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1、三角函数模拟计算机下面介绍一种三角函数模拟计算机.它利用泰勒展开公式计算SinX,8sx,tgx,Ctgx,等三角函数。根据泰勒公式,推导过程可参见高等教育出版微积分教程第一卷第一分册，第二卷第二分册,。352m-lXXm-1X2msinx=x-+-.+(-1)+o(x3!5!(2m-l)!2m2m+lcosx=1-+-.+(-1)2!4!+o(x)(2m)!352m-lXXm-1X2mshx=x+.+(-1)+o(x)3!5!(2m-l)!24XXmChX=1+.+(-1)2!4!2mX2m+l+o(x)(2m)!352m-lXXm-1X2marctgx=x-+-.+(-1)+o(x)35(
2、2m-l)所以可以得到它们的近似计算公式，如下3sinx55-3!COSX=1-2!将上面的X换成arccosx,Cosx换成X得到arccosX2!最后得到/arccosx=/2!(l-x)=/2(l-x)(a)22因为sin+cosx=l所以/丁sinx=/1-cosX/2arcsinx=/2(1-/1-x)通过近似公式得到3XarctgXaX-31arcctgX=3XX-33X4tgXQX+o(x)31CtgXQ3X4X+o(x)3例如计算SinX的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压,电流保持IC)OmA不变的信号用sinx替换上式中的cos,arcsinx替换arcsinx,上式(
3、a)可以改写为X,X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用乘法器将X和X相33乘得到XO再用除法器将X除以6,最后用减法器将X减去它们相除的结果，就得到SinX的电压值。这样就达到计算SinX的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的SinX的数值大小。3sin55iix-3!3XsinXaX-6例如计算CoSX的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持IoOmA不变的信号22X，X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X。再用除法器将X除以2,最后用减法器将1减去它们相除的结果，就得到SinX的电压值。这样就达到计算SinX的目的。数
4、值1是用稳压电源产生一个DCIV的电压，电流保持IOomA不变的信号，电压IV就表示数字L最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的Cosx的数值大小。2XCOSX=1-2!2Xcoss1-2例如计算arctgx的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持100mA不变的信22号X,X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用乘法器将X和X33相乘得到X。再用除法器将X除以3,最后用减法器将X减去它们相除的结果，就得到arctgx的电压值。这样就达到计算arctgx的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的arctgX的数值大小。注意在计
5、算过程中要保持电流大小不变始终是100mA,arctgXaX-例如计算arcctgx的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持100mA不变的信22号X,X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用乘法器将X和X33相乘得到X。再用除法器将X除以3,在用减法器将X减去它们相除的结果，最后用除法器将1除以上面减法器得到的差就得到arcctgX的电压值。这样就达到计算arcctgX的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的arcctgx的数值大小。注意在计算过程中要保持电流大小不变始终是100mA,1arcctg33例如计算tgX的值，首先用稳压电源产生
6、一个不断变化电压，电流保持Ie)OmA不变的信22号X，X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用乘法器将X和X33相乘得到X。再用除法器将X除以3,最后用加法器将X和它们相除的结果相加，就得到tgx的电压值。这样就达到计算tgX的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的tgX的数值大小。注意在计算过程中要保持电流大小不变始终是100mAo3tgX=x+3例如计算CtgX的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持100mA不变的信22号X,X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用乘法器将X和X33相乘得到X。再用除法器将X除以3,
7、再用加法器将X和它们相除的结果相加，最后用除法器将1除以上面加法器得到的和就得到ctgX的电压值。这样就达到计算CtgX的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的CtgX的数值大小。注意在计算过程中要保持电流大小不变始终是100mA。1CtgXa3XX+3例如计算arc8sx的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持100mA不变的信号X,X的数值就是信号源的电压，再用减法器将1减去X得到I-X,再用乘法器将2和I-X相乘得到2(l-x).最后用开方器开方就得到arccosx的电压值。这样就达到计算arccosx的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经
8、过计算得到的arccosX的数值大小。注意在计算过程中要保持电流大小不变始终是100mA。arccosx=J2!(I-X)=J2(l-x)(a)例如计算arcsinx的值，首先用稳压电源产生一个不断变化电压，电流保持IOomA不变的2信号X,X的数值就是信号源的电压，再用乘法器将X乘以X得到X,再用减法器将1和22X相减得到I-X。在用开方器开方，再用减法器将1减去上面开方的结果，再用乘法器讲2和上面减法器得到的差相乘，最后用开方器开方上面乘法器得到的结果，就得到arcsinX的电压值。这样就达到计算arcSinx的目的。最后用电压表测量输出的电压，电压的大小就是经过计算得到的arcsinx的
9、数值大小。注意在计算过程中要保持电流大小不变始终是100mAo/arcsinx=/2(1-/1-x)上面的加法器，减法器，乘法器，除法器，开方器，都可以用集成运算放大器的相关电路产生，具体资料可查网址链接：https:/pan.baidu.eom/s/lYK7Wi8NCDCvK4ALDx9FeYg提取码：kprc,上面公式的模拟计算机电路如下图所示:o岷PS用六分仪计算经纬度的方法1.六分仪可以测量太阳高度角，太阳和空间XMZ三个方向的夹角。下面介绍通过已知一点和x,y,Z轴方向的夹角，计算得到这点在地球上的经纬度的方法。2 .已知地球上两点AzB和太阳在空间x,y,z轴上的三个夹角。3 .现
10、将太阳放在空间坐标系的原点，A,B两点和XMZ轴的夹角l,1,1,2,B2,Y2,都可以通过六分仪测量出来。z轴的正方向是南方，y轴的正方向是垂直地球表面向上,X轴的正方向是东方。如下图1所示：Z图Ib根据空间解析几何相关定理可知，详细内容可参见高等教育出版社高等数学盛祥耀主编1993年版。222cosl+cosl+cosl=1又因为OA和OB长度相等，如下图所示图IdA点坐标(xl,yl,zl),B点坐标为(x2,y2,z2),A点纬度wl,经度SLB点纬度w2,经度s2zIOAIOBI,所以XlIOAI=当Jij2时cos(l-R2)XlIOAI=当32aj时cos(al-n)XlIOAI
11、=当2na3n2时cos(al-3n2)XlIOAI=当0aa2兀/2时cos(a2-2)x2IOBI=当3兀a2n时cos(a2n)x2IOBI=当2兀a23兀/2时cos(a2-3n2)x2IOBI=当0a2兀/2时cosa2所以Xlx2cosalcosa2同理可知yiy2coslcos2cosVlcos2当A点坐标已知，A,B两点和坐标轴的夹角已知，可求得B点的坐标.cos2x2=xlcoslcos2y2=ylcoslcos2zl=ZlcosVl纬度的正切值等坐标点中的z/yztgw=yZw=arctgY在地球的经度s,经度的正切值等坐标点中的xy.Xtgs=yXs=arctgYB点纬度
12、w2,经度通过上面的公式就可以将坐标纸转化为经纬度，设A点纬度WI,经度si,s2.所以,B点的经纬度可以表示为cos2x2=tgsl*ylcosalcos2xly2=*cosltgslcos2z2tgwl*ylcosYlz2tgw2y2cos2tgwl*ylcosVlcos2xlcosltgslcos2cosl=*tgwlcoslcos2B点的纬度为cos2coslw2=arctg*tgwlcoslcos2因为2tgs2=Y2cos2tgsl*ylcosa2cos2xlcosltgslcosa2cosl=*tgslcosalcos2B点的经度为*tgsls2=arctgcoslcos2又因为
13、OA和OB在xoy平面的投影0A,OB,如下图2所示图2a由上图可知，l=2-lz2=n2-2,IOAI=IOAIcosYltIOBI=IOBIcos2tIOAlI=IOAIcos1,IOBlI=IOBIcos2zIAAlI=IOAIsinaBBl=OBIsina2fIAAI=IOAIsin1IBBI=IOBIsin2f/2AA1=/IAAlI-IAAI2(IOAIsina1)-(OAIsin1)/22BB1=/lBBlI-IBBI(IOBIsina2)-(IOBIsin2)/22OAl=/I0AI-IAA1I/22TOAl=/(IOAIcos1)-(IOAIsin1)+(OAIsin1)22
14、221=(IOAIcosl)-(IOAIsina1)+(OAIsin1)/%OBl=/IOBI-IBB1I/222OBl=/(IOBIcos丫2)-(IOBIsina2)+(IOBIsin2)22222=(IOBIcos2)-(IOBIsina2)+(IOBIsinY2)2221(IOAIcos1)-(IOAIsina1)+(IOAIsinr)2222(IOBIcos2)-(IOBIsina2)+(IOBIsinY2)xl因为IOAI=IOBI12(cos1)22r)-(sina1)+(sin2222(cos2)-(sina2)+(sinY2)222(cos2)-(sina2)+(sinY2)
15、x2(cos1)-(sin1)+(sinY1)同理，可求得222(cosa2)-(sin2)+(sina2)y2=yi222(cosal)-(sinl)+(sinal)222(cos2)-(sin2)+(sin2)z2=zl222(cosl)-(sinl)+(sinl)所以已知A,B两点和坐标轴的夹角，其中一个点的坐标，可以求得另外一个点的坐标.在实际中，通过六分仪可以测量出地球两点和太阳在三个坐标轴的夹角，已知起始点的经纬度，把经纬度换三成坐标系里面的坐标。就可以求到未知点的坐标，在换算成经纬度.这样就达到通过六分仪测量未知点经纬度的目的，同时，还可以将上面的太阳换成月亮，北斗星，通过六分仪
16、也可以测量未知点的经纬度，还可以在AB两点利用无线电定位仪测量，它们和信号源之间沿x,y,z轴的夹角.这和六分仪测量的夹角一样，也可以用来确定未知点的坐标.要在同一时间测量，A,B两点利太阳连线延x,y,z坐标轴的夹角。因为，太阳是不断运动的，所以不同时间在同一位置测量的夹角是不同的。因为，太阳是不断运动的，所以不同时间在同一位置测量的夹角是不同的。如果是不同时间测量的A,B两点的太阳夹角，就要加上校正参数，这要查该年的天文年历。纬度的正切值等坐标点中的z/y。ztgw=yw=arctgY在地球的经度s,经度的正切值等坐标点中的xy,Xtgs=yXs=arctgY通过上面的公式就可以将坐标纸转
17、化为经纬度，所以,B点的经纬度可以表示为222(cos2)-(sin2)+(sin2)2tgsl*yl(cos1)-(sin01)+(sin1)222(cosa2)-(sin2)+(sina2)xly2=*222(cosal)-(sinl)+(sinal)tgsl222(cos2)-(sin2)+(sin2)z2=*tgwl*yl222(cosl)-(sinl)+(sinl)因为z2tgw2=y2222(cos2)-(sin2)+(sin2)*tgwl*yl222(cosl)-(sinl)+(sinl)222(cosa2)-(sin2)+(sina2)xl222(cosal)-(sinl)+(
18、sinal)tgsl222222(cos2)-(sin2)+(sin2)(cosal)-(sinl)+(sinal)*tgwl222222(cosl)-(sinl)+(sinl)(cosa2)-(sin2)+(sina2)B点的纬度为222222(cos2)-(sin2)+(sin2)(cosal)-(sinl)+(sinal)w2=arctg*tgwl222222(cosl)-(sinl)+(sinl)(cosa2)-(sin2)+(sina2)因为x2tgs2Y2222(cos2)-(sin2)+(sin2)*tgsl*yl222(cosl)-(sinal)+(sinl)222(cosa2
19、)-(sin2)+(sina2)xl222(cosal)-(sinl)+(sinal)tgsl222222(cos2)-(sina2)+(sin2)(cosal)-(sinl)+(sinal)*tgsl222222(cosl)-(sinal)+(sinl)(cosa2)-(sin2)+(sina2)B点的经度为222222(cos2)-(sina2)+(sin2)(cosal)-(sinl)+(sinal)s2=arctg*tgsl222222(cosyl)-(sinal)+(sinl)(cosa2)-(sin2)+(sina2)已知AB两点的坐标，计算两点的经纬度以地球为原点建立坐标系,这个
20、坐标系的三个坐标轴和原来以太阳为原点的坐标系的三个坐标轴相互平行，如图3所示Zzl在原来以太阳为原点的坐标系的坐标，可看成是以地球为原点坐标系中的坐标。以太阳为原点的坐标系中的坐标除以固定的比例值，就等于以地球为原点的坐标系中的坐标。所以可以将以太阳为原点的坐标系中的坐标，直接看成以地球为坐标系中的坐标。在地球的纬度W。纬度的正切值等坐标点中的z/y。tgww=arctgy在地球的经度s,经度的正切值等坐标点中的x/y。Xtgs=yXs=arctgY通过上面的公式就可以将坐标纸转化为经纬度。同时，通过两个的坐标值还可以求出各点的高度值。上面假设的A,B两点都是在地球表面的两个点。下面假设C点在
21、地球表面，坐标已知，D点在地球上方，坐标未知。CD两点和太阳的延三个坐标轴的夹角都可以通过六分仪测量出来。如下图4所示。从上图可以看出，D点在地球上面的投影D,点在OlD上面，也就是说，D,D,01三个点在一条直线上，所以a=N0DD是直角。OD是OC在平面XOy上面的投影，C点坐标（x3,y3,z3）,和XMZ轴的夹角3,B3,3,D点坐标（x4,y4,z4）,和XMZ轴的夹角3B4,Y4。所以2222OD=x4+y4+z4222DD=OD-0D222222DD=4+y4+z4-x3-y3可以通过六分仪测量出该点和三个坐标轴的夹角，再将其转化为坐标。在坐标系下一点的坐标为(xzyzz)o这点
22、和三个坐标轴的夹角分别为,B,Y。设这点和坐标原点的距离是r,x=rcosa,y=rcos,z=rcos,可以假设r=l,那么X=COSCby=cos,z=cosy,在图4中r是地球的半径，此时以地球为原点的坐标系，所以求得位置点距地面高度DD如下，222222DD,=r(cosa4+cos4+cosy4-cosa3-cos3)722222r(cosa4+cos4+cosy4-cosa3-cos3)上面的介绍如下图所示三角函数波形也可以通过振荡电路产生，下面介绍三角函数波形计算电路，这个电路通过调整电位器的阻值，可以产生任意一个sinx,cox函数值，电位器的阻值代表X,输出的电压信号代表Si
23、nX,或CoSX,它的电路如下图所示电路图如下dg4tft-JgJ三-aalllasMb0下面介绍泰勒公式的推导第一部分三角函数模拟计算机电路介绍第二部分使用六分仪测量经纬度的三角函数法第三部分，模拟三角函数计算机公式介绍函数为常数的条件一推导出反三角函数的计算公式用模拟计算机计算开方，看参考拉格郎奇公式中的近似公式的推导计算三角函数的公式1通过无穷小及无穷大的分级中的应用题3),我们得到。在角度不太大时,1-cos=4(l-1+cos)(90)由上面的式子组成模拟计算机的计算电路。(90)计算方程式的解，可见计算方程式的近似解页比例法则，或称弦线法,依据波查诺-柯西第一定理牛顿法则，或称切线
24、法则联合法下面的公式可以用于模拟计算机的计算电路计算三角函数的公式2通过127.近似公式中的例题4),我们得到。设S是弧长，d是对应于它的弦，而6是对应于半弧的弦(图53)。最后得到关于x,cosx,d,的四元一次方程组23d*x2(cosx)=1-(8-d)(202a)2(d*)cosx=-1(202b)d 4()+( 2 3xd222一)(I-Cos)=(202c)6x计算三角函数的公式3,最后得到关于x,cosx,d,的四元一次方程组22dcosX=11622*x(203a)2+d3222dd*(f+)4cosX=-12d2()+f=2(203b)2d(203c)2(cosx+l)2d2
25、)+cos2(203d)224f+1d34计算三角函数的公式4,详细推导过程可参见戴劳公式125例题352m-lXXm-1X2mtanx=sinx/cosx=+.-.+(-1)3!5!+o(x)(2m-l)!242mxxmx2m+l1-+-.+(-1)+o(x)2!4!(2m)!m-12*2!2*4!2*6!3!x5!(-1)(2m)!(2m)!m(2m)|x(-1)(2m-l)!x2mmx2m+lcos x= 1-+ -.+(-1)+o(x )2!4!(2m)!35XXsin x=x-3!5!2m-lm-1 X2m-.+(-1) +o(x )(2m-l)!详细推导见初等函数的展开2m-lX
26、Xm-1 X2msh x=x+ + + .+(-1) +o(x )3!5!(2m-l)!24X Xmch X= 1+ +.+(-1)2m+o(x2!4!(2m)!计算三角函数的拉格朗奇插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法，例如sin ()6(x)sin(31K(x)(-)mmsi()6m!m!(m-l)!(m-2)!(.(l!+0)+(m-2)+(m-l)+m!m(m-l)!sin()m!(m-l)!(m-2)!(.(l!+0)+(m-2)+(m-l)m6l*2*3.30sin()31!(3O!(29!(28!(.l!+l)+28!)+29!)+3O!)+31!6()cos(310产c
27、os()()(x-x)6mml*2*3.30=s()31!(30!(29!(28!(.l!+l)+28!)+29!)+30!)+31!621()20ae(x)(-x)mm1*2*3.2120e21!(20!(19!(18!(.l!+l)+18!)+19!)+20!)+21!(m+l)Sin()()6sin(31o)*sin()+w(x)()(-)6(m+l)!mmcos()m!6=*sin()+m!m!(m-l)!(m-2)!(.(l!+0)+(m-2)+(m-l)+m!m!6(m+l)!COS()(m-l)!6*sin()+m!(m-l)!(m-2)!.(l!+0)+(m-2)+(m-l)+
28、m!6(m+l)!1*2*3.*2930!(29!(28!(.l!+l)+28!)+29!)+30!t sin( ) +30!631!(m+l)cos()()6cos(310产*cos()+w()()(x-x)6(m+l)!mm30!(29!(28!(.l!+l)+28!)+29!)+30!si()6* sin( ) + 30!631!21(x)2020 (m+l)(e )e=*e+w(x)()(x-)(m+l)!mm20(m+l)m!20(e)*e+m!(m-l)!(m-2)!(.(l!+0)+(m-2)+(m-l)+m!(m+l)!201*2*3.*2120e*e+m!21!(20!(19
29、!(18!(.l!+l)+18!)+19!)+20!)+21!(m+l)!计算三角函数的埃尔密特公式插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法，例如。(n)tg(60o)tg(60o)tg(60)tg(610)tg(60o)+(61o-60o)+(61o-60o)+.(61o-60o)1!2!n!(N)tg(60o)n+1n+1n+1Olm+(x-x)(x-x).(x-x)m!01m(n)tg(3)tg()tg(兀=tg(R)+(180l-/3)+(180i-B)+(180l-/3)1!2!n!(3)tg(兀3+lNB+1+1B+1+1+1+(180l-B)(180l-B)(180i-/3)
30、3!tg(3)tg()Rg+(180l-/3)+(180l-B)+1!2!(1)tg(+l+(18061-B)1!tg(11)tg(三)tg(8)+(180l-/3)+(180l-B)+1!2!2SeC(JIa)NB+1+(180l-1!(n)sin(60o)sin(60o)sin(60)sin(610)sin(60o)+(61o-60o)(61o-60o)+.(6-60o)1!2!n!(N)sin(60o)n+1n+1n+1Olm+(x-x)(x-x).(x-x)m!O1m(n)Sirr(JTa)sin(无sin(冗=Sin(JTR)+(180啖L-n+(180啖L-Jra)+.(180洞-
31、Jla)1!2!n!(3)sin(Ti/3)+ln3+1+1/3+1+1+1+(18061-B)(180响-JTB)(180ni-B)3!sin/3)sin。)sin(/3)+(18OWBl-3)(18061-B)+.1!2!(1)sin(H/3)兀3+1+(18061-B)1!sin/3)sin。)sin(/3)+(18OWBl-3)(18061-+1!2!cos(n3)RB+1+(18051-fi)1!推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数，计算三角函数的近似公式8设setn=102sin=*11(1-n=l22nX21-10-10221-221+22284xcosx=11(1-
32、n=l22(2n-l)19 19 4xOOshx=*11(1+n=l2(1+设setn=10shx=*11(1+n=l1+22(2n-l)JI21+22(1+221021010)2-IO1-计算开方的模拟计算机电路，推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数n-1(2n-3)!2z2n-l)+.2(-11)()+.+(-1)12822n!1+zco(2n-3)112z2n-l=n=l2n1121+zz,如果IZI1其中:=lz,如果ifIZI212zn-1(2n-3)112z2n-l)+(l)(-lxl)2n!1+z12821+z8(2n-3)112z2n-l=()n=l2n!21+zz,如果ifIzI1=z,如果ifIzI21其中：22z1+()=21+z2z 2n-l)+.2(-lxl)2z8n)+.+(-l)2OO2z2n-l=()n=l21+zz,如果ifIzI1=VZ,如果ifIzI21其中：22z1+()=21+z
