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1、word二圆锥曲线的参数方程学习目标1.掌握椭圆的参数方程与应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.知识1.椭圆的参数方程中,参数是OM的旋转角吗?提示椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点M(x,y)的旋转角,它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角,称为离心角,不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中,参数的三角函数sec 的意义是什么?提示sec ,其中0,2)且,.3.类比y22px(p0),你能得到x22py(p0)的参数方程吗?提示(p0,t为参数,tR.)预习导引1.椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参
2、数)1(ab0)(为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程是(tR,t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一椭圆参数方程的应用例1A、B分别是椭圆1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求ABC重心G的轨迹的普通方程.解由题意知A(6,0),B(0,3).由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为(6cos ,3sin ),点G的坐标为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得(为参数),即故重心G的轨迹的参数方程为(为参数).规律方法,运算更简便.跟踪演练1曲线C1:(t
3、为参数),曲线C2:1.(1)化C1为普通方程,C2为参数方程;并说明它们分别表示什么曲线?(2)假如C1上的点P对应的参数为t,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:x2y70距离的最小值.解(1)由得曲线C1:(x4)2(y3)21,C1表示圆心是(4,3),半径是1的圆.曲线C2:1表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(为参数)(2)依题设,当t时,P(4,4);且Q(8cos ,3sin ),故M.又C3为直线x2y70,M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|,从而当cos ,sin 时,cos()1,d取得最小值
4、.要点二双曲线参数方程的应用例2求证:双曲线1(a0,b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明由双曲线1,得两条渐近线的方程是:bxay0,bxay0,设双曲线上任一点的坐标为(asec ,btan ),它到两渐近线的距离分别是d1和d2,如此d1d2(定值).规律方法在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用,另外此题要注意公式sec2tan21的应用.跟踪演练2如图,设P为等轴双曲线x2y21上的一点,F1、F2是两个焦点,证明:|PF1|PF2|OP|2.证明设P(sec ,tan ),F1(,0)
5、,F2(,0),|PF1|,|PF2|,|PF1|PF2|2sec21.|OP|2sec2tan22sec21,|PF1|PF2|OP|2.要点三抛物线参数方程的应用例3设抛物线y22px的准线为l,焦点为F,顶点为O,P为抛物线上任一点,PQl于Q,求QF与OP的交点M的轨迹方程.解设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数),当t0时,直线OP的方程为yx,QF的方程为y2t,它们的交点M(x,y)由方程组确定,两式相乘,消去t,得y22x,点M的轨迹方程为2x2pxy20(x0).当t0时,M(0,0)满足题意,且适合方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.规律方法y
6、22px(p0)的参数方程为(t为参数),参数t为任意实数,其根本思想是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.跟踪演练3抛物线的参数方程为(t为参数),其中p0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E,假如|EF|MF|,点M的横坐标是3,如此p_.解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px,所以y6p,所以E,F,所以3,所以p24p120,解得p2(负值舍去).答案21.圆的参数方程中的参数是半径OM的旋转角,椭圆参数方程中的参数是椭圆上点M的离心角.2.椭圆1(ab0)的参数方程为(为
7、参数).3.双曲线的参数方程中,参数的三角函数cot 、sec 、csc 的意义分别为cot,sec ,csc.4.抛物线y22px的参数方程(t为参数),由于,因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程,可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题,如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.(t为参数)的普通方程是()A.C.解析由参数方程平方相减可得4x2y216,即1,故答案为D.答案D2.椭圆(为参数)的焦点坐标为()A.(0,0),(0,8) B.(0,0),(8,0)C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0)解析
8、利用平方关系化为普通方程:1.焦点(0,0),(8,0).答案D3.参数方程(为参数)表示的普通方程是_.解析因x21sin ,y22sin ,所以y2x21,又因xsincossin,所以答案为y2x21(|x|且y1).答案y2x21(|x|且y1)4.点P(1,0)到曲线(参数tR)上的点的最短距离为()A.0 B.1 C.解析d2(t21)24t2(t21)2.tR,d1,dmin1.答案B5.点P是椭圆y21上任意一点,求点P到直线l:x2y0的距离的最大值.解因为P为椭圆y21上任意一点,故可设P(2cos ,sin ),其中0,2).又直线l:x2y0.因此点P到直线l的距离d.
9、又0,2),dmax,即点P到直线e:x2y0的距离的最大值为.一、根底达标1.参数方程(为参数)化为普通方程为()A.x21 B.x21C.y21 D.y21解析易知cos x,sin ,x21,应当选A.答案A2.方程(为参数,ab0)表示的曲线是()A.C.解析由xcos a,cos ,代入ybcos ,得xyab,又由ybcos 知,y|b|,|b|,曲线应为双曲线的一局部.答案D3.假如点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,如此|PF|等于()A.2 B.3 解析抛物线为y24x,准线为x1,|PF|为P(3,m)到准线x1的距离,即为4.答案C4.当取一切实数时,连接
10、A(4sin ,6cos )和B(4cos ,6sin )两点的线段的中点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C解析设中点M(x,y),由中点坐标公式,得x2sin 2cos ,y3cos 3sin ,即sin cos ,sin cos ,两式平方相加,得2,是椭圆.答案B5.实数x,y满足3x24y212,如此2xy的最大值是_.解析因为实数x,y满足3x24y212,所以设x2cos ,ysin ,如此2xy4cos 3sin 5sin(),其中sin ,cos .当sin()1时,2xy有最大值为5.答案56.抛物线yx2的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为y,其顶点为,记M(x,y
11、)为所求轨迹上任意一点,如此消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如下列图,连接原点O和抛物线yx2上的动点M,延长OM到点P,使|OM|MP|,求P点的轨迹方程,并说明是什么曲线?解抛物线标准方程为x22y,其参数方程为得M(2t,2t2).设P(x,y),如此M是OP中点.(t为参数),消去t得yx2,是以y轴为对称轴,焦点为(0,1)的抛物线.二、能力提升8.假如曲线(为参数)与直线xm相交于不同两点,如此m的取值围是()A.R B.(0,)C.(0,1) D.0,1)解析将曲线化为普通方程得(y1)2(x1)(0x1).它是抛物线的一局部,如下列图,由数形结合知0m1.答案D9
12、.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x,表示开口向右,焦点在x轴正半轴上的抛物线,由2p4p2,如此焦点坐标为(1,0).答案(1,0)10.设曲线C的参数方程为(t为参数),假如以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,如此曲线C的极坐标方程为_.解析化为普通方程为yx2,由于cos x,sin y,所以化为极坐标方程为sin 2cos2,即cos2sin 0.答案cos2sin 0xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角
13、坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值与此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.d().当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e,点P到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解设椭圆的参数方程是,其中,ab0,02.由e21可得即a2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,如此d2x2a2cos2a2(a2b2)sin23bsin 4b23b2sin23bsin 3b24b23,如果1即b,即当sin 1时,d2有最大值,由题设得()2,由此得b,与b1成立,于是当sin 时,d2有最大值,由题设得()24b23,由此可得b1,a2.所求椭圆的参数方程是由sin ,cos 可得,椭圆上的点,点到点P的距离都是.12 / 12