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1、B最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A,B分别是直线/异侧的两个点，在/上找一个点。，使CA+C6最短，这时点。是直线/与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A,
2、8分别是直线/同侧的两个点，在上找一个点C,使CA+CB最短，这时为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在宜线上另外任取一点C,连接AU,BCf,B,C,证明AC+CBVAC+CA如下：证明：由作图可知，点8和关于直线/对称，所以直线/是线段88的垂直平分线.因为点。与U在直线/上，所以8C=8C,BC=BC：在aA8C1中，ABAC,+BC,所以AC+5C,分别交04,OB于P,Qy那么小明沿CfPfQf。的路线行走，所走的总路程最短.5 .运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得
3、直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5】如图所示，A,8两点在直线/的两侧，在/上找一点G使点C到点A、B的距离之差最大.分析：此题的突破点是作点A（或8）关于直线/的对称点A（或8）,作直线AB（AB）与直线/交于点G把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线/为对称轴，作点4关于直线/的对称点A,48的连线交/于点C,则点C即为所求.理由：在直线/上任找一点C（异于点。，连接CA,CfA,CfA,CB.因
4、为点A,A关于直线/对称，所以/为线段AA的垂直平分线，则有CA=CA,所以CA-CB=C,-CB=A8.又因为点C在/上，所以CA=C,A.在AABC中，CA-CfB=C,A,-CBAB,所以CA-CBCA-CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是o如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是OD.C0B例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别
5、向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄张村.如图，直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为IKm和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度张村.四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是o2、现要在如图所示的圆柱体
6、侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为C3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为O点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为o6、如图，在aABC中，AC=BC=2,ZACB=90o,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为。7、AB是。的直径，AB=2,OC是OO的半
7、径，OC_LAB,点D在A0上，A屋2C(f7点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为o(二)8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=I8cm,则APMN的周长为。9、已知，如图DE是AABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则AAEC的周长为o10、已知，如图，在aABC中，ABAC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,ZABE的周长为14,则AB的长。11、如图，在锐角AABC中，AB=42,ZBAG=45o,NBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动
8、点，则BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐标系中，有A(3,-2),B(4,2)两点，现另取一点C(1,n),当n=时，AC+BC的值最小.第11题第14题第15题13、AABC中，NC=90。，AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE-LAC于E,PF_LBC于F,E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形ABCD中，AB=2,NBAD=60,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数
9、y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,O),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设0A、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.(三)16、如图，已知NAOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得APEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。/17、如图，直线I是第一、三象限的角平分线./实脸与探究：b(1)由图观察易知A(0,2)关于直线I的对称点A，的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线I的对称点夕、C，的位置，并写出他们的坐标：B、C;归纳与发现：(2)结合以上
10、三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点，的坐标为;运用与拓广：(3)已知两点D(1,一3)、E(-1,-4),试在直线I上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标._一A18、几何模型：F条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点.问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点4关于直线/的对称点A,连结43交/于点P,则RUPB=AB的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABC。的边长为2,七为AB的中点，P是AC上一动点.连结8。，由正方形对称性可知，8与。关于直线AC对称.连结EO交AC于P,
11、则PB+PE的最小值是；如图2,。的半径为2,点A、B、C在O上，OAlOBfNAoC=60,P是OB上一动点，求尸A+尸。的最小值；(3)如图3,NAOB=45,P是NAOB内一点，P0=10,Q、R分别是0A、OB上的动点，求PQR周长的最小值.19、问题探究(1)如图，四边形ABC。是正方形，AB=IOcmfE为边BC的中点、,P为BD上的一个动点，求尸0+尸石的最小值；(2)如图，若四边形ABCZ)是菱形，AB=0cmfZABe=45,E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点,求尸C+M的最小值；问题解决(3)如图，若四边形ABCD是矩形，AB=IOcmfBC=20ctnfE为边B
12、C上的一个动点，P为8。上的一个动点，求尸C+PE的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点0顺时针旋转120,得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、0、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使ABOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)解：(1)过点B作BDLX轴于点D,由已知可得：OB=OA=2,NBOD=60.在RtOBD中，Z0DB=90,Z0BD=30,./0D=1,DB=3点B的坐标是（1,3）.(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+b
13、x+c9由已知可得：c=0a+b+c=34a-2b+c=0解得zci,b=,c=0.，所求抛物线解析式为y =立f+2叵/3333(3)存在.由y=v配方后得：,二亭(工+1)2_曰.抛物线的对称轴为V=1.(也写用顶点坐标公式求出)V0B=2,要使aBOC的周长最小，必须BC+CO最小.V点。与点A关于直线4=-1对称，有CO=CA.BoC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时aBOC的周长最小.设直线AB的解析式为y=+b,则有：?+=6-2k+b=0解得：k=与b二手.二直线AB的解析式为y=亭x+手
14、.当工=-1时，y=与.所求点C的坐标为(-1,夸),21、如图，抛物线y=+b+c的顶点户的坐标为1,-怨，交X轴于48两点,交V轴于点C(0,-G).(1)求抛物线的表达式.(2)把脑绕48的中点旋转180,得到四边形3C-判断四边形4W的形状，并说明理由.若存在，请写出点尸的坐标 解：(1)由题意知r-=2a=35 分(3)试问在线段47上是否存在一点g使得曲的周长最小,I6MI=1,0B=3.XVtanZ=l=3N比汐=60,同理可求/羽=30ZACB=9Qo6分由旋转性质可知4a皿BC=AD：.四边形，蛇是平行四边形7分又；NACB=900四边形3C是矩形8分(3)延长W至乂便CN=
15、CB.假设存在一点E使物的周长最小.即FD+FB+DB最小.;加固定长.J只要秋印最小.又,：CAlBN:.FMFB=FgFN.当MF、，在一条直线上时，。用最小,10分又丁。为M的中点，；.FC=AC(即/为NC的中点).又；/(一1,0),C(0,-3)点尸的坐标为尸(一1，)22：存在这样的点尸(-1,使得曲的周长最小.一12分2222.已知：直线y=x+l与V轴交于4与X轴交于。，抛物线V=LX2+版十与直22线交于4、E两点，与X轴交于8、C两点，且8点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点夕在A轴上移动，当是直角三角形且以夕为直角顶点时，求点夕的坐(3)在抛物线的对称
16、轴上找一点第使IAM-MCl的值最大，求出点#的坐标.答案：(1)将4(0,1)、B(1,0)坐标代入y=gf+z7+(得b=解得2c=l抛物线的解折式为v=-x2-x+l.221Q(2)设点E的横坐标为儡则它的纵坐标为上加2一m+,22则(?,n2-w+1).22又Y点E在直线y=L+l上，-m2-m+222解得肛=O(舍去)，n2=4.，的坐标为(4,3).过作跖，1轴于尸，设P(b,0).由NQPA+NFPE=90,得NOPA=/FEP.RtAOPSRtAPFE.,AOOP,v1bPFEF463解得4=1,h2=3,工此时的点，的坐标为(1,0)或(3,0).33(3)抛物线的对称轴为R=2.：8、。关于x=对称,226分；MC = MB.要使IAM-MCl最大，即是使|AM-M3最大.由三角形两边之差小于第三边得，当A在同一直线上时IAM-3|的值最大.3 X =2110分易知直线形的解折式为y=-x+l.y=-x+3X=2
