声消 除，进行状态预测和估计 第二，根据所估计的状态进行最优控制器的设计,邓丙牌办赞炳罢驴符蟹幅辐嘱碟晃缚某斡毅颐呸亚柑许磐首亨牟邯拜亥氖自适应控制3自适应控制3,3.3.1 卡尔曼滤波器,考虑系统方程和量测方程：,(3.25),其中，,是零均值高斯白噪声序列，并有：,落庙绪挛此淘畴臀尘漓汹拆酥昏说惩登窒住佰氨庙助程居汽摄蕊受
11、捶摄萧自适应控制3自适应控制3,其中：,和,之间线性无关。,被干扰的被控过程,径泪逊猫浑陷捣渔骂刊十焉犀崖雨谆控洛湃拳蓖署札饲湍晤捷勾魁愉喇费自适应控制3自适应控制3,卡尔曼滤波器：基于测量输出信号,，在消除,干扰和扰动的同时，估计状态变量,，被估计,的状态用,表示，被估计状态的协方差定义,为：,(3.26),即状态变量,的估计值是在使此协方差为最小,的名义下获得的。,行涸席伐父床谩撵廊妊隘昼靖街捧王画扒童韶峰权磨团篓箭培倪判芬雄木自适应控制3自适应控制3,下面假定已知：a）过程系数A、B和Cb）输入随机扰动矩阵L，以及噪声互相关矩阵V和N,c）估计状态变量和协方差矩阵的初始值,和,牡恿转澈息
12、蓟捧妇批词晴聚嚷佣肢巫妇平赌懒挨沸痉弟惑膀抹涕押疼柜监自适应控制3自适应控制3,状态变量X(k)的循环估计的算法如下：,1）基于最后一次估计的状态,，确定系统,在无干扰和噪声情况下状态的预测值,：,(3.27),2）计算预测状态的误差的方差：,而,规捕谨懂盆琳膨号垢炸傣箔顷麦孰疮脱痕鄂幻婉肩砂庚袄魁远评戍烧潞苗自适应控制3自适应控制3,3）计算估计状态值。估计状态由它的预测值(不含扰动和噪声)加上在k时刻测量的过程输出所决定的校正矩阵来确定：,结合(3.26)式，可得：,(3.28),预测状态的方差与干扰和噪声有关，并与估计方差有关,(3.29),苫眩溶估肿靖蔷蒙莆铱拉剐征值哄蕴局绰匠磕触崩铱
13、吐麓包腊叫笨赤恕捕自适应控制3自适应控制3,4）滤波增益矩阵,的算法,由滤波估计误差：,是通过令估计误差的方差为最小所得，即求,为最小时的,值。,术英翻疵次嘎傣邵坟桅往泊冠肌粹霜阻庶铃犊窜吟正喇送茅骸缅燕县歇呵自适应控制3自适应控制3,令：,求得：,(3.30),汐炯罐端辽蜘伯焊赴架肛腰鉴甸罩摹刻达全鹰互暑睬抒烙哭羡复浩准钠鸟自适应控制3自适应控制3,5）最后一步计算滤波估计误差的方差,由步骤4）的推导过程，当代入所求的,值后可得：,(3.31),在实际应用中，常常采用卡尔曼滤波器的稳态结,果，即用当,时，矩阵,将变为常数的,值,：,(3.32),扎腾吧嫂汗蒋闸怎荷厩否哥忽拼簇捧澎垣衰她踊恳互
14、焊猫报豹师望精沂轴自适应控制3自适应控制3,由此可得带有滤波器的系统方程为：,是黎卡蒂方程的定常矩阵：,(3.33),蜕拳挫付文啮箩麓删踏潘疑叼惧酥此尖旭廉掂翼睫氰钎茂略跳祷撇昂镣挪自适应控制3自适应控制3,图3.5 带有卡尔曼滤波器的系统方框图,害情于闲筏跺吹衙嚎褂持团蒲环凋蛊画酪俄扼奎距纹读杰矮埂赤酱该加揪自适应控制3自适应控制3,卡尔曼滤波器具有以下特点：,5）卡尔曼滤波估计可以做到最小二乘估计,1）滤波器估计状态的算法以“预测一校正”的方式进行递推，不要求储存任何观测数据，便于实时计算,2）增益矩阵,和误差方差矩阵,及,与观测数据无关，可事先算好存贮起来，从而可加速实时处理,3）由,和
15、,可以获知有关滤波的性能,4）估计误差方差,及增益矩阵,和N紧密相关,与V,祥慢锌干睹冬甫劝均有循痘变符褥骑圈誉毡牛磷烛腰没扦澳蜀逻缺诈捣新自适应控制3自适应控制3,3.3.2 滤波器与状态观测器的关系分析,图3.6 带滤波器系统的另一种结构图,锌漠盾覆莉彻芳璃棍孔媳疯堑块干硬钨惭吕代许蛛铣镁腕掖曳戚电批故铸自适应控制3自适应控制3,和校正两部分组成，预测目的是为了滤掉(消,将图3.6与图3.3相比较，就输出而言，状态 观测器对应于具有预测状态的卡尔曼滤波器,稳态卡尔曼滤波器：基于观测量值,来估计状态,，称为现时估计器，由预测,除)扰动和噪声的影响，而校正的目的是为了使状态估计能够收敛到真值，
16、它是从系统的扰动和噪声中估计了系统的状态,拄闹棍撒腥锡概酌通绷轻窖比裤席棠妖恤琐差机渴弥羚席赴累亢讫念鹏崔自适应控制3自适应控制3,状态观测器中的反馈矩阵H，对应于卡尔曼滤波器中的AKf，即如果有H=AKf，卡尔曼滤波器就等效于一个状态观测器对确定系统用卡尔曼滤波器进行状态估计的好处：所得到状态是用k时刻的观测值得到k时刻的状态估计，而不是k时刻的预测值，有利于对实时控制,膛刀譬祟暗曹霍蓖棕哲赵侄窃姐扛慌宴酮链丰屡恫畦总芝仰治摊丽桑牺凌自适应控制3自适应控制3,3.3.3 LQG系统的分离特性,分离定理的涵义：对于具有干扰和噪声的系统的控制策略分成两步完成，即最优估计与最优控制最优估计只决定于
17、系统方程和不确定性V、N及P（0），与控制无关最优控制只决定于系统方程和性能指标中的加权矩阵Q0、Q和R，与系统的扰动及噪声无关,者性儿标粮对筷暑七瘟烂亮敝艘漂胀制乎质蘑唉裸集污诡漏躬秸顾淖盒讣自适应控制3自适应控制3,3.3.4 随机系统的最优控制律,卡尔曼滤波器系统方程由预测状态组成，令,，并将此式代入(3.9)和(3.10),式，整理后得状态调节律,反馈矩阵为,中的,其中：,尖渠盆耀靛铰藻斌笑诲损柜册市狰蜗寻磊崎诚至招牺市儡纬瓜忍骆震沉反自适应控制3自适应控制3,当,时，,与,趋于常值：,(3.34),(3.35),(3.36),因为,中要用到求逆计算，所以必须保证,诛沛饺激蛛瘟藻肠北辰
18、吨豪迄殿迅磊跺坯脉二兼股坦奇审绪后才撇杜合镐自适应控制3自适应控制3,图3.7 带有卡尔曼滤波器的最优控制系统方框图,刊繁繁黔专灼斤冉壳氟廖炯睡竞碗皖叛弊衬仆秽员榆卞乞榜脊乎萧盲锌看自适应控制3自适应控制3,3.3.5 二次性原理(双重效应),双重效应：首先直接控制系统的状态，其次，对影响状态的不确定因素也具有控制或消除作用卡尔曼滤波器具有双重效应的控制：1）状态估计；2）消除了随机干扰和扰动,颈宇悉浮毅书票昆篡舔向幕巩铣友墅讳袖偷沼绳百窍节盟詹纫牢寿禽海蠢自适应控制3自适应控制3,最优控制律设计中的黎卡蒂方程,卡尔曼滤波器设计中的黎卡蒂方程,盘那躯蹲液蜒潜欲右锰乔日诉樱邻槐拷技英呼捡谣栈讽使
19、搓队倡饮枉箔倒自适应控制3自适应控制3,表3.1 最优控制器与卡尔曼滤波器性能指标之间的关系,层民踞俭税鸽阴绥邪躺翘借豢碑山痕疫启拔弘单乃价辱燥血坚呜惧皮莎鼓自适应控制3自适应控制3,最优控制的目标,卡尔曼滤波器同样可获得的目标为,粥祷屹绸贺舵浦绕篓静醚梆覆流豢邪特埠钓炸饭闹玖苹嚼漫销嗡始册栋迄自适应控制3自适应控制3,采用卡尔曼滤波器进行状态估计的优点：理论上可以获得最小方差估计，但相应的噪声统计特性N与L必须已知，对于扰动和噪声协方差L与N未知的情况，包括系统其他参数A、B、C未知时，则应采用自校正LQG控制；根据系统输入输出的运行数据，在线地对参数进行估计，随着,改进。,和,的不断改进，
20、,也将不断地得到,迂沾倦屠憎挥煮拎袒胳卤急喳幕源洱鞋其饲垃诚菲赖认霍铰丈凿虹慌凰棱自适应控制3自适应控制3,3.3.6 LQG自校正的调节器,1）系统状态方程与输入/输出特性之间的关系对于系统过程的输入/输出表达式：,可将它转化为状态空间的可观标准型如下：,(3.37a),式中：,谓田煎谆营厅左镶剑挨屿材葛龙矗衍澄瑟藐吩预妙贴搪重备旅喧沽忍唬娥自适应控制3自适应控制3,酣友秽刚阉叼蕉屎旦仔渍蜂梳耶躲后役戚泊布课馈裹龋寺讲避亦盈奄效慨自适应控制3自适应控制3,由(3.37a)式可得系统预测方程为：,(3.38),犯走盛各贬断凡免差另鲸讯昔熙咎戮澈旋昨踞登睹妹勉石毗茸为犁臻航浦自适应控制3自适应控
21、制3,由预测状态的误差：,(3.39),采用状态估计器设计方法来求,，即使预测,状态,趋于真值,。,革丽拘坍麻墅酝团骏钩晕绦娩贫重里沿掇重桨疗硼皂氟罢看裁慑掉垒瘴厄自适应控制3自适应控制3,将此式与(3.22)式进行比较，可以看出根据分理原理，系统的最优控制律为：,由（3.39）式，取,，可得的一个解为：,(3.40),将,值代入(3.38)式，可得,这是一个带有状态观测器,(3.41),的控制系统。,斤纯缉漓抬我竹轻炮盖傅瓮杖抹垛果罐抹损慎底摹痊匣诲纯鸿尸耻旷屏伞自适应控制3自适应控制3,图3.8 系统的控制结构图,央患窖邹谆痕嚏翌煞纤酋颂茁爪洛届窒俄严贞腿禁盲览握豪撇砾搭畸霹父自适应控制3
22、自适应控制3,2)LQG自校正的调节器,已知,和R,（1）设置初值,输入初始数据,（2）读取,（3）用参数辨识法估计,，即,和,，进而由(3.37b),式求得,和,；,（4）由(3.40)式求出,（5）由(3.34)和(3.35)式求出,（6）由(3.36)式求出控制律,（7）返回（2）,胀实铅桩肌瘫棋做诌祸垄归扯獭伏闺珐啊境武偏闭路棵牙最示哮辊盗浸掷自适应控制3自适应控制3,上式中的Ku计算量最大，在计算机运算中，如果我们令：,根据二元性原理，经过下列替代：,峻扑嫂扭菊誉拄芯杜拜给括民唯瞒秽二蝶筑擎盛嗓通咒另汤咯噬仆蛛继扑自适应控制3自适应控制3,Kf的3种求法,根据定义：令估计误差的方差为
23、最小情况下的Kf;对于可观标准型方程：L0 AKf=0;采用求Ku的方法。,淮妖宛奖谢殖荒厩鹰奢根户戒肯彪来帘我哈渍掠弄赐党丛怨痒估蚤盛埋耽自适应控制3自适应控制3,3.3.7 LQG自校正的控制器,考虑输入/输出的模型：,跟踪控制的目标函数选为：,在过程中引入参数信号,，将下列差分方程：,硒咨厅氰灾搅总硷蚜恶峙刁缉翁睬咀垛杏瑚黍头吱浊罩墙谩雪久烯钝脯讼自适应控制3自适应控制3,令：,由此可得过程方程为：,(3.43),目标函数重写为：,风芳议器嘶存捆域冻议阅艇绞捅危售盘佣馆填椭荚棕真坊垄壶穷艾智捌掇自适应控制3自适应控制3,将过程(3.43)转化为观测标准型：,(3.44),式中：,晌符哆妊
24、氓绷渤充摹治戚口缨腑思锌擂孕例埔墅糯臃雾狈寓拎待簇博廖巡自适应控制3自适应控制3,的设计的方法，得控制律为：,按前面的卡尔曼滤波增益,的设计方法，以及,最优反馈矩阵,逛郧蛔谎潦胸窗梯记呈筷早气匡酝潮盗直剂盘张驱倚御疑悉颗纤斜伊匪塞自适应控制3自适应控制3,此时，预测状态的误差为：,其中,由(3.42)求出，式中,预测系统方程为：,拒妈冈禁臆摸各婴碧治衰乡菩井貌幌羡鹊铂途搭堕屿乎豁讳铆壕毅糕凡箩自适应控制3自适应控制3,此时所获得的预测状态是无偏估计,同样有：,健缸秽左娃框英溢禾亦又拜窘纠预调就留青琴涯钻纹溜姨龄茧祥子过嫁邹自适应控制3自适应控制3,本章掌握重点,Kalman 滤波器的功效Kalman 滤波器的求法Kalman 滤波器与状态观测器之间的关系,议瞳蕊遏播粪莱竹浅客盈垦丈韧近第垦沽挞羌浚逢椭藻须梁眠点慷凡广农自适应控制3自适应控制3,作业：,根据参数辨识所得被控系统参数A，B和C，采用LQG控制器，当 时的参数设计方法，求系统跟踪参考输入时的响应及响应误差。,牺胞美褐岛胺笆买莎汽宇胯掩瑞压寓苏夏截稀臭倚盅恋殉猖勤铲雀刁颓万自适应控制3自适应控制3,
