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1、现代控制理论直流电动机模型的分析姓名：李志鑫班级：测控1003学号：2010020303091直流电动机的介绍1.1研究的意义直流电机是现今工业上应用最广的电机之一，直流电机具有良好的调速特性、较大的启动转矩、功率大及响应快等优点。在伺服系统中应用的直流电机称为直流伺服电机，小功率的直流伺服电机往往应用在磁盘驱动器的驱动及打印机等计算机相关的设备中，大功率的伺服电机则往往应用在工业机器人系统和CNC铳床等大型工具上。11.2直流电动机的基本结构直流电动机具有良好的启动、制动和调速特性，可以方便地在宽范围内实现无级调速，故多采用在对电动机的调速性能要求较高的生产设备中。直流伺服电机的电枢控制：直
2、流伺服电机一般包含3个组成部分：磁极：电机的定子部分，由磁极NS级组成，可以是永久磁铁（此类称为永磁式直流伺服电机），也可以是绕在磁极上的激励线圈构成。电枢：电机的转子部分，为表面上绕有线圈的圆形铁芯，线圈与换向片焊接在一起。电刷：电机定子的一部分，当电枢转动时，电刷交替地与换向片接触在一起。直流电动机的启动电动机从静止状态过渡到稳速的过程叫启动过程。电机的启动性能有以下几点要求：1）启动时电磁转矩要大，以利于克服启动时的阻转矩。2）启动时电枢电流要尽可能的小。3）电动机有较小的转动惯量和在加速过程中保持足够大的电磁转矩，以利于缩短启动时间。直流电动机调速可以有：（1）改变电枢电源电压；（2）
3、在电枢回路中串调节电阻；（3）改变磁通，即改变励磁回路的调节电阻Rf以改变励磁电流。本文章所介绍的直流伺服电机，其中励磁电流保持常数，而有电枢电流进行控制。这种利用电枢电流对直流伺服电机的输出速度的控制称为直流伺服电机的电枢控制。如图L2图1.2Ea定义为电枢电压（伏特）。Ia一定义为电枢电流（安培）。Ra定义为电枢电阻（欧姆）。1.a定义为电枢电感（亨利）。Eb一一定义为反电动势（伏特）。If定义为励磁电流（安培）。Tm一定义为电机产生的转矩（牛顿米）Bm二一定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效粘带摩擦系数（牛顿米/度秒）Jm一定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效转动惯量（千克米）。1.
4、3建立数学模型电机所产生的转矩Tm，正比于电枢电流I与气隙磁通中的乘积，即：Tm=KM（1-1）而气隙磁通中又正比于激励电流If,故式（IT）改写为(1-2)Tm=K1K2IfIa=KIa对于激磁电流If为常数，KK2k合并为一个常数K,称为电机力矩常数。电枢电流I的正负即代表电机的正反转。(1-3)当电枢转动时，在电枢中感应出与电机转轴角速度成正比的电压，称为反电动势，即Eb=Kb(Om=其中Kb称为反电动势常数。电机的速度是由电枢电压E控制，应用基尔霍夫电压定律导出电枢电流I的微分方程式为：1.a器+RIa+Eb=Ea电枢电流I产生力矩，用来克服系统含负载的惯性和摩擦，可得Jm+ Bm噤=
5、 T=KIa(1-5)(1-6)由式（1-3）与式（1-4）合并移项后可得：dt-LalaLa匹+LaHa式（1-5）移项后可得：(1-7)d3rn_KlBm=a-TmulJmJm将式（1-6）与式（1-7）以状态方程式来表示如下:KbiAtdt La K-JmLaBmy(t) = o iJ1m.+ 0Ea 1 工E 0.(1-8)令 R= 1、L=O.2、Kb =1 Bm=0 1、Jm=5 K=0. 5, lp229,代入式（1-8）可得:_RaKK-JmKb- La Bm Jm -=-5-5-h.l -0.02_1_-B二 La.0.50-C = 01D = 0设Xl=1a，X?=311v
6、则-5-50.1-0.02-1-9y=0lx2.1 对所建的模型进行分析A=-5-5 1.0.1 -0.02C=IO1J2.2 求矩阵的特征值和特征向量特征值对于线性定常系统XBU三l-A=det(l-A)=n+a1n1+an.1+an称为系统的特征多项式，令其等于零，即得到系统的特征方程lA=n+a1n1+an_xAan=O式中的A为n*n的系统矩阵。特征方程的根入i(i=1,2,n)称为系统的特征值。因为上述系统为线性定常系统，则囚-A=0所求的根为系统的特征值。解得Al=-4.8975；2=-0.1125得到的系统特征根都为负，系统稳定。(2)特征向量设入i是系统一个特征值，若存在一个n
7、维非零向量n,满足APi=ipi或(AiI-A)Pi=O则称Pi为系统相对应于特征值入i的特征向量。2.3 将状态方程化为对角标准型对于线性定常系统，若系统的特征值入1，入2,，入n互异，必存在非奇异变换矩阵P,经过X=P文或文=PTX的变换，可将状态方程化为对角线标准型，即入10X=：x+bu.0入n入1和入2互异，必存在非奇异变换矩阵P,经过X=P文的变换，将状态方程化对角为标准型。-0.9998 1 0.715810.0205J I -0.6983 J由APi=AiPi求出矩阵-0.99980.715810.0205-0.6983J1-1.0217L -0.0300-1.04731-1.
8、4628 J女二PTAP又+PTBUY=CPX起-4.8975Ok-1.04731IO-0.12251xl-1.4628JuY=0.0205-0.6983X得到新的矩阵：-4.897501.1.0473.0-0.1225卜L-1.4628PC=l0.02050.69832.4 从状态空间表达式求取传递函数阵线性定常系统的状态空间表达式为：(X=Ax+BuIy=Cx对上式取拉氏变换，可得sX(s)-X(O)=AX(s)+B(s)Y(s)=CX(s)+D(s)设初始条件X(O)=0,则有sX(s)=AX(s)+B(s)X(s)=C(SI-A)-1BU(三)得到传递函数: 代入数值：Y(s)三C(S
9、I-A)1BU(s)=G(三)U(三)G(s)=C(Sl-A)-1B伶划Cl(三)=v7s2+5.02s+0.6根据传递函数可以写出新的能控标准I型的状态空间:-2.6-5102y=l.50还可以写出标准11型(能观型实现)y=lIJ2.5系统状态空间表达式的求解设线性定常系统的齐次状态方程为X=Ax(2-1)在这里初始值为t=t0,初始状态为X(三)。系统齐次状态方程在初始状态X(5)激励下的解x(t)(其中tt0)，称为系统的自由解或零输入解。设齐次状态方程的解x(t)为t的向量事级数形式即x(t)=b0+b1t+b2t2+biti+(2-2)式(2-2)代入式(2-1),得b12b2+i
10、biti1+=A(b0+b1t+b2t2+biti+)(2-3)由于式(2-2)是式(2-1)的解，所以式(2-3)对所有时间t均成立，故式(2-3)等号两边t的同次基级数应相等，即b1=Ab0b2=Ab1=A2b05AbiT=Wbo对式(2-2),若令t=0,可得b0=x(0)(2-4)X(O)为状态向量x(t)的初始值，即定常系统的初始状态。将瓦(i=l,2,)及bo代入式(2-2),得到x(t)=b0+Ab0t+A2b0t2Aib0ti+=(I+At+-A2t2+；Aiti+)X(0)(2-5)211!仿照标量指数函数e-at展开成事级数形式e-at-+at+lat2Fiaiti+(2-
11、6)将式(2-5)括号内n*n矩阵的无穷项级数和称为矩阵指数函数，记为已做,即eAJI+At+-A2t2+；Aiti+(2-7)211!则齐次状态方程的解可表示为X(t)=eAtx(0)这里A=55.-0.02J,求eM这里t=ls根据前面的分析，我们求出了系统的特征值和特征向量At三ptp-lAt=LO.0114-0.91861eI0.01840.9035J2.6Lyapunov第二法分析系统的开环稳定性线性定常连续系统X=Ax在平衡状态Xe=O处，渐进稳定的充要条件是：对给定的一个正定对称矩阵Q,存在一个正定的对称矩阵P,且满足矩阵方程：AP+PA=-Q而标量函数V(X)=XTPX是这个系
12、统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。我们这里我们选定对称矩阵Q时，常取Q=I,于是得ATp+PA=T取T-F10I求中p-0.10130.06641取IroJJ本山P%06648.3977Jl=Pll=0.10130;A24PllP12=10.10130.0664P21P22一0.06648.3977由此可知P0,正定。系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。而系统的李式函数及其导函数分别为V(x)=xPx0v(s)=x(-I)xt0,能够根据输出量y(t)在%,tf内的测量值，唯一的确定系统在S时刻的初始状态x(t0),则称次系统的状态是完全能观测的，或简称系统是能观测的。若nm*n能观测性矩阵
13、CCA的秩是n.CAn-1.构造系统的能观性矩阵，系统为二阶Vo=Vo=0.1 -0.02=2=n原系统能观2.9 闭环系统的极点配置控制系统的性能主要取决于系统极点在跟平面上的分布。因此,在系统设计中,通常是根据对系统的品质要求，规定闭环系统极点应有的分布情况。所谓的极点配置就是通过选择反馈矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。设受控系统的的状态空间表达式为：(X=Ax+Bu(y=Cx通过状态反馈u=r-Kx能使其闭环极点任意配置的充要条件是系统完全能控。根据f(s)=sl-(A-BK)I和f*(s)=(s-1)(s-2).(s-n)使其S的多项式对应
14、的系数相等，得到n个代数方程，即可求出K=Lk2.kn这里，用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值，目标是使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右。通过大量仿真，我找到了期望极点值P=-5-0.5所以得到K=0.0960-3.78082.10 状态观测器的设计设线性定常系统的状态空间表达式为(X=AX+BuIy=Cx将输出方程对t逐次求导，代以状态方程并整理可得y=Cxy-CBu=CAxy-CBu-CABu=CA2xy(n-l)_cu(n-2)_CABu(n-3)-CA(n-2)BU=CA(nT)即yy-CBuy(n-l)_CBu(n-2)_ca(11-2)bu
15、写出观测器的特征多项式fo(s)=IsI-(A-LC)I和期望的特征多项式fj(s)=(s-入D(S入2)(S-入n)使其S多项式对应项的系数相等，得到n个代数方程，即可求出反馈阵CCAX=VOX.CAn1.通过SimUlirlk仿真，我找到了一组观测器的期望极点Po=-4-5所以得到I.-5.001H3.9J2.11 生成系统状态估计器5 O O 5 1 1 50. 6o - OIs0-Olg0-OlBPnMdlUqStep ResponseO O 0.20.40.60.81Time (sec)1.21.41.61.82-12求输出和观测的传递函数#1G(三)=3.98S+19.4s2+9s
16、+20#2G(s)=#3G(三)=3.98s+19.4S2+9s+202-13对输出函数进行分析G(S) =3.98s+19.4s2+9s+20写出状态空间表达式y=ll9.43.98因为上述系统为线性定常系统，则|入1-A=0所求的根为系统的特征值。解得l=-4；2=-5得到的系统特征根都为负，系统稳定。2-14跟踪正弦波T=l:300;plot(T10zy(1:300,:);ylabel(,y,);1egend(,系统,观测D;T=l:300;plot(T10,xl(1:300,:);ylabel(,xl,);legend(,系统,r,观测);T=I:300;plot(T10,x2(1:3
17、00,:);ylabel(,x2,);legend(1系统,观测D;T=l:300;plot(T10,y(1:300,:);ylabel(,yf);1egend(,系统,r,观测D;T=l:300;plot(T/10,xl(1:300,:);ylabel(,xl,);Iegend（，系统，J观测，）;T=I:300;plot(T10,x2(1:300,:);ylabel(,x2,);legend(1系统,观测D;源程序：%状态空间的四个矩阵a=-5-5;0.1-0.02b=50c=01d=0;%矩阵特征值和特征向量pj=eig(a)%状态方程的求解t=lal=a*tv,dl=eig(al)pl
18、=epm(al)%yapunov第二法分析系统的开环稳定性a2=a,Q=l0;01h=lyap(a2,Q)%对角矩阵和特征根验算inv(p)*a*pp*j*inv(p)%状态空间表达式g=ss(a,b,c,d)%状态空间表达式求传递函数：方法1num,den=ss2tf(azbzc,d)%状态空间表达式求传递函数：方法2gc=tf(g)%构造能控性矩阵qc=ctrb(a,b)%求能控性矩阵的秩rank(qc)%构造能观性矩阵qo=obsv(a,c)%求能观性矩阵的秩rank(qo)%反馈控制期望闭环极点P=-5-0.5k=acker(azb,P)%验证配置结果eig(a-b*k)%配置观测器期
19、望极点po=-4-5l=acker(azc,po)%验证配置结果eig(a-l*c)%开环阶跃响应step(numzden)pause%生成系统状态估计器est=estim(gj)step(est)pause%分别得到输出和观测状态的传递函数tf(est)%跟踪正弦波T=L300;PIOt(T/10,y(l:300,:);ylabel(V);Iegende系统？观测)；pauseT=I:300;PIOt(T/10,xl(l:300,:);ylabe(x1);IegendC系统,观测pauseT=I:300;PIOt(T/10,x2(L300,:);ylabel2);IegendC系统,观测pa
20、use%跟踪阶跃信号T=L300;PlOt(T/10,y(l:300,:);ylabel(V);Iegend(系统？观测，)；pauseT=I:300;PIOt(T/10,xl(l:300,:);ylabelCx);IegendC系统,观测，);pauseT=I:300;PIOt(T/10,x2(l:300,:);ylabel(x2);Iegend(系统/观测);3结束语这次的现代控制理论作业，我花费了十几天时间。我前后把现代课本从头看了一遍，然后又翻阅了其它控制系统仿真关于matlab语言的书。找到IyaPUnOV第二法分析系统的开环稳定性和状态方程的求解的程序，为分析系统做好了准备。按照要
21、求，我从建立空间状态表达式开始，求解特征根和特征向量。由特征根分析了系统的稳定性，还是用了IyaPUnoV第二法分析系统的开环稳定性。用所求的特征向量画出来对角矩阵。求出了传递函数，并且化成了能控标准型。判断了系统的能控性和能观性。为了使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右，我使用了SimUIink仿真，找到了合适的闭环极点的到了状态反馈阵和状态观测阵。最后得到的闭环反馈系统，分析了其稳定性。总的来说，这次大作业让我收益匪浅，为了完成作业，我对书中的概念反复多次的去看。对matlab软件也有了更深刻的认识，这次分析系统我用到了SiUmlink,这次作业的核心就在这里，通过SiUmlink我画出来反馈控制系统的状态变量图，这个过程开始会有一些难，但通过不断尝试能得到很深的理解。完成SiUmlink仿真,我把这次分析系统所用的程序和状态变量结合在一起，能到了仿真的结果,完成了这次分析的要求。大作业不同于以往的考试，对我们要求更高。相比与闭卷考试，我们需要掌握更多的知识，分析问题还可以借助更好的数学工具一一matlab软件，这次让我很好的学习了这款软件，对我的综合能力有了很大的提高。感谢老师这次大作业的机会，让我能够对现代控制学习有了更深刻的理解，对系统仿真也有了了解，学习了建立模型的方法。尽管花费了比考试更多的时间，但非常开心自己的提高。
