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1、电子课件,概率论与数理统计,随机事件 随机事件的概率 条件概率 独立性,第一章 随机事件的概率,蒲丰投针试验,例1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.,解,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,几何概率中的悖论,几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找
2、到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，下面就是一个著名的例子。,2.乘法公式,1.条件概率,3.全概率公式与贝叶斯公式,.3 条件概率,一、条件概率,引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表，从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为？,现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的，那么这件次品的概率又是多少？由于500件中有25件次品，所以取出的这件产品为次品的概率为 记事件A：“取出的产品是甲厂生产的”，事件B：“取出的产品为次品”，则本例是在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率，这就是
3、所谓的条件概率，记为P（B|A）,条件概率的定义,例 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）,由题意，样本空间为,(1),表示事件“其中有一个是女孩”，,表示事件“两个都是女孩”，则有,由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的基本事件只占其中的一种，所以有,解,在这个例子中，若不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为,其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的,这里,(2),关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概型和几何概型问
4、题，也可以证明它是成立的,上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W中考虑，显然有,从而,即,在几何概率中，若以m(A),m(B),m(AB),m(S)分别记事件A,B,AB,S所对应点集的测度，且m(B)0,则,条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称,若事件A已发生,则为使 B也发生,试验结果必须是既在 A 中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是 有上式.,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,条件概率满足概率定义中的三个基本性质,
5、非负性：对于任何事件B，有P(BA)0；规范性：对于必然事件S，有P(SA)=1；可列可加性：设B1，B2，两两互不相容的事件，即对于ij,BiBj=,i,j=1,2,则有可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如：特别当A=S时，条件概率化为无条件概率。,条件概率的计算,2)从加入条件后改变了的情况去算,1)用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,例 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已
6、知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。,例 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？,解,记,因此,要求,显然,因为,从而,可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。,二、乘法公式,由条件概率的定义：,若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(1),而 P(
7、AB)=P(BA),将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率,乘法公式,当P(A1A2An-1)0时，有P(A1A2An）-=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),推广到多个事件的乘法公式:,例 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率。,解,记,要求,显然,因此,例 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件
8、产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率,解,则,从而,设,由乘法定理,于是,由题意，有,解,书后第6题,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,注：当 a0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁
9、说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个
10、人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(AB)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。,条件概率P(AB)与积事件概率P(AB)有什么区别？,P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概率，而P(AB)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事
11、件A的概率。虽然都是A、B同时发生，但两者是不同的，有P(AB)P(B)P(AB)，仅当P(B)P(S)1时，两者相等。,条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？,三、全概率公式与贝叶斯公式,下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子,例 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3。(1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问该此次品
12、分别是由第1、2车间生产的概率为多少？,解(1),记,（2）问题归结为计算 和,由条件概率的定义及乘法公式，有,(9),(10),定义2,全概率公式:,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.,注：全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:,图示,证明,化整为零各个击破,它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,n),如果A是由原因Bi所引起，则A发生的概率
13、是,每一原因Bi都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：,全概率公式图解,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,B,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,诸Ai是原因B是结果,例1 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情
14、况下,该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.例2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装10个，废品率为0.06,乙厂每箱装12个,废品率为0.05,求:(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.,例3（P36 例13）盒子中装有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从其中任取3个来用,比赛后放回盒子中;第二次比赛时,再从盒子中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.例4 一箱10件产品中有3次品,验收时从中任取2件,若发现其中有次品,即拒
15、绝接受,已知验收时把正品误判为次品的概率为0.01,而把次品误判为正品的概率为0.05,问这箱产品的被接受的概率是多少?例5 设有甲乙个袋子,每个袋子中装有a只黑球,b只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后再从第二袋中取出一球放入第一袋中,问从最后一袋中取出黑球的概率是多少?,贝叶斯公式,设试验E的样本空间为S。A为E的事件，B1,B2，,Bn为S的一个划分，且P(A)0,P(Bi)0(I=1,2,n)，则上式称为贝叶斯(Bayes)公式。贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式
16、。,证明,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式,什么是先验概率和后验概率？,贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定B1,B2,是导致试验结果的“原因”，P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道。现在若试验产生了事件A，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”。条件概率P(BiA)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了毛病B1,B
17、2,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，他想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率。首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(ABi)，这里当然主要依靠医学知识。有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(BiA)，显然，对应于较大P(BiA)的“病因”Bi，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。,先验概率和后验概率两者间有什么关系？,
18、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的P(Bi)，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BiA)P(ABi)P(Bi)/P(A)中的P(BiA)，是“执果寻因”问题中的“因”。先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。如求P(BiA)要先求P(A)，一定要知道P(ABi)。,例 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%。一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性。现设某人检查出呈阳性反应
19、，问他确患有此疾病的概率是多少？,解,显然,且已知,由贝叶斯公式可得,记,例 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1。一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，则退回。试求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b,解,（1）由全概率公式,（2）由贝叶斯公式,记,例 一位具有症状S的病人前来医院就诊，他可能患有疾病d1,d2,d3,d4中的一种，根据历史资料，该地区患疾病d1,d2,d3,d4的概率分别为0.42,0.20,0.26,0.12,又由
20、以往的病历纪录知道，当病人患有疾d1,d2,d3和d4时，出现症状S的概率分别为0.90,0.72,0.54和0.30。问：应认为该病人患哪一种疾病？例(信号的通讯传送问题)发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“.”及“-”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“.”时，收报台以概率0.8及0.2 收到信号“.”及“-”，又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“.”,求:(1)当收报台收到信号“.”时,发报台确系发出信号“.”的概率;(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率.,例 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的.设一个学生知道正确答案或者不知道而乱猜是等可能的。如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born:1702 in London,EnglandDied:17 Apr.1761 in Tunbridge Wells,Kent,England,
