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1、 第一章测试(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1设函数yf(x)在(a，b)上可导，那么f(x)在(a，b)上为增函数是f(x)0的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析yf(x)在(a，b)上f(x)0yf(x)在(a，b)上是增函数，反之，yf(x)在(a，b)上是增函数f(x)0f(x)0.答案A2假设曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程是2xy10，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x0)不存在解析曲线yf(
2、x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率为f(x0)20.答案C6以下积分值为2的是()A.(2x4)dx B.cosxdxC.dx D.sinxdx解析sinxdxcosxcoscos02.答案D7函数f(x)在其定义域可导，yf(x)的图象如右图所示，那么导函数yf(x)的图象为()解析由yf(x)的图象知，有两个极值点，那么yf(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项答案D8函数f(x)x33x29x，x(2,2)，那么f(x)有()A极大值5，极小值为27B极大值5，极小值为11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值解析f(x)3x26x93(x1)(x3)当x0，当
3、1x3时，f(x)0时， f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析由题意知，f(x).令g(x)ex2x2f(x)，那么g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2x2f(x)2xf(x)exex.由g(x)0，得x2.当x2时，g(x)有极小值g(2)e2222f(2)e280.g(x)0.当x0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增，f(x)既无极大值也无极小值答案D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13函数f(x)在R上可导，且f(0)2.x，yR，假设函数f(xy)f(x)f(y)成
4、立，那么f(0)_.解析令y0，那么有f(x)f(x)f(0)f(0)2，f(x)不恒为0，f(0)1.答案114解析答案115假设函数f(x)x3f(1)x22x5，那么f(2)_.解析f(x)x22f(1)x2，f(1)12f(1)2.f(1)1.f(x)x22x2.f(2)222222.答案216一物体以初速度v9.8t6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s经过的路程是_解析(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)4.9646.584.9166.54313.65278.426261.2.答案261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤)17(10分)函数f(x)x34xm在区间(，)上有极大值.(1)数m的值；(2)求函数f(x)在区间(，)的极小值解f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2，或x2.故f(x)的增区间(，2)和(2，)，减区间为(2,2)(1)当x2，f(x)取得极大值，故f(2)8m，m4.(2)由(1)得f(x)x34x4，又当x2时，f(x)有极小值f(2).18(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积解设容器底面宽为x m，那么长为(x0.5)m，高为(3.22x)m.由解得0
6、x1(舍去)；当1a3时，f(x)在(1，a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在1,3上的最小值为f(a)2a33(a1)a26a24.化简得(a1)(a2)20，a11(舍去)，或a2；当a3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，5427(a1)18a4，解得a0)，且方程f(x)9x0的两根分别为1,4.(1)当a3，且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)假设f(x)在(，)无极值点，求a的取值围解由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc，f(x)9xax22bxc9x0的两根分别为1,4，(*)(1)当a3时，由(*)得解得b3，
7、c12.又曲线yf(x)过原点，d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)无极值点，等价于“f(x)ax22bxc0在(，)恒成立由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，解得a1,9，即a的取值围是1,921(12分)函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直(1)数a，b的值；(2)假设函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求m的取值围解(1)f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，ab4.又f(x)3ax22bx，那么f(1)3a2b，由条件f(1)()1，得3
8、a2b9.由，解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，得x0，或x2，假设函数f(x)在区间m，m1上单调递增，那么m，m1(，20，)，m0，或m12，即m0，或m3，m的取值围是(，30，)22(12分)函数f(x)(x1)lnxx1.(1)假设xf(x)x2ax1，求a的取值围；(2)证明：(x1)f(x)0.解(1)f(x)lnx1lnx，xf(x)xlnx1，题设xf(x)x2ax1等价于lnxxa.令g(x)lnxx，那么g(x)1.当0x0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1.综上，a的取值围是1，)(2)由(1)知，g(x)g(1)1，即g(x)10，即lnxx10，当0x1时，f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)0；当x1时，f(x)lnx(xlnxx1)lnxx(lnx1)lnxx(ln1)0.所以(x1)f(x)0.12 / 12
