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1、构造法在全等三角形解题过程中的应用初探摘要：全等三角形知识是中学阶段的重点考点之一，在平面几何知识上有着十分的作用。在几何教学时候，我们常常需要在图形中添加一些辅助线或者进行图形、坐标等变换方法来构造全等三角形，以此来解决数学和生活中的实际问题。关键词：全等三角形、构造、解题、思想、应用引言：常规思维在解决和全等三角形有关的知识时候，有时并不总能顺利解决。此时我们就需要通过题设中的各种条件特征、数量关系式等，运用已有知识和结论构造出全等三角形，利用相关定理和性质顺利地解决数学问题。本文重点论述几种常见的构造法解决全等三角形问题的知识，从而让学生理解和掌握如何合理运用构造法解决与全等三角形有关的
2、问题。一、与全等三角形有关的基本性质和定理八年级上册我们学习了全等三角形知识，在掌握构造法解决相关全等三角形知识之前，我们需要掌握和熟悉与全等三角形有关的知识和概念。全等三角形的性质：(1)如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；(2)如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等(3)如果两个三角形全等，那么它们的对应高和中线相等(4)如果两个三角形全等，那么它们的对应面积和周长相等全等三角形的判定方法：(1)三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)(4)两边和它们的夹角对应相
3、等的两个三角形全等。(SAS)(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)二、全等三角形问题解题的基本思路和步骤由全等三角形的判定方法我们可以得出这样的结论：要证明两个三角形全等，我们一般只要证明3个对应量相等就能得出两个三角形全等。结合判定方法，构造全等三角形解题的基本思路如下：(找夹角(SAS)(已知两边J找第三条边(SSS)找直角边(HL)(边为角的对边、找另一个角(AAS)已知一条边和一个角找夹角的另一边(SAS)(边为角的邻边找夹边的另一个角(ASA).找边的对角(AAS)(找夹边(ASA)口口两面J找任一个对边(AAS)在进行全等三角形解题时候，我们需要首先明确题设
4、，以及题设中隐含的条件和数量关系式等，搞清楚到底使用哪一个性质和判定定理去解决问题，最后合理的运用符号和文字语言去组织解题过程。三、构造法解决全等三角形问题的几种类型在进行几何题的证明或计算时，常规方法不能求解时候，我们会考虑在图形中添加一些辅助线，借助辅助线将未知问题转化成我们熟悉的数学问题。构造全等三角形就是其中比较常用的的思路。在实际教学中,可以通过延长中线、构造平行线、构造垂线等方法来构造全等三角形，通过全等三角形的相关性质求解问题。3.1倍长中线法倍长中线法指的是当在几何题目中遇到图形中存在三角形，同时又告诉了一条边的中点的时候，我们一般可以延长过中点的三角形中线，使延长部分与该中线
5、相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，构造两个三角形全等。例1：如图(1)所示，在AABC中，点D是AB的中点，AC=4cm,CD=6cm,求线段BC的取值范围(1)简析：本例中，BC是aABC的一条边，我们能想到的求BC取值范围的思路就是要利用到三角形三边关系，也即：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。结合已知条件CD是三角形的一条中线,在本例中可以用延长中线的方法构造全等三角形求解。解：如图(1)延长CD到F点，使得CD=DF,连接BFD是AB中点AD=BD在ADCgBDF中ICD=DF=CF(已作)ADCBDF(SAS)AC=BF=4cmCF=12cm在BCF中，由三角形的三
6、边关系可得：CF-BFBCCF+BF8cmBC16cm在本例中，看到三角形的一条边上的中点，我们联想到了三角形中点的各种性质。进而通过延长三角形一边的中线构造全等三角形，将此问题解决。在平时的教学过程中，我们要善于引导学生敏锐的发现问题中的关键条件。3.2截长补短法截长补短法中的截长意思就是在一条长的线段上截取一段，这段的长度要和图形中的某一条短边相等，接下来再证明剩下的线段与其他某一条边相等。而补短指的是我们在某一条短边上补上一条线段，让其和另外一条线段相等，尝试构造全等三角形，利用全等三角形的性质和相关知识进行求解。例2：如（2）,在aABC中，CD平分NACB,ZA=2ZB,求证：BC=
7、AC+D（2）分析：在本例题中，最后结论求证一条线段等于两条线段的和,这时候我们考虑利用截长补短法构造全等三角形，利用全等三角形将相等的线段进行转换，再结合三角形角的大小关系进行转化，解决该问题。证明：证法一：（截长法）如图（2）,在BC上截取CE=AC在AADC和aEDC中（CE=AC（已作）JCD=CD（公共边）ZACD=ZDCe（角平分线）DCEDC（SAS）AAC=CE（对应边）AD=DE（对应边）ZA=ZCED（对应角）又YZA=2ZB，NCED=2NB又VZCED-ZBZEDB（三角形的外角）AZB=ZEDBZXEDB是等腰三角形ADE=BEBC=CE+BE=AC+DE=AC+AD
8、证法二：补短法图（3）如图（3）,我们延长CA到F,让线段CB等于线段CF的长度,我们就可以轻松证明4FCDgZBCD（SAS）。同证法一可得到AAFD是等腰三角形BC=CF=AC+AF=AC+AD提示：截长补短法一般用来求解与线段的和、差、倍数等有关的知识。3.3构造垂线法构造垂线法，也即是我们可以利用作出垂线来分割图形，尝试构造全等三角形来解决问题。一般情况下，在遇到角平分线等全等三角形问题时候,我们可以尝试在角平分线上找出一点，通过向角的两边作垂线以此构造全等三角形求解问题（如图4）。或者当遇到中线时候，采用延长中线方法无法解决问题时候，我们也可以向中线或者中线的延长线作垂线构造全等三角
9、形来解决问题（如图5）。图(4)图(4)：如果NAOB=NCHD=90,OH平分ZAOB求证：HC=HF我们可以过H点作AO和BO的垂线段这时候易得到AHCEgAHDF(AAS)该题得证图(5)：如果AD是aABC的中线我们可以过B、C点作垂线段CG和BF构造ACDG之ZBDF(AAS)由此解决相关问题图(5)例3：如图(6),在等腰直角三角形AABC中，AB=AC,是D是AC的中点。AELBD交BC于E,交BD于F。求证：ZADB=ZEDCo图(6)证明：如图(6),作CGLAG交AE的延长线于GTNBAC=90,AEBDZGAC=ZABD=90o-NBAG在aABD和CAG中AB=AC（已
10、知）ZBAC=ZAGC=90o（已知）ZGAC=ZABd（已证）ABDCAG（ASA）ZG=ZADB,AD=CG（对应边和对应角相等）VAD=CD（已证）ACD=CG（等量代换）在ACDE和ACGE中（ZACE=ZGCE=45（已知）JcE=CE（公共边）CD=CG（己证）CDECGE（SAS）AZG=ZEDC（对应角相等）JNADB=NEDC（等量代换）3.4翻折法翻折法又叫构造轴对称图形，是以某一个图形中的一条线段为轴采用翻折的做法构造一对全等三角形，帮助我们求解和证明角的度数或大小关系，线段的和或差等关系。在运用翻折法时候，重点是需要确定向哪边翻折，以哪一条边为对称轴翻折。通常情况下，在
11、三角形问题中，我们常通过三角形的一边进行轴对称变换进行解题。例4：如图（7）,在aABF中，BE平分NABF,ADBE,垂足是D,求证：NBAC=NCAF+NF图（7）分析：本例中，有三角形的角平分线可以尝试向角的两边作垂线，但是会发现此方法不可解。于是我们可以考虑翻折法，将AABD沿着BD对折，这时A点刚好会落在线段BF上，构成一组全等三角形，问题得解。证明：如图（7）,将AABD沿着BD对折BE平分NABF，A点会落在BF上，该点位置设为C点4ABD0aCBD（轴对称）ZBAC=ZACb（对应角相等）又,.NACB=NCAF+NF（三角形的外角性质），ZBC=ZCAF+ZF在本例中，原来无
12、关的三个角通过翻折，形成轴对称。将无关联的三个角联系起来，从而得出三个角之间的大小数量关系，这是一种巧妙的解题思路。3. 5平行线法如果题目中告诉了三角形的中线，我们也可以尝试过三角形一边的中点作一条平行线，尝试构造全等三角形，进行求解。例5：如图（8）,在aABC中，NBAC=60,ZC=40o,AD平分NBAC交BC于D点，BE平分NABC交AC于E点，AD与BE相交于F点，求证：B+BD=BEAE图（8）证明：如图（8）,过点F作GFBC,交AB于G点，NAGF=NABe（同位角相等）VZBAC=60o,ZCMOoZABC=180o-60o-40o=80o=ZAGFTBE平分NABCZE
13、BC=40oZAEB=ZC+ZEBC=80o（三角形的外角），NAGF=NAEB=80TAD平分NBACZBAD=ZDAc（角平分线性质）在aAGF和AAEF中ZBAD=ZDAc（己证）ZAGf=ZAEB（已证）AF=AF（公共边）AGFAEF（AAS）AGF=EF,AG=AE（对应边相等）又VGFBCZDBF=ZGFB（内错角）又:ZDBF=ZABE（角平分线）.NGFB=NABE（等量代换）,4GBF是等腰三角形,GB=GF（等腰三角形性质）GB=EF（等量代换）VZBC=60o,ZABC=80o,AD平分NBAC,BE平分NABCZBD=30o,ZABE=40oZBFD=ZBD+ZABE
14、=70o（三角形外角性质）又TNBAD=30,NABC=80zadb=70o=Nbfdjabfd是等腰三角形，ABF=BDJAB+BD=AG+GB+BD=AE+EF+BF=AE+BE本例中我们采用了构造平行线的方法将等量关系进行转化，由全等三角形的知识再次解决了该问题。四、总结全等三角形问题是初中数学几何知识的常考知识点，该类型题目思维发散，作图动手能力要求较强，需要学生对基础知识点掌握牢固，才能熟练的解决全等三角形问题。构造法作为解决全等三角形问题的重要思路之一，学生必须要牢固掌握。文章结合例题的展示，较为详细的归纳了几种中学数学中常用的构造全等三角形的方法，通过文章的学习培养了中学生敏锐的观察能力和科学的数学思维能力，最终将数学课堂知识真正应用于实际生活中。
