《《概率论与数理统计教程》魏宗舒 课后习题解答答案_1-8章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计教程》魏宗舒 课后习题解答答案_1-8章.docx（86页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、第一章事务与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事务的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(i)得白球，(ii)得红球。解(1)记9个合格品分别为正正2,，正9,记不合格为次，则Q=(正正2),(正正3),(正1，正9),(正次)，(正2，正3)，(正2，正4)，,(正2，正9)，(正2，次)，(正3，正J,(正3，正9)，(正3，次)，,(正8，正J(正8，次)，(正9，次HA=(正P次)，(正2，次)，,(正9，次)(2)记2个白球分别为例，2,3个黑球分别为b2,%,4个红球
2、分别为4，r2,r3,q。则。=9，z毋，h2,b3,r2,r3,r4(i)A=l,2(ii)B=,r2,r3,1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事务A表示被选学生是男生，事务B表示被选学生是三年级学生，事务C表示该生是运动员。(1)叙述ABe的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式CUB是正确的？(4)什么时候N=B成立？解(1)事务ABe表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)ABC=C等价于CuA3,表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了个零件，以事务4表
3、示他生产的第i个零件是合格品(lzH)o用4表示下列事务：(D没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解aj.；力4=04；J(a.);i=l/=1Z=If=lj=l(4)原事务即“至少有两个零件是合格品”，可表示为IJAiAij=ij1.4 证明下列各式：(1) AJB=BJA,(2)ArB=BrA(3)(AoB)uC=Au(uC);(4)(ACB)CC=AC(8CC)(5)(AdB)CC=(AcC)D(BcC)(6)介A=O%三l/-1证明(1)-(4)明显，(5)和(6)的证法分别类似于课文第1012页(1
4、.5)式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为&=87t所得分数为既约分数必需分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事务A“所得分数为既约分数”包含A；+2A；X=2x3x6个样本点。于是P=凶”工8x7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解样本点总数为=IOe所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必需是3、5、7或3
5、、7、9或多或5、37、9t所以事务A”所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(4)=101.7 一个小孩用13个字母AAAC,EJ,/,M,M,MT,T作组字嬉戏。假如字母的各种排列是随机的(等可能的)，问”恰好组成MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解明显样本点总数为13!,事务A”恰好组成MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以P(A) =3!2!2!2! 48HF 13!1.8 在中国象棋的棋盘上随意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解随意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9x10-1=89个不同位置，当它处于
6、和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为P（八）=891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从其次层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中随意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事务A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯二所以包含阕个样本点，于是P（八）与1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到100O0。问事务“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码
7、中有数字8”的概率为多大？解用A表示“牌照号码中有数字8，明显=,所以10000UoJP(A) = I-P(A) = I-94100001.11 任取一个正数，求下列事务的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最终两位数字都是1；解(1)答案为4。5(3)一个正整数的立方的最终两位数字确定于该数的最终两位数字，所以样本空间包含IO2个样本点。用事务A表示“该数的立方的最终两位数字都是1，则该数的最终一位数字必需是1,设最终其次位数字为则该数的立方的最终两位数字为1和3。的个位数，要使3。的个位数是L必需a=7,因此A所包含的样本点只有71这一
8、点，于是O1.12一个人把6根草驾驭在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最终将剩下的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有531种接法，所以样本点总数为(531)2.用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有531种连接法，而对尾而言，任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最终再
9、将其余的尾连接成环，故尾的连接法为420所以A包含的样本点数为(531)(42),于是P(A)(531)(42)_8(531)2-F(2)2根草的情形和(1)类似得1.13把个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后，只能区分盒子中球的个数，不能区分是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不行辨的)。假如每一种放法都是等可能的，证明(D某一个指定的盒子中恰好有上个N+n-k-2y球的概率为IiJ,OknTrT(NYn-(2)恰好有加个盒的概率为J,N-nmNTrT(m+j-1Y/v-w+/：-j-(3)指定的m个盒中正好有J个球的概率为1n-jJ,lmN,OjN.-M-解略。1.14 某公共
10、汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是随意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。3解所求概率为P（八）=gn111.15 在AABC中任取一点尸，证明AABP与A8C的面积之比大于-的概率为-。nn1 U1解截取CZy=-C。，当且仅当点P落入AcA之内时A45吗A8C的面积之比大于因此所求概率nn2Ci,ABC有面积=CD,=1AABEJ面积=而L而2=/1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的随意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率。解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必
11、需等待当且仅当0x-y2,0y-xlo因此所求概率为P（八）=三0.121241.17 在线段A5上任取三点2,“2，七，求：(1)位于项与与之间的概率。(2)ArI,Ar2，能构成一个三角形的概率。,-11I1-3x-X-1解(1)P（八）=(2)P(B)=L3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面随意地投掷一个三角形，该三角形的边长为o,4c(均小于4),求三角形与平行线相交的概率。解分别用4,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，明显P（八）=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用4,4,A,A”.,A正表示边凡C,二边
12、4c,8c与平行线相交，则P（八）=P(A办D4，DAQ明显尸(Aa)P(Aafr)P(AJ,P(Ah)=P(Aah)+P(Abt)fP(AC)=P(AQ+P(AQ。所以1 21P（八）=-P(J+P(Ah)+P(Al)=-(a+b+c)=-(a+b+c)2 2da(用例1.12的结果)1.19 己知不行能事务的概率为零，现在问概率为零的事务是否肯定为不行能事务？试举例说明之。解概率为零的事务不肯定是不行能事务。例如向长度为1的线段内随机投点。则事务4该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不行能事务。1.20 甲、乙两人从装有。个白球与b个黑球的口袋中轮番摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后
13、都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。吟解。表不白，g表不黑白，叫表不黑黑白，叱+1表示黑黑白，则样本空间C=叼，,，b+x),并且尸(q)=,a+bDzr、baD/f1、bb-ap(g)EP(M)=rh汴r，P(W)=上.I2)a+ba+b-a+b-(i-2)a+b-(i-)P(%) =bta( + b)( + b-l)。甲取胜的概率为尸(o)+P(g)+P(%)+3乙取胜的概率为P(2)+尸(叫)+P(4)+1.21 设事务AB及AD3的概率分别为p、q及r,求PGAB),P(AB),P(AB),P(AB)解由P(ADB)=P
14、（八）+P(B)-P(AB)得P(B)=P()+P(B)-P(AjB)=p+q-rP(AB)=P(A-AB)=P（八）-P(AB)=r-q,P(AB)=r-pP(AB)=P(AuB)=l-P(uB)=l-r1.22 设A、4为两个随机事务，证明：1 1)P(A1A2)=1-P(A1)-P（八）+p(a)；2 2)1-P(Q-P()P(A12)P(1uA2)P（八）+P(A2).证明(1)P(AI2)=P(%d4)=1-P(AD无)=1-P（八）-Pe)+P(%不)(2)由(1)和P(4W)O得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得其次、三个不等式。3 .23对于随意的随机事务A、B、Cf
15、证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)P（八）证明P（八）PfA(BuC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AS)+P(AC)-P(BC)4 .24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：(D只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的：(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事务4表示订甲报，事务8表示订乙报，事务C表示订丙报。(1) P(ABC)=P
16、(A-(ABuAC)二P（八）-P(ABuAC)=30%(2) P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3) P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23%P(C)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20%P(ABCU+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(C)=73%(4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5) P(B+C)=90%(6) P(ABC)=1-P(+B+C)=1-90%=10%1.26 某班有个学生参与口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到
17、的概率是多少？N解用4表示“第i张考签没有被抽到，t=,2,N0要求P(UAZ=IP（八）=(M)P(AH)=(爷卜，P(AAG=(午)=ONP(AJ =i=lg fv-Y J= (T)INYN-IYZP(AjA) = 一liNI N(yYv-2V7V-2j所以P(CM)这(T)1=1Z=I/1.27 从阶行列式的一般绽开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的绽开式中，任一项略去符号不计都可表示为442,-2，当且仅当1,2,的排列也i”)中存在使乙=人时这一项包含主对角线元素。用人表示事务“排列中=A”即第2个主对角线元素出现于绽开式的某项中。则户（八）=5-L1P(
18、AiAi)=(-2)!(1ij0),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰l有r个下一代(即小鸡)的概率为立广沏。r解用人表示“母鸡生2个蛋”，8表示“母鸡恰有r个下一代”，则05(kP(B)=ZP(AJP(BIa)=Z*p71-P)k-rk=rk=rK)_(.P)r-入y,.)Fr_(几PyY.Z(I-P)r!h(D-HJP)rcr!1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用人表示“任选一
19、名射手为A级”，Z=l,2,3,4,B表示“任选一名射手能进入决赛”，则尸(8)=ZP(AA)P(BlAa)=Xo.9+CX0.7+2X0.5+L0.2=0.645202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里，不合格品各占有5%,4%,2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用A表示“任取一只产品是甲台机器生产”为表示“任取一只产品是乙台机器生产”A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式：jP(Ak)P(BAk)69
20、之P(4)P(BAQ69*=*=P(WP(M(例右)P(Ai)P(BlAi)69k=1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在肯定时间内须要修理的概率之比为1:2:3:1当有一台机床须要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？9321解则RA)=，尸(&)=R，PH)=*，P（八）=R1231P(BIA)=,P(BIA2)=,P(A3)=-,P(BA4)-由贝时叶斯公式得P(AlH);P（八）P(8A)二9P（八）P(BIA)22=!1.36 有挚友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。假如他乘火车、轮船、汽车来的话，
21、迟到的概率分别是L、!、!,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多4312少？解用A表示“挚友乘火车来”，&表示“挚友乘轮船来”，表示“挚友乘汽车来”，儿表示“挚友乘飞机来”，B表示“挚友迟到了”。则P(A=，产网4)及P(Ak)P(BlAk)2k=l1.37 证明：若三个事务A、B、C独立，则AD4、AB及A-B都与。独立。证明(1)P(AoB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AuS)P(C)(2) PABC)=P（八）P(B)P(C)=P(AB)P(C)(3) P(A-B)C)=P(A-A)C)=P(AC-AQ=P(A-B)P(C)1.38试举例说明由P
22、(A80=P（八）P(8)P(C)不能推出P(AB)=P（八）P(B)肯定成立。1 1Q解设。=G,g,G3,g,Gs,P(691)=-,P(5)=-,6464P(2)=P(693)=P(g)=E，A=l,1，A=x,A=4则64P（八）=P(B)=P(C)=占+=1，64644P(ABC)=P(例)=4=P（八）P(B)P(C)但是P(AB)=尸(例)=P（八）P(B)1.39设4,为个相互独立的事务，且P(AD=PA(I%),求下列事务的概率：(1) 个事务全不发生；(2) 个事务中至少发生一件；(3) 个事务中恰好发生一件。解(1)P(O=11P(AO=11(l-p,)Jt=IJt=I*
23、=1(2)P(JAa.)=l-P(A)=l-fI(l-PjJt=I=lJt=IMcMf)=f(4f)=汽业寸(1-加.k=l*=1y=lk=j=jkjkj/k1.40 已知事务A,B相互独立且互不相容，求min(P（八）,P(B)(注：min。,y)表示x,y中小的一个数)。解一方面尸(4),P(8)0,另一方面P（八）P(8)=P(Afi)=O,即P（八）,P(B)中至少有一个等于0,所以min(P（八）,P(B)=0.1.41 一个人的血型为QAB,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在随意选择五个人，求下列事务的概率(1)两个人为。型，其它三个人分别为其它三种血型
24、；(2)三个人为。型，两个人为4型；(3)没有一人为48。解(1)从5个人任选2人为。型，共有(；)种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为8型，共有2种可能，另一人为43型，顺此所求概率为：320.4620.400.110.130.0168(2) QX0.4620.4020.1557(3) (1-0.03)50.85871.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6,求同时放射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少须要多少门高射炮。解用人表示“第Z门高射炮放射一发炮弹而击中飞机，2=1,2,，8表示
25、“击中飞机”。则尸(4)=0.6,k=1,2,。(1) P(AoA2)=1-P(12)=l-0.42=0.84(2) P(Aiu.4)=l-P(AA)=l-0.4n0.99,h015.026k=Ig04取=6。至少须要6门高射炮，同时放射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43做一系列独立的试验，每次试验中胜利的概率为，求在胜利次之前已失败了加次的概率。解用A表示“在胜利次之前已失败了加次”，5表示“在前+机1次试验中失败了历次”，。表示“第+机次试验胜利”则P（八）=P(BC)=P(B)P(C)=+；一)i(1-P)mP(n-n-1A=pn(-pyntn)1.45某数学家有两盒火柴，每
26、盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴(lr)的概率。解用片表示“甲盒中尚余i根火柴”，用鸟表示“乙盒中尚余/根火柴”，C,O分别表示“第2一次在甲盒取“，“第2一/次在乙盒取”，AOBC表示取了2一/次火柴，且第2一一次是从甲盒中取的，即在前2一厂一1在甲盒中取了 一 1,其余在乙盒中取。所以P(A0BrC) =由对称性知P(AzAC)=P(ABO),所求概率为:一IYlYAlP(AiiBrCuArB.D)=2P(A,BrC)=j其次章离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(4)0.7 0.10.1(2以解(1)是
27、(2) 0.70.1+0.1l,所以它不是随机变量的分布列。(3)l+l+lflY+.+lflY+.=2,所以它不是随机变量的分布列。22(32U213)4(4)为自然数，且S12 Jn=1，所以它是随机变量的分布列。2.2设随机变量J的分布列为：Pe=Z)=七次=12345,求(I)Pe=I或J=2);(2P(i)；(3)P(l2)o171解(1)P(=l=2)=-+=-;(2)尸(；自0)Z=0j,2,。由于；UT二二，得4=2,乙=。(不合要求)。所以k2O47P(=4)=-e2=-e2.2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量听从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品
28、，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设J为该种商品当月销售数，X为该种商品每月进货数，则PGVX)0.999。查普哇松分布的数值表，得x16O2.12 假如在时间Z(分钟)内，通过某交叉路口的汽车数量听从参数与/成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设J为时间，内通过交叉路口的汽车数，则Pc=k)=区眩,(O)yk=0,1,2,f=1时，Pe=O)=0.2,所以4=ln5:，=2时，r=21n5,因而PC1)=1-P(=0)-P(=1)=(24-In25)/250.83。2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等
29、可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过500个)。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=一，因而，至少出现三个错误的概率为5p00Y 1 丫/499丫- k Jl5J ;5丽利用普哇松定理求近似值,取X = = 500 = 1500于是上式右端等于,=l- 0.080301 Ie2.14某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装oo+x个产品，其中有上个次品，则要求X,使0.9f10+10.03a0.97100+xa人=OlZ)X3太利用普哇松分
30、布定理求近似值，取;I=(I(X)+x)0.033,于是上式相当于0.9Z宗7,查普哇松分布数值表,A=Ok.2.15设二维随机变量(Jh)的联合分布列为:Pe=川=M=*Pm(I-Py1(o,op!(-)!(p)me-p八=Tn=0,1,2,。m!2.17 在一批产品中一等品占50船二等品占30%,三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为4、,求G,G的联合分布列与各自的边际分布列。解P(=fni=n,=k)=0.5,m0.3,0.2，根,m二(U,2,3,4m+n+k=4.TrArAkXPe=M=(o5O.5mn=0,1,23,4；尸(=)=0.30.74-n，=0,1,
31、2,3,4;P(=k)=000.8J,Z=OJ,2,3,4。k)2.18 抛掷三次匀称的硬币，以J表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的肯定值，求,)的联合分布列及边际分布列。2.21 设随机变量J与独立，且P(J=I)=P(77=1)=0,又Pe=O)=P(77=O)=l-pO,定义,=P若为偶数，问P取什么值时J与独立？0若4+为奇数解P(=D=Pe=0)P(7=0)+P(=I)Ps=1)=(1-p)2+P2P(=0)=P(=O)Ps=1)+Py=0)P(7=I)=2p(l-P)而P0=1,4=1)=P=1,77=1)=P2,由PC=I4=1)=P(=)P(=1)得=L
32、1 21.22 设随机变量J与独立，且尸C=1)=P(=1)=;,定义，=g，证明，,虞两两独立，但不相互独立。证明P(=1)=P(J=1)P(77=1)+PC=7)P(=-l)=PK=-D=P化=I)Pm=-D+Pe=_1)尸=D=g因为尸=1,7=D=PC=I)=J=Pc=I)P7=1)4P(J=h=-D=PC=-1)=7PC=I)Pg=T)4P(J=-l,=i)=Pe=一=-1)=7尸C=T)P(7=1)4P(J=-,=-D=Pe=-,7=PC=-I)P(S=-D4所以看相互独立。同理与，相互独立。但是P(=1,7=1,=1)Pe=I)PS=D?(7=1)，因而,不相互独立。1.23 设
33、随机变量J与独立，且只取值1、2、3、4、5、6,证明十7不听从匀称分(即不行能有P(g+77=Q$,Z=2,3,12。)证明设P=k)=Pk，P(=k)=qM=1,2,6。若C+Y=Z)=次=2,3,12,则PC+77=2)=pm=(1)尸+=7)=国6+2%+一+6名=(P+77=12)=6%=(3)将(2)式减去式，得：(6-P1M0，于是P6P1O同理夕641。因此646PlqI=与式冲突。0 TT2.24已知随机变量J的分布列为22求 =(g+2与，= CoSg的分布列。I127i解分布列为P(=2)=1,P(=2+-)=-fP(=2+-)=-，的分布列为PC=-1)=；,P(7=0
34、)=q,尸(？=1)=；。2.25已知离散型随机变量J的分布列为(27?j_11,求=贲的分布列。分布列。(0123411111112.27设独立随机变量J与分别听从二项分布：b(k,%,p)与b(k;&,p),求J+的分布列。解设J为勺重贝努里试验中事务A发生的次数(在每次试验中P（八）=),为2重贝努里试验中事务A发生的次数(在每次试验中P（八）=)，而J与相互独立，所以自+为+%重贝努里试验中事务A发生的次数，因而/P(g+=k)=pkqhf-k,Z=OJ+?。Ik)2.28设J与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为PC=)=尸(=)=,=12求g+的分布列。n-lM-I11n_1解
35、尸(j+=)=Zag=Qp(=-2)=ZfR=vJt=I=22L2.29设随机变量自具有分布：尸修=(次=1,2,3,4,5,求心、及E记+2)?.解，E=(l+2+3+45)=3,E2=(12+22+32+42+52)=11E(+2)2=E2+4E+4=272.30设随机变量J具有分布：Pc=k)=1,k=l,2,求Eg及DJ。2D=E2-(E)2=22%I2.31设离散型随机变量g的分布列为：PH=(T)”7=5=i,2,，问J是否有数学期望？解(-dav=7*因为级数加发散，所以g没有数学期望。A-=Ik2A=IKA=IK2.32用天平秤某种物品的重量(祛码仅允许放在一个秤盘中)，物品的
36、重量以相同的概率为1克、2克、10克，现有三组祛码：(甲组)1,2,2,5,10(克)(乙组)1,2,3,4,10(克)(丙组)1,1,2,5,10(克)问哪一组祛码秤重时所用的平均祛码数最少？解设。、2.4分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数，则有物品重量度12345678910111122233131123122341于是Ei=-(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8E2=(1+1+1+l+2+2+2+33l)=1.7E43毛(1+1+2+3+1+2+2+3+4+1)=2所以，用乙组祛码秤重时所用的平均M码数最少。2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法
37、测得边长的误差为：0米的概率是0.49,10米的概率各是0.16,20米的概率各是0.08,30米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。解设场地面积为S米2,边长的误差为J米，则S=(+500)2且E=OE2=2(1020.16+2020.08+3020.05)=186所以ES=Ec+500)2=Eg+1000EJ+250000=250186(米?)2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为小、P2、P3。试证发生故障的仪器数的数学P+%+P3。证令/=1第i架仪器发生故障.=0第i架仪器未发生故障。为发生故障的仪器数，则Ei=P&=l)=piJ=1,2,3,所以EJ=七。+E2+E3=P1+P2+P3。2.37假如在15000件产品中有100O件不合格品，从中随意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解设，(1oA1则名的分布列为J_14,因而后必二一。设g为查得的不合格品数，则1515J15150150=11i所以EJ=ZE7.=10。i=li=l2.38从数字0,1,，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的肯定值的数学期望。A
