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1、1 0 lo0 第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图21所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为r,出射光线坐标参数为厂，,根据几何关系可知1122sin=Tlsin傍轴光线SinO0则=,写成矩阵形式I I 0L 2ILLJ 2J 1得证21折射，然后在介质2中自由传播横向距离d,最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得2 L f- 1W j.用化简后|= 1J L2 Lo1M7 I得证。L0J3.试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示
2、:其往返矩阵为：ILc dJ1 Ol1o1J叫IjIl&I由于是共焦腔，则有将上式代入计算得往返矩阵() Tn=TTTTr1 L r2 LR =R =L12L Ja b 10”101=(-1=(-1C D0 10 1可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件0gg0o则g=1,g=1-,再根据稳定性条件1212R2OVgg1可得01-RLo1 2R22jL对双凹共轴球面腔有，R0iR0则g=1,g=1，根据稳定性条件121R2
3、R12/、/、(QRL工I1Ogg1可得0|1-汗1一41=U,或0RL2122R+RL12LLn对凹凸共轴球面镜腔有，R0,RVo则g=1一一甩=10,根据稳定性条件121R2R12OVgg1可得04收。12Iq火r2)Irr2L,Im则L=L,+0.5(-1)=r+0J71.52所以得到：1.17mL2.17m6.图2.3所示三镜环形腔，已知,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的F=(RCoSe)/2,对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，F=R(2co
4、sO),6为光轴与球面镜法线的夹角。解：图2.1BUl八D O 1 Il - 1L FF F2 2 2Ol1J1Gp)=i-3z2F稳定条件-1-3/+10左边有7%/JR所以有上2或幺10F=R对子午综，午二产对孤矢线：孤失2cos对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线424-p.1R-=/3333弧矢光线lQr-y=R4任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得7.有一方形孔径的共焦腔氢气激光器，L=30cm,方形孔边长d=2Q=0.12cm,=632.8nm,镜的反射率为r=IJ=0.96,其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果12想在共焦镜面附近加一个方形小
5、孔阑来选择TEM模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.500作一个大略的估计。氮完增益由公式e51V1200II1.9eg%nr(l-6-0.003)0.047Ol根据图2.5.5可以查出对应于B的腔菲涅耳数N,0.9001由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2a0.7mm因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm2a=IL同理，对于TEM,02()(卢二(P.02=C02卜底)的(224r21.?l7rrI=Vfcos2。端1sin却我们取Dr,=CIlrIe金cos2(p=0,就20加c=上124V(2r-r(22、一二Ja碍JeM=。2”(即产喉2r4卜k，代入上式并使光波场为零，
6、得到仆32JC02OSOSOS()(rVf4r22rUd=C。嫉川-丁+*(2r24r224显然，只要巧(Qj=I-赤+k=镜面上节线圆的半径分别为：r=ll+/=Jl-2IV2加2Y210.今有一球面腔，R=I.5m,R=-ImL=80cm。12共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为9=I-A=9R15I由此，99=85,满足谐振腔的稳定性条件0gg12I：由稳定腔与共焦腔等价条件e*=00即满足上式试证明该腔为稳定腔；求出它的等价=I-A=1.82R21,因此，该腔为稳定腔。If2R=-(z+_)*IZhrLYhr=+(z+_)和22z,I勺大RJ1.=z-z
7、可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为z=-1.31mz=-0.51m/=0.50mI2根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。16.某高斯光束腰斑大小为=1.14mm,=10.6mo求与束腰相距30cm、IOm、100c)m远处的O0.385mZ求得:Z30cm10m1000m(z)1.45 mm2. 97cm2.96mRO. 79m10.0m1000m17.若已知某高斯光束之3=0.3mm,=632.8nm。求束腰处的3参数值，与束腰相距30Cnl处O的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的夕值。解：入射高斯光束的共焦参数.2,f=-4*-=44.7
8、cm根据q(z)=z+q=z+矿，可得0束腰处的q参数为：式0)=44.7icm与束腰相距30cm处的q参数为：q(30)=(30+44.7i)cm与束腰相距无穷远处的q参数为：R),I(q)=44.7cmcm21.某高斯光束=1.2mm,=10.6mo今用F=2cm的错透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为OIOm、1m、IOCm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数2 = -4i- = 0.427m设入射高斯光束的9参数为4,像高斯光束的q参数为4，根据ABCD法则可知12111=qqF12其中q、=i+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q=TW
9、/和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。22,:Fqq=利用以上关系可得2F-q/10m1m10cm02.OOcrn2.08cm2.01cm2.00cm02.40m22.5m55.3m56.2m从上面的结果可以看出，由于f远大于F,所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22.C。激光器输出光=10.6m,=3mm,用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到=20m2OO及2.5m时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数兀,f=_o.=2.67m设入射高斯光束的q参数为q,像高斯光束的q参数为q,根据ABCD法则可知121 _1_
10、1qqF12其中q=+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数：1q=T+if/和/分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。222fr/fFqq=利用以上关系可得2 F-q1=20m时，I=1.39m,即将透镜放在距束腰1.39m处；O=2.5m时，/=23.87m,即将透镜放在距束腰23.87m处。O23.如图2.6光学系统，如射光入=10.6m,求”及/。O3图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于/ = F,所以1 1I=F=2cm1=F=22.49mO所以对第二个透镜，有/=/=13cm2f=-=1.49910-4mJ巳知F=0.05m,根据J_-2_=_L2q
11、qF12其中q=l+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q=T+if122c,2/和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。/=-/nK人r得,=14.06m,/=8.12cmO324.某高斯光束=1.2mm,=10.6mo今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=Im,口O径为20cm；副镜为一错透镜，F=2.5cm,口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距=1m,如图2.71所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。解：入射高斯光束的共焦参数为图2.320.=0.427m由于产远远的小于/,所以高斯光束经过错透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径!,FCO=Co=0.028mm0OM)2+2这样可以得到在主镜上面的光斑半径为R入(R)=6cma,=a=2.5cm211(3)要从镜M单端输出，则要求镜M反射的光全部被镜M反射，所以要求221aa,=ma=2cm1222(4)和自不变里程往返1/1
