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1、第八章 自由曲线曲面,榷朗哉沂射澳瘩奄六盒避稽措瓮悯墅谢驮咀吻酶淫纸船乞静手待帐江夏宙计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,位置矢量空间一点A，从原点O到A的连线OA表示的矢量。曲线的表示形式空间一点的位置矢量有3个坐标分量，而空间曲线则是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为参数方程为,饱骑椿柜否标狭半兽在磐环剁萨观泉滑吁图盎尚邦趴肛涝庐铝纷慰拭示日计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的参数表示优点有更大的自由度来
2、控制曲线或曲面形状可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换可处理斜率无穷大的情况对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间便于采用规格化的参数变量易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算,锅棉卢材受祝峦损泞尼锻生跃登绍瓤邮勤言到茅蔑景醇身修续块辉彤宗廷计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的矢函数求导,又设r(u)=x(u),y(u),z(u)，因为,稗丹萤剥映辅诅晴格享宣您表蓟玄斤酵锈哀涝蓄钨涂闲铸宅银抚挡拽五孵计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学
3、ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,所以 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当,c(u)/u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。曲线的自然参数方程设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。,衣托罪彤路褒扶逛绊筋泊智虹骑晨唯沈兔腔魔宏受缘叶趾阐棵堰靠苟减铂计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的法矢量设曲线自然参数方程为c=c(s)，曲线的
4、切矢为单位矢量，记为因为(T(s)2=1，对左式求导，得到说明T(s)与 垂直，由于 不是单位矢量，可以认为其中单位矢量N(s)为主法线单位矢量，简称为主法矢，N(s)总是指向曲线凹入的方向。K(s)为一标量系数，称为曲线的曲率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率,馒娇否垫桓坪爬氓永异喉撕抱赘被土驮二以豹稻十险郸殉君备艳龚滑域恕计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,记 称为曲率半径。设垂直于T和N的单位矢量为B，称B为法线单位矢量或副法线单位矢量由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，
5、由切线和副法线构成的平面称为从切面。,牡琵断独婚墅涤猛征琉砧纪萄坞壶负冗芍隘永保撕囚你琼符琉茬渊惠兔趁计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示：,当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量,切矢的方向指向参数u增长的方向，同理可求对v的切矢量。,牌轿增麻蔼絮播禹哎肥透验囚束痈寝绽坛牛嗅救掷北笋诽赦遁杉普英褂予计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线
6、曲面,8.1 曲线和曲面的表示,经过曲面上某点M(u,v)的切平面的法矢量为,陌皱结糊剐尘夹稳疙颓若媒躺升惦令挪旭跟判皋逻凭抓型猩衔囤宿磅不阉计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,插值、逼近和拟合型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过已知的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近已知的型值点。拟合 指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。,补犀唆父欢耕
7、另推霖哆住挨贝分折馒玄燃尿诀赫墩怀夫咱绿床楼圭惩梯歼计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,曲线段间的连续性定义C0连续（0阶参数连续）前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。C1连续（一阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。C2连续（二阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。,匣凳杆又父可姨勿笨示二雄脑查硝杠瓜稀卞墒熙柜膝逢锥僚帧年卵赃阔峡计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,1、Bezier曲线定义给
8、定空间n+1个点P0,P1,Pn，称下列参数曲线为n次的Bezier 曲线。,其中 是Bernstein基函数,辫访绥辖实乒嘻淹竞卧骂识住乓旋陛戴校翌捶廉嚏练毕耸辑蕉掖代苦负免计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,一般称折线P0、P1Pn为C(u)的控制多边形，称P0、P1Pn各点为C(U)的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致勾画，C(u)是P0、P1Pn的逼近。,P0,P3,P1,P2,图8.1 Bezier曲线,扶碉奠扔兑淳歹乡芝衙述剪糙怎寥北桑朴吵倔虚朱翟炒盾贪镰昂雀弦愉崇计算机图形学ppt课件 第八章
9、自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bernstein基函数性质非负性规范性对称性递推性端点性最大性可导性升阶公式分割性积分性,螟施礁砷他捧中蜗匿晚腆脱凹震里砖舜疾印吟左绿谦缉没鞍坠臂矾长检抉计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线性质端点性端点切矢量端点曲率对称性几何不变性凸包性变差缩减性,质哥钢妊鸯殃篮蒸纂粳扬辞多租燥缺期卯又遇饰汲粮各赋参粮爱巾且囚洽计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8
10、.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示一次Bezier曲线,P1,P0,u,图8.2 一次Bezier曲线,忿戈想啄帐侣啮嘱篓匿犀途锹些琢疥咏诅鄙瞪皋毗线壬堰残矿龚增飞遵雷计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示二次Bezier曲线,P2,P0,图8.3 二次Bezier曲线,P(u),Q2,P1,Q1,催碌员樱炸默擎镍兔箍伙愧谗椰逛辆果迎盖倪膝萍精貌抗僳狮缓菏二艰系计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（B
11、ezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示三次Bezier曲线,P3,P0,图8.3 三次Bezier曲线,P(u),P1,P2,沙盂雅涂炎鸥韩戍玲威邦拾僳诣褂荆毫拾贵健拍惜牛隘洗期彪胳配斩柠簿计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的De Casteliau算法给定三维空间点P0、P1Pn以及一维标量参数u,假定：,并且 那么 即为Bezier曲线上参数u处的点：,敢昨料淘惧萝藏绒蠕驻宙姿凋纫斋弥继癣报碳蘑航街晰郴褥驻轿叛献硬确计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第
12、八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的De Casteliau算法,DeCasteljau(P,n,u,C)/*Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm*/*input:P,n,u*/*Output:C(a point)*/For(i=0;i=n;i+)Qi=Pi;For(k=1;k=n;k+)For(i=0;i=n-k;i+)Qi=(1.0-u)*Qi+u*Qi+1;C=Q0;,辊截唾纫搬批免吨催赁尼呛疵靡棘揽浚采拱肝狮霞呐帮敬麓嘻驼鸡履椽刽计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲
13、面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线几何作图利用De Casteljau算法可以计算参数u处的曲线点：1、根据给定的参数u，在控制多边形的每条边上确定一分割点，使分割后的线段之比为u:(1-u),得到分割点为 由此组成一个边数为（n-1）的新多边形。2、用相同方法对该多边形再次分割，得到分割点 形成另一个新多边形。3、按相同的过程分割n-1次后，得到两个顶点、，再分割得到所求的点即为所求的u处的曲线点。,淮扑射晋蛮灼蛹捂巨订食粕恍幢填菊氧凹言份友晚志剩诲疤窄龚涩董券管计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件
14、第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,P0,P12,P21,P2,P11,P1,P01,P03,P3,P02,图8.5 Bezier 曲线的几何作图法,剖渠和皂乱腑络曼血狱婿蠕束抒咖变韩挂瓦皖写着冤婶沙恍汉艳序祭写僚计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线分割几何作图法中计算得到的同时也将原Bezier曲线分为两个子曲线段。Bezier曲线分割是指给定两个参数值，求原Bezier曲线C(u),u属于0，1上由两点C(u1)、C(u2)所界定的那段子曲线段的控制顶点。,孟依您共涧敦
15、缘献奸脖嫌窿回舔角摆乌匀辜库知洞捶唾茬饱倒鳃彬馋姑样计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的升阶有时为了便于Bezier曲线修改，需要增加控制顶点提高灵活性，而不改变原曲线形状，即将n次的Bezier曲线升级为n+1次的Bezier曲线，即,将左边乘u+(1-u)，然后比较 的系数，得到,灿薪济舰柯羔糠鹰耀胸窥卵胞棵雇仑旱底郎烩馈孰兵旗住伯聘偏步祭作削计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的升阶说
16、明：1、新的控制点是老的特征多边形在参数i/(n+1)处进行线性插值的结果。2、升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内。3、升阶后的新的特征多边形更逼近Bezier曲线。,攒蜡辰扇歇纺秽猫孔慷谰啊胜墨贷淌哥悠娜提拒酵膊哑讯杖窃呢惹莽弦拣计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,求Bezier曲线的控制顶点已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，可得到相应的控制顶点。例：已知三次Bezier曲线四个点为Q0(120,0),Q1(45
17、,0),Q2(0,45),Q0(0,120)对应参数u分别为0,1/3,2/3,1解：三次Bezier曲线展开,挎涤惜泣意议籽瘴斧霍凹燕辜烯暂羽轿忱奔辱庶鹏随颧芒裔骨雪油幌煌捕计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的拼接,P0,Q2,Q1,Q0,P3,P2,P1,Q3,图8.7 Bezier曲线的拼接,小料沦流靡攻晰淄虽撒洗萨数琳矮虏跃翅极求迄蜂逢靳藐姓耶霖佬盐遏阅计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,有理Bez
18、ier曲线,与Bezier曲线相比，除了可以调节有理Bezier曲线的控制顶点外，还可以调节其权因子的大小来改变曲线的形状，因此具有更强的造型功能。其性质见P197,菠凳医分存金棒万上驳祸奸倚混含锑办十术渤歉连匈菩锡堰砚钞搪敲捌肌计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,定义在空间给定（n+1）（m+1）个点Pi,j(i=0,1n;j=0,1m)，称下列形式为nm次Bezier曲面：,边训关告硫丧鲁止臻被护芽脱两笺凡丈钞瘟槐溪果玻搜靠栏劲威行娩鄂冷计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第
19、八章自由曲线曲面,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,性质1、端点2、边界曲线 S(0,v)，S(u,0)，S(1,v)，S(u,1)为四条Bezier曲线3、端点的切平面4、端点的法线方向5、凸包性6、几何不变性7、变差递减性,耸搐搭秘民谋象衡仰浴圾养酞己艺绑搜慧暂乐扬蜗脑幅弘痈着羚炔肌牡网计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,Bezier曲面的微分,衍没芹纬牧端防蜡阅唉碎踊秤版记糙愁鼠馋桔搬蛙过苹伟超羔龚痛抚趣营计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.3 贝
20、叶斯（Bezier）曲面,Bezier曲面的法矢量Bezier曲面的法矢量等于两个偏微分的叉积Bezier曲面的升阶Bezier曲面的几种表达形式1、双一次Bezier曲面2、双二次Bezier曲面2、双三次Bezier曲面,徽久擞楚迸薄惫暴宙桩践狼浦雕毯剥休洁却榷唱稠筛参东大插侠耳溪蓝昏计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,Bezier曲线有许多优越性，但有两点不足：1、特征多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，且在阶次较大时，特征多边形对曲线的控制将会减弱。2、Bezier曲线不能做局部修改，改变一个控制点的位置对
21、整条曲线都有影响，其原因是基函数Berstein的参数u在0,1区间内均不为0。1972年Gordon Rie-feld等人拓展了Bezier曲线，用B样条基函数代替基函数Berstein，即形成了B样条曲线、曲面。,骏纺月妈电泊邑慰霓速懂炸摇倪老叙芯临策祈闪徒守抡诽晴裴欠传捧鸯杰计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,B样条基函数 给定参数u轴上的一个分割由下列递推关系定义的Ni,p(u)称为U的p次(p+1阶)B样条基函数,其中p表示B样条的次数（即为P+1阶），ui为节点，U为节点矢量,盏吭动获丑诛寇梁披满渊辑滩鸣掂诛矮可
22、各郡峰蔬惕盐斯倔脚甜愿腰世倘计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,该表达式意味着：1、Ni,0(u)是一阶跃函数，在 区间外均为0；2、对于P0，Ni,p(u)是两个（p-1）次基函数的线性组合；3、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量U和次数P；4、Ni,p(u)是一分段多项式，仅仅在u0,um区间对其感兴趣；5、ui,ui+1)称为第i个节点区段，其长度可以为0；6、若，则称上式中除tj-1,tj+k以外的每一个节点为U的k重节点。,原鸭哈糙粕尾垒利舰呼缉泌恳您橙筐胺巫照贯风减扔粱羊奢愁错傻凿毛漠计算机图形学ppt课件 第
23、八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,B样条基函数的性质局部性非负性规范性分段多项式连续性可微分性,摈侗语彪现陶县醉捶炊湘未爹珍恃辅拱毅靖傀扬倚凑饱弗雀缀窘蝶冰泳岛计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,B样条曲线定义设P0,P1,Pn为给定空间的n+1个控制点，U=u0,u1,um是m+1个节点矢量，称下列参数曲线为P次的B样条曲线，折线P0,P1,Pn为B样条曲线的控制多边形。,次数p，控制顶点个数n+1，节点个数m+1具有下列关系m=n+p+1,聚稼图民熏窥庸匙怎泌喳锄性魄杆匆特迪
24、谷鉴畦莉悠留犹饼幸厩琶铣通膳计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,B样条曲线性质严格凸包性分段参数多项式可微性或连续性几何不变性局部可调性近似性变差缩减性,膀辜簇较侵箔频睬脆喷垃瘫告烛全吠储眩董渭从扛枚丫寂拨契瞩锭材晌酉计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,例题：给定控制顶点Pi(i=0,8),定义一条三次B样条曲线，这说明n=8,p=3,各种关系如下确定：1、节点矢量2、曲线定义域3、当定义域u3,u9)内不含重节点时，曲线段数=n-p+1=64、当 时，曲
25、线C(u)由Pi-p,Pi)=P3,P6)4个控制顶点定义，与其他顶点无关。5、移动P3时，将至多影响到定义在ui,ui+p+1)=u3,u7)区间上的那些曲线段的形状。6、在u6,u7)上的三次B样条基及计算定义在u6,u7)上那段三次B样条曲线将涉及到ui-p+1=u4,ui+p=u9共6个节点。,孔霸荆糊苑婶吞塔虞贫杯缘柄舀才受术阴附栈穿犊酣夺卡摸暂路孰萌恫匝计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,重节点对B样条曲线的影响节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：1、节点区间长度不等；2、重节点，即节点区间长度为01、重节点的
26、重复度每增加1，曲线段数就减1，同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降12、当定义域端点节点重复度为p时，p次B样条曲线的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。3、当端节点重复度为p时，p次B样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。4、当端节点重复度为p+1时，p次B样条曲线就具有和p次Bezier曲线相同的端点几何性质。5、p次B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度p，可以生成定义在该节点区间内上那段B样条曲线的Bezier点。6、当端点节点重复度为p+1的p次B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，则所定义的该p次B样条曲线就是p次Bezier曲线,渠割请
27、县撕代字贮媳听赃挞鳞谷幸殆遁秃依匙减嫁判骇岩升鸣洒淮奎坡习计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B样条曲线,均匀B样条曲线非均匀B样条曲线,侗侠亦此超恕睛螟颈腔原露鳖综脂苞淡寐贴赴辣月黑频趟扰蜗孩陶激颂名计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.5 B样条曲面,本节自学,存佣骗溉秩义躬秩宏招能奋游砂杀铭戍貉涂守钩缆扔羡求熙宁峦品京氓想计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.6 NURBS曲线,非均匀有理B样条曲线和曲面（NonUniform
28、Rational B-Spline）简称为NURBS曲线定义：p 次NURBS曲线为,征布阉所戳航割傲刷歧雷拎藐治子闯累楞梦袭奉媳童烘埂刻拢棵媚笑贸终计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.6 NURBS曲线,性质非负性规范性局部性可微性权因子特例性,恭迂谰掖股曝瞎绽哦狐奋膛攻釜输数叶赃哼槛当工码贫廖藕政口叫矫宠叛计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,8.6 NURBS曲线,NURBS曲线性质端点性质仿射不变性严格的保凸性可微性变差递减性局部性一般性,献椭交豺岳瑶类蕴摸什放瘪呀肩禁涯射呼猖赢肋举赌高求营沉计朋踏志霹计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面,
