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1、word关于正项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西Cauchy判别法、达朗贝尔DAlembert判别法、高斯Gause判别法、莱布尼兹Leibniz判别法、阿贝尔Abel判别法等，对数项级数敛散性判别法进展归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数的n项局部和为：.假如n项局部和数列为收敛，即存在一个实数S，使.如此称这个级数是收敛的，否如此我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于是否存在，从而由数列的柯西Cauchy收敛准如此，可得到级数的柯西Cauchy收
2、敛准如此1:数项级数收敛，有.当p=1时，可得推论：假如级数收敛，如此.其逆否命题为：假如，如此级数发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数为正项级数，如此级数的n项局部和数列单调递增，由数列的单调有界定理，有：正项级数收敛它局部和数列有上界. 证明：由于所以是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界单调有界定理，从而本定理得证.定理2.2比拟判别法：设两个正项级数和，且有，c是正常数，如此1） 假如级数收敛，如此级数也收敛;2） 假如级数发散，如此级数也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数的有限项，如此不改变级数与的n项局部和分部是，有上述不等式有， .1)假如级数收敛，根据定
3、理1，数列有上届，从而数列也有上届，再根据定理1，级数收敛;2)假如级数发散，根据定理1，数列无上届，从而数列也无上届，在根据定理1，级数发散.其极限形式：定理(比拟判别法的极限形式)：设和是两个正项级数且有，1假如级数收敛，且，如此级数也收敛；2假如级数发散，且，如此级数也发散. 证明:1假如级数收敛，且，由条件，,有，即，根据柯西收敛准如此推论的逆否命题，级数收敛；2)假如级数发散，且，由条件，根据柯西收敛准如此推论的逆否命题知，如此级数发散，且，有条件，即根据柯西收敛准如此推论的逆否命题，如此级数也发散.例1 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项，分子的最高幂是0只有常数1 ),分母的最
4、高幂是2,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是,至多差一个系数.解: 因为分母缩小,分数放大,又由于收敛.如此由此比拟判别法,原级数也收敛.例2 判别级数的敛散性.分析: 考虑通项,分子n的最高幂是1,分母n的最高幂是2,这时通项接近，,原级数也接近于级数,至多差一个系数.解: 因为分子缩小,分母放大,分数缩小,又由于是发散的,如此由比拟判别法,原级数也是发散的.由比拟判别法可推得：定理2.3比值判别法达朗贝尔判别法：设()为正项级数，且存在正常数q,如此有1) 假如如此级数
5、收敛；2) 假如，有，如此级数发散.证明：1不妨设, n=1， ; n=2, n=3, . n=k, .几何级数收敛，根据柯西收敛准如此推论的逆否命题，如此级数收敛.2)即正项级数从N项以后单调增加，不去近乎0，如此级数发散.定理比值判别法的极限形式：设()为正项级数，且，有，1) 假如，如此级数收敛；2) 假如，如此级数发散. 证明：1)由数列极限定义，即，根据达朗贝尔判别法，级数收敛；2，根据数列极限的保号性，达朗贝尔判别法，级数发散.例3 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.例4 判别级数的敛散性.解: 由于,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数发散.当正
6、项级数的一般项具有积、商、幂的形式,且中含有、以与形如的因子时,用达朗贝尔判别法比拟简便.定理2.4根式判别法柯西判别法：设为正项级数，存在常数q，如此有1) 假如有，如此级数收敛；2) 假如存在自然数列的子列，使得，如此级数发散.证明：1有，有几何级数收敛，于是级数收敛;2)存在无限个n,有，即趋近于0，于是级数发散.定理(根式判别法的极限形式)：设为正项级数，假如1) 假如时，级数收敛；2) 假如时，如此级数发散. 证明：1),由数列极限定义，根据柯西判别法，级数收敛；2)，根据数列极限的保号性，根据柯西判别法，级数发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对的形式都为论与.实际上
7、，当或时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数和，都有，但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件和也不能放宽到，.例如对调和级数，有，但级数却是发散的.例1 判别级数的敛散性.分析: 该级数的通项是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于,根据柯西判别法的推论,可得级数收敛.例2 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据柯西判别法的推论知,级数发散.我们知道，广义调和级数P-级数当时收敛，而当定理2.5拉阿贝判别法：设是正项级数且有，如此存在常数q，1) 假如，如此级数收敛；2） 假如，如此级数发散.，因此，存在正
8、数N，是对任意nN,这样，于是，当nN时就有,当p1时，级数收敛，故级数如此级数收敛；2） 由于是，因为发散，故级数发散.定理拉阿贝判别法的极限形式： 设正项级数,且极限存在,假如1)当时,级数收敛;2) 当时,级数发散.例1 讨论级数当时的敛散性.分析: 无论哪一值,对级数的比式极限,都有.所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当时,由于,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当时,由于,所以原级数是发散的.当时,所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得定理2.6积分判别法：设函数在区间上非负且递减，n=1,2，如此级数收敛的充分必要条件是极限存在.证
9、明： ，知=单调递增.存在在有界.充分性设存在，如此存在,使得级数的局部和收敛.必要性设正项级数收敛，如此它的局部和有上界，即存在有从而对令如此.故极限存在.由此我们得到两个重要结论：(1) p级数收敛；(2) 级数收敛.证明：1)在p级数一般项中，把n换位x，得到函数.我们知道，这个函数的广义积分收敛，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2证法同1.例1 判别级数的敛散性.分析:因为将换成连续变量,即是，显然函数在是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛.例2 证明调和级数发散.把换成连续变量得函数,显然这是一个在单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数换成积分形式,由于,即发散,根据积分判别法可知,调和级数发散.3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7阶的估计法：设为正项级数，即与当是同阶无穷小，如此1) 当时，级数收敛；2) 当是，级数发散.把比拟判别法和比式判别法结合，又可得定理2.8比值比拟判别法：设级数和是正项级数且存在自然数N，使当时有，如此1) 假如收敛，如此也收敛；2) 假如发散，如此也发散.证明：当时，由得由此可得.再由比拟判别法即知定理结论成立.主要参考文献：1玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义第三版.高等教育，200312 / 12
